董富祥 周志成 曲廣吉

（中國空間技術(shù)研究院，北京 100094）

1 引言

星載大型桁架式網(wǎng)狀拋物面天線是滿足移動(dòng)通信、對(duì)地遙感和深空探測(cè)等空間應(yīng)用的關(guān)鍵設(shè)備。這種天線尺寸大、質(zhì)量小，常規(guī)的地面測(cè)試難以完全揭示其在軌展開動(dòng)力學(xué)特性，因此，準(zhǔn)確、可靠的展開過程多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真，對(duì)于優(yōu)化天線結(jié)構(gòu)和機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、制定展開過程控制規(guī)律及預(yù)測(cè)天線在軌展開動(dòng)力學(xué)性態(tài)，均具有重要意義，它是星載大型天線結(jié)構(gòu)和機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、分析及驗(yàn)證不可或缺的工具［1-2］。

國內(nèi)外針對(duì)大型周邊桁架式網(wǎng)狀拋物面天線展開動(dòng)力學(xué)問題開展了大量研究。這些方法可以分為三類：節(jié)點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)方法［3］、獨(dú)立廣義坐標(biāo)方法［4］和利用商業(yè)軟件的仿真方法［5］。以節(jié)點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，趙孟良、關(guān)富玲［3］采用廣義逆矩陣方法研究了周邊桁架式天線展開動(dòng)力學(xué)過程，分析了桁架黏性阻尼和繩索滑輪摩擦作用對(duì)天線反射器展開動(dòng)力學(xué)的影響。不過，節(jié)點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)方法雖然便于描述桁架各部件平移運(yùn)動(dòng)，但由于缺乏描述鉸鏈轉(zhuǎn)角的廣義坐標(biāo)，因而難以建立旋轉(zhuǎn)鉸位置處摩擦力矩模型。李團(tuán)結(jié)、張琰、李濤［4］以展開角為獨(dú)立廣義坐標(biāo)，采用拉格朗日方法建立了周邊桁架天線展開過程動(dòng)力學(xué)方程，研究了重力、阻尼對(duì)天線展開動(dòng)力學(xué)的影響。該方法導(dǎo)出的動(dòng)力學(xué)方程不含約束，因此不必考慮動(dòng)力學(xué)積分過程中約束方程違約問題。然而，反射器斜桿轉(zhuǎn)角與展開角之間為復(fù)雜三角函數(shù)關(guān)系，導(dǎo)致斜桿動(dòng)能對(duì)廣義坐標(biāo)速度的偏導(dǎo)數(shù)難以求解。李洲洋、陳國定、王三民等［5］基于ADAMS軟件對(duì)星載大型可展開天線的展開過程進(jìn)行了數(shù)值仿真。當(dāng)前商業(yè)軟件雖能較有效地處理運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)構(gòu)型奇異問題，但難以解決靜止?fàn)顟B(tài)下系統(tǒng)構(gòu)型奇異問題。在小展開角情況下，反射器展開機(jī)構(gòu)處于奇異構(gòu)型附近，在從收攏狀態(tài)到小角度展開過程中動(dòng)力學(xué)方程左端系數(shù)矩陣接近奇異，導(dǎo)致數(shù)值仿真結(jié)果出現(xiàn)不穩(wěn)定甚至發(fā)散。

本文以星載大型可展天線為對(duì)象，研究了反射器索網(wǎng)繃緊前星載大型天線反射器桁架在軌展開動(dòng)力學(xué)過程，建立了反射器桁架卷簧驅(qū)動(dòng)和同步齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)力學(xué)模型，并針對(duì)初始時(shí)刻天線反射器切斷鉸約束方程雅克比矩陣奇異和小展開角情況下動(dòng)力學(xué)方程左端系數(shù)矩陣數(shù)值性態(tài)差問題，提出了基于幾何的替代約束解決方案。最后，結(jié)合算例對(duì)天線反射器展開動(dòng)力學(xué)過程進(jìn)行了數(shù)值仿真，并從物理角度解釋了仿真結(jié)果的合理性。

