劉林 湯靖師

（1 南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，南京 210093）

（2 南京大學(xué)空間環(huán)境與航天動(dòng)力學(xué)研究所，南京 210093）

（3 北京航天飛行控制中心航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094）

1 引言

在深空探測(cè)中，環(huán)繞型探測(cè)器顯然是一種主要的選擇。對(duì)于這種探測(cè)器（特別是低軌探測(cè)器）的軌道而言，中心天體的非球形引力作用是決定其軌道特征的主要力源。因此，在確定探測(cè)方案時(shí)，必須深入地了解探測(cè)目標(biāo)天體引力場(chǎng)的細(xì)節(jié)及其相應(yīng)的探測(cè)器軌道特征，不能簡(jiǎn)單地套用人造地球衛(wèi)星的結(jié)果，特別是對(duì)小天體的探測(cè)。

太陽系中各大行星和月球的形狀及內(nèi)部密度分布存在差異，它們的引力位有各自的特征，這就決定了相應(yīng)的環(huán)繞型探測(cè)器的軌道及其變化規(guī)律會(huì)有明顯的差別。而對(duì)于那些小天體（主要是大量的小行星），不但相應(yīng)的引力位的具體形式難以構(gòu)建，而且有些小天體的質(zhì)量太小，探測(cè)器的繞飛形式難以形成，必須用伴飛的形式來代替，以達(dá)到近距離探測(cè)的目的。

金星、火星和月球各自的形狀和物理結(jié)構(gòu)有較明顯差別，例如，月球的質(zhì)量分布相對(duì)而言極不均勻，金星自轉(zhuǎn)極慢，等等。由于這些特點(diǎn)，對(duì)環(huán)繞型探測(cè)器的軌道而言，它們可以作為大天體的不同典型。本文將具體闡述金星、火星和月球各自的環(huán)繞型探測(cè)器運(yùn)行軌道的可能形式及軌道變化特征，并以必要的計(jì)算結(jié)果證實(shí)理論分析的可靠性，為相關(guān)的航天任務(wù)軌道設(shè)計(jì)提供有益的信息。作為比對(duì)的“樣本”，文中也對(duì)地球及人造地球衛(wèi)星的狀況作了必要的闡述。另外，以“愛神”（Eros）為例，闡述了小行星探測(cè)器繞飛軌道的特征和伴飛形式的有關(guān)條件。

2 地球、金星、火星和月球的有關(guān)參數(shù)

圖1中模型適用于本節(jié)介紹的地球、金星、火星和月球，它們北極不同的赤經(jīng)α0、赤緯δ0和0°經(jīng)線距離（W），決定了各自的定向模型。在文中，地球、金星、火星和月球的參數(shù)用相應(yīng)的下標(biāo)E、M、V、Moon區(qū)分。其中：T為從歷元J2000．0起算的時(shí)刻t所對(duì)應(yīng)的儒略世紀(jì)；Rz為繞z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣；d為 自J2000．0起算的儒略日；nr為自轉(zhuǎn)角速度；l和m分別表示重力場(chǎng)的階和次；Cl，m和Sl，m表示重力場(chǎng)歸一化的球諧系數(shù)。

圖1 天體的定向模型Fig．1 Orientation model for celestial bodies

2．1 地球的基本狀況

地球的大小、質(zhì)量和密度與金星相近，均有稠密的大氣層，但自轉(zhuǎn)較快，這一特征與火星相近。其基本參數(shù)如下：質(zhì)量是太陽質(zhì)量的1／332 946．0，公轉(zhuǎn)周期為365．256 363 06d，自轉(zhuǎn)周期為23h56min4．090 53s。地球在日心黃道坐標(biāo)系中的主要軌道根數(shù)（歷元J2000．0）包括：半長(zhǎng)軸為1．000 001 02AU，偏心率為0．016 708 62，傾角為0．0°。

地球平天極在ICRF赤道坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱J2000．0平赤道坐標(biāo)系，這里所說的赤道即地球赤道）中的赤經(jīng)（α0）E、赤緯（δ0）E即為地球平天極的空間指向（見圖1），其值為［1］

式中：TE＝［JD（t）-JD（2000．0）］／36 525，其中，JD（t）和JD（2000．0）分別表示t時(shí)刻和J2000．0標(biāo)準(zhǔn)歷元的儒略日；（α0）E、（δ0）E的單位為（°）。

由此，可建立地心天球坐標(biāo)系，其基本坐標(biāo)面采用J2000．0地球平赤道面，而相應(yīng)參考系的第一方向是春分點(diǎn)γE。若定義地球的自轉(zhuǎn)矩陣為RE（t），則有

格林尼治恒星時(shí)（SG）E可由地球自轉(zhuǎn)角WE給出，即

由于自轉(zhuǎn)較快，地球動(dòng)力學(xué)扁率系數(shù)（J2）E＝1．082×10-3。地球引力場(chǎng)模型通常采用WGS-84模型，即：質(zhì)量常數(shù)為398 600．441 8km3／s2，赤道半徑為6 378．137 0km，部分球諧項(xiàng)系數(shù)列于表1。

表1 WGS-84部分球諧系數(shù)Table 1 Selection of harmonic coefficients from WGS-84

若用帶諧項(xiàng)系數(shù)（Jl）E（l≥2）代替（Cl，0）E，則有

當(dāng)l＝2時(shí)，（J2）E＝1．1×10-3；當(dāng)l≥3時(shí)，（Jl）E≤O（10-6）。

2．2 金星的基本狀況

金星是離地球最近的一顆行星，它的大小、質(zhì)量和密度與地球相近，也有稠密大氣層，但自轉(zhuǎn)很慢。其基本參數(shù)如下：質(zhì)量是太陽質(zhì)量的1／408 523．5，公轉(zhuǎn)周期為224．7d（地球日），自轉(zhuǎn)周期為243．0d。金星的“黃赤”交角為177．36°，是逆自轉(zhuǎn)行星，其平天極在ICRF赤道坐標(biāo)系中的赤經(jīng)（α0）V為272．76°，赤緯（δ0）V為67．16°，代表金星平天極的空間指向。由此，可建立所需的金心天球坐標(biāo)系，其基本坐標(biāo)面采用J2000．0金星平赤道面，而相應(yīng)參考系的第一方向，即金星定向模型中的J2000．0地球平赤道（ICRF平赤道）與J2000．0金星平赤道的交點(diǎn)Q（見圖1）。在此選擇下，金星自轉(zhuǎn)角WV即從點(diǎn)Q向東計(jì)量至點(diǎn)B（金星本初子午線方向），可以將WV看作金星上的格林尼治恒星時(shí)，也可用類似于地球恒星時(shí)的定義（見式（3）），但要注意，金星是逆自轉(zhuǎn)行星。若定義金星的自轉(zhuǎn)矩陣為RV（t），則有

金星在日心黃道坐標(biāo)系中的主要軌道根數(shù)（歷元J2000．0）如下：半長(zhǎng)軸為0．723 329 82AU，偏心率為0．006 771 88，傾角為3．394 662°。由于自轉(zhuǎn)慢，金星動(dòng)力學(xué)扁率系數(shù)（J2）V＝0．45×10-5，比月球的值還小1 個(gè)量級(jí)，比地球的值小2 個(gè)量級(jí)。關(guān)于金星引力場(chǎng)模型，為了闡明相關(guān)問題，這里引用美國(guó)航天部門給出的70×70階模型MGNP180U。其中：質(zhì)量常數(shù)為324 858．592 079km3／s2，金星赤道半徑為6 051．000 0km，部分球諧項(xiàng)系數(shù)列于表2。

表2 