2 星載大型天線系統(tǒng)組成及展開原理

星載大型天線系統(tǒng)主要由大小伸展臂、反射器和焦面饋源陣組成。圖1為星載大型天線在軌工作狀態(tài)示意圖。

圖1 星載大型天線在軌工作狀態(tài)示意圖Fig．1 Schematic view of large satellite antenna in orbit

初始時(shí)刻，天線在壓緊機(jī)構(gòu)的作用下處于鎖定狀態(tài)。展開時(shí)，捆束在反射器外圍的火工切割器啟爆，切斷天線捆索，反射器桁架先后在卷簧和電動(dòng)機(jī)作用下展開，反射器索網(wǎng)也由收攏狀態(tài)逐漸拉開，最后在短時(shí)間內(nèi)迅速張緊。圖2 為反射器單個(gè)桁架單元展開過程?？梢钥闯觯炀€反射器桁架單元由橫桿AB、CD，豎桿AD、BC，斜桿DE、EB，旋轉(zhuǎn)鉸鏈B、D，滑移鉸鏈E和同步齒輪A、C組成。初始時(shí)刻在鉸鏈A、C處卷簧作用下，單元桁架展開，如圖2（a）所示。天線展開到一定角度時(shí)，到達(dá)圖2（b）所示位置，此時(shí)電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)，拖動(dòng)伸縮套筒中拉索使天線桁架繼續(xù)展開，直至天線單元完全展開到位并鎖定，如圖2（c）所示。限于篇幅，本文主要對(duì)卷簧驅(qū)動(dòng)下天線反射器桁架展開過程進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)建模仿真。

圖2 桁架單元展開過程示意圖Fig．2 Deployment sequence of truss element

天線反射器桁架是一個(gè)含冗余約束的多體機(jī)構(gòu)系統(tǒng)。假定天線反射器由30個(gè)平面桁架單元組成，它將包括150個(gè)運(yùn)動(dòng)部件、183個(gè)旋轉(zhuǎn)鉸、30個(gè)滑移鉸和30對(duì)同步齒輪約束，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)鉸和1個(gè)同步齒輪約束為冗余約束。如果忽略天線制造裝配誤差引起的天線反射器不共面和形狀不規(guī)則導(dǎo)致的系統(tǒng)自由度縮減，則反射器桁架系統(tǒng)的自由度為150×3-（183-3＋30）×2-（30-1）×1＝1。

3 星載大型天線多體動(dòng)力學(xué)建模

3．1 基本假設(shè)

在衛(wèi)星附件展開過程中，衛(wèi)星相對(duì)于軌道坐標(biāo)系僅存在擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，因此可將當(dāng)?shù)剀壍雷鴺?biāo)系視為慣性參考基準(zhǔn)［6-7］。對(duì)星載大型天線反射器桁架展開過程多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模作如下假設(shè)。

（1）反射器桁架展開過程中桿件結(jié)構(gòu)振動(dòng)可忽略不計(jì)，桁架各部件均作剛體假設(shè)。反射器各桿由輕質(zhì)、高抗振碳纖維復(fù)合材料制成，剛度較大，展開過程中結(jié)構(gòu)振動(dòng)較小。

（2）反射器桁架各部件尺寸足夠精確，制造及裝配誤差引起的單元各部件不共面和形狀不規(guī)則可以忽略。

（3）暫不考慮鉸鏈配合間隙和同步齒輪嚙合間隙對(duì)反射器桁架展開過程的影響。

（4）暫不計(jì)及天線在軌展開過程中松弛狀態(tài)索網(wǎng)對(duì)反射器桁架展開動(dòng)力學(xué)的影響。在軌微重力環(huán)境下索網(wǎng)絕大部分時(shí)間內(nèi)處于松弛狀態(tài)，松弛狀態(tài)索網(wǎng)對(duì)反射器桁架展開動(dòng)力學(xué)的影響來自于索網(wǎng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變引起的慣性效應(yīng)，由于索網(wǎng)質(zhì)量相對(duì)很小，因此反射器桁架在軌展開過程中松弛狀態(tài)索網(wǎng)對(duì)天線反射器桁架展開動(dòng)力學(xué)的影響可以忽略。

3．2 天線反射器展開過程多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)天線反射器展開機(jī)構(gòu)工作原理，其驅(qū)動(dòng)裝置主要包括卷簧和拉索驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)則主要由旋轉(zhuǎn)鉸、滑移鉸和同步齒輪組成。下面將分別建立天線反射器驅(qū)動(dòng)和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)力學(xué)模型。

1）卷簧建模

圖3為鄰接物體間卷簧力元示意圖，圖中物體Bj為物體Bi內(nèi)接物體，P與Q為重合的旋轉(zhuǎn)鉸鉸點(diǎn)。

圖3 卷簧作用示意圖Fig．3 Diagram of coil spring

作用在內(nèi)接物體Bj上的力矩Mj用于計(jì)算系統(tǒng)廣義外力。

式中：Aj為內(nèi)接物體Bj方向余弦矩陣；CQ為卷簧安裝方向余弦矩陣；p為卷簧安裝特征矢量列陣；K為卷簧剛度；qi為旋轉(zhuǎn)鉸相對(duì)坐標(biāo)；θ0為卷簧初始?jí)嚎s角。

根據(jù)作用力與反作用力原理，作用在外接物體Bi上的力矩為

2）同步齒輪

反射器桁架三支桿鉸鏈位置裝有同步齒輪，以保證天線展開過程中各桁架單元的同步性。圖4為天線反射器展開過程中同步齒輪作用示意圖，圖中v表示齒輪嚙合 位 置 速度，B（i-1）×5＋2和B（i-1）×5＋3分別為B（i-1）×5＋3和B（i-1）×5＋6的內(nèi)接物體，其中i＝1，2，…，30。根據(jù)齒輪嚙合原理，兩齒輪在嚙合位置切向速度大小相等，方向相反。

式中：ω1和ω2為同步齒輪1、2相對(duì)于框架（即物體B（i-1）×5＋3）的角速度；r為齒輪的節(jié)圓半徑。

由于同步齒輪1為物體B（i-1）×5＋2的一部分，且旋轉(zhuǎn)鉸H（i-1）×5＋3為物體B（i-1）×5＋2的外接鉸，這樣

同步齒輪2為物體B（i-1）×5＋6的一部分，且旋轉(zhuǎn)鉸H（i-1）×5＋6為物體B（i-1）×5＋6的內(nèi)接鉸，因此

根據(jù)式（3）～（5），得到

圖4 同步齒輪作用示意圖Fig．4 Diagram of synchronization gear

假設(shè)反射器桁架由30個(gè)桁架單元組成，則系統(tǒng)的同步齒輪約束方程為

由于30個(gè)反射器桁架單元最終組成一個(gè)大閉環(huán)機(jī)構(gòu)，且每個(gè)平行四邊形桁架單元對(duì)角相等，因此物體B（30-1）×5＋2與物體B（30-1）×5＋3之間的同步齒輪約束和物體B（30-1）×5＋3與物體B1之間的同步齒輪約束彼此冗余。消除冗余約束后，反射器桁架的同步齒輪約束方程由29個(gè)同步齒輪約束組成，即

根據(jù)式（8），可以獲得系統(tǒng)同步齒輪約束方程組的雅克比矩陣和加速度約束方程組的右端項(xiàng)為

3）反射器閉環(huán)桁架單元切斷鉸約束方程

天線反射器每個(gè)桁架單元均由2個(gè)閉環(huán)組成，選擇物體B（i-1）×5＋1（i＝1，2，…，30）與B（i-1）×5＋3和物體B（i-1）×5＋3與B（i-1）×5＋5之 間 的 旋 轉(zhuǎn) 鉸 作 為 切 斷鉸CT1和CT2，如圖5（a）所示。將以上鉸鏈切斷后，單個(gè)閉環(huán)桁架單元的拓?fù)錁?gòu)型如圖5（b）所示。

圖5 單個(gè)桁架單元切斷鉸示意圖Fig．5 Diagram of cut joints of a single truss bay

每個(gè)平面桁架單元的旋轉(zhuǎn)鉸約束2個(gè)方向相對(duì)移動(dòng)，其相對(duì)移動(dòng)約束方程［8］為

式中：和分別為物體Bj上特征矢量；Ri和Rj分別為物體Bi和Bj質(zhì)心位置矢量；和分別為物體Bi和Bj上鉸點(diǎn)矢量。

對(duì)式（11）求二階偏導(dǎo)數(shù)，整理后可以得到反射器桁架切斷鉸約束方程［8］為

式中：Φi為第i個(gè)切斷鉸約束方程的雅克比矩陣；q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)列向量；γi為第i個(gè)切斷鉸加速度約束方程右端項(xiàng)。

假設(shè)系統(tǒng)存在m個(gè)反射器桁架單元，則反射器桁架系統(tǒng)的切斷鉸約束方程組的雅克比矩陣和加速度約束方程組的右端項(xiàng)為

4）基于相對(duì)坐標(biāo)的星載天線反射器多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

星載大型天線反射器桁架是由多個(gè)閉環(huán)桁架單元和同步齒輪約束副組成的非樹狀多體系統(tǒng)?？紤]式（9）～（10）和式（13）～（14），其多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可寫為

式中：Z為星載大型天線多體系統(tǒng)廣義質(zhì)量陣；z為包含系統(tǒng)廣義外力在內(nèi)的動(dòng)力學(xué)方程右項(xiàng)；λcj為與切斷鉸約束有關(guān)的拉格朗日乘子；λgc為與同步齒輪約束有關(guān)的拉格朗日乘子；fey為非理想約束力陣。

5）奇異構(gòu)型求解技術(shù)

初始時(shí)刻天線反射器各部件均收攏于豎直位置，此時(shí)物體B（i-1）×5＋1與B（i-1）×5＋3（i＝1，2，3，…，30）之間切斷鉸約束導(dǎo)出的雅克比矩陣奇異，且小展開角范圍內(nèi)動(dòng)力學(xué)方程（式（15））左端系數(shù)矩陣條件數(shù)過大，導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)方程無法求解或者數(shù)值仿真結(jié)果發(fā)散。

對(duì)于奇異構(gòu)型引起的雅克比矩陣虧秩問題，已經(jīng)提出了很多解決方案，如罰函數(shù)法［9-10］、約束穩(wěn)定和違約修正結(jié)合的方法［11］，這些方法雖能處理運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)構(gòu)型奇異問題，但難以求解靜止?fàn)顟B(tài)下系統(tǒng)構(gòu)型奇異問題。從數(shù)值上看，初始位置約束雅可比矩陣奇異意味著系統(tǒng)出現(xiàn)額外的冗余約束，如果采用基于約束相關(guān)性分析的選獨(dú)立坐標(biāo)方法直接去除這些“冗余約束”，則相當(dāng)于額外增加了系統(tǒng)的自由度。為了獲得正確結(jié)果，需要計(jì)算機(jī)從刪除冗余約束導(dǎo)致的多種運(yùn)動(dòng)可能性中將真實(shí)運(yùn)動(dòng)自動(dòng)選擇出來，然而初始時(shí)刻反射器處于靜止?fàn)顟B(tài)，難以提供算法自動(dòng)選擇所需要的足夠信息，下面將根據(jù)反射器桁架設(shè)計(jì)原理解決這一問題。為了保證天線反射器能夠正常展開，反射器每個(gè)桁架單元均需要設(shè)計(jì)成平行四邊形機(jī)構(gòu)。根據(jù)平行線基本定理，可得

根據(jù)式（16），可以形成替代約束雅可比矩陣為

替代約束矩陣的右端項(xiàng)為

將式（17）、（18）代入到式（15）中，替換原來出現(xiàn)奇異的雅可比矩陣，得到

式中：Φcj，f為切斷鉸非奇異雅克比矩陣；λcj，f為與Φcj，f有關(guān)的拉格朗日乘子；γcj，f為切斷鉸中非奇異切斷鉸加速度約束方程右端項(xiàng)；λcj，r為與替代約束雅克比矩陣有關(guān)的拉格朗日乘子。

4 算例

以30個(gè)桁架單元組成的天線反射器為例，研究星載大型天線在卷簧驅(qū)動(dòng)下反射器桁架展開多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過程，初始時(shí)刻天線反射器處于收攏狀態(tài)，如圖6所示。星體、大小臂及反射器各物體質(zhì)量、慣量信息和幾何數(shù)據(jù)均由CAD模型提供。假設(shè)各同步齒輪鉸鏈位置處彈簧剛度0．8Nm／rad，初始時(shí)刻卷簧扭轉(zhuǎn)角為π／2，各類鉸鏈位置處靜摩擦系數(shù)為0．4，動(dòng)摩擦系數(shù)為0．3，旋轉(zhuǎn)鉸鏈位置處摩擦力半徑為0．003m，滑移鉸初始重疊量為0．093m。

圖6 星載大型天線展開初始狀態(tài)示意圖Fig．6 Diagram of deployment status of large antenna

天線反射器展開過程中，計(jì)及鉸鏈摩擦情況下系統(tǒng)總機(jī)械能-時(shí)間歷程曲線如圖7所示?？梢钥闯?，計(jì)及鉸鏈摩擦阻力的情況下，系統(tǒng)總機(jī)械能呈下降趨勢(shì)，但到天線反射器完全展開時(shí)仍存在較大剩余動(dòng)能，由于未考慮接近展開到位時(shí)索網(wǎng)繃緊產(chǎn)生的阻力效應(yīng)，這部分剩余動(dòng)能將給反射器桁架帶來一定的沖擊。

圖7 計(jì)及鉸鏈摩擦情況下系統(tǒng)機(jī)械能時(shí)間歷程Fig．7 Mechanical energy with considering hinge’s friction during reflector deployment

圖8為計(jì)及鉸鏈摩擦情況下天線反射器在軌展開過程中整星系統(tǒng)質(zhì)心相對(duì)于星本體質(zhì)心時(shí)間歷程曲線?？梢钥闯?，反射器展開過程中整星系統(tǒng)質(zhì)心在星體坐標(biāo)系x軸和z軸方向偏移量隨著反射器展開而不斷增加，到反射器完全展開到位時(shí)偏移量達(dá)到最大。

圖8 在軌展開過程中系統(tǒng)質(zhì)心相對(duì)星本體質(zhì)心時(shí)間歷程Fig．8 Time history of system mass center relative to satellite body during deployment in orbit

圖9為反射器展開過程中星本體角速度時(shí)間歷程曲線。由于反射器沿垂直于俯仰軸平面展開，因此展開過程中星體角速度在俯仰軸方向變化最大。當(dāng)反射器接近展開到位時(shí)，星體繞俯仰軸方向角速度仍較大，這是由于反射器接近到位時(shí)在y軸方向上仍存在較大速度，根據(jù)動(dòng)量矩守恒原理，星體在該方向上具有相應(yīng)的角速度。以上分析說明控制反射器在軌展開速度既有助于降低反射器展開到位時(shí)刻沖擊，同時(shí)也有利于減小展開過程星體角速度，仿真結(jié)果還表明本文提出的方法能夠避免初始時(shí)刻天線反射器桁架展開機(jī)構(gòu)約束方程雅克比矩陣奇異問題，完成其展開全過程動(dòng)力學(xué)仿真。

圖9 反射器展開過程中星體角速度時(shí)間歷程Fig．9 Angular velocity history of satellite body during reflector’s deployment

5 結(jié)束語

本文采用基于相對(duì)坐標(biāo)的遞推方法，研究了星載大型天線反射器展開動(dòng)力學(xué)過程，建立了卷簧驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)模型和同步齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)模型，給出了含切斷鉸約束的星載大型天線反射器桁架在軌展開多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。針對(duì)初始時(shí)刻天線反射器切斷鉸約束方程雅克比矩陣奇異和小展開角情況下動(dòng)力學(xué)方程左端系數(shù)矩陣數(shù)值性態(tài)差問題，根據(jù)天線反射器桁架機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)原理，提出了基于幾何的切斷鉸約束替代解決方案。最后，結(jié)合算例研究了大型天線反射器在軌展開動(dòng)力學(xué)過程，并從物理角度解釋了仿真結(jié)果的合理性。

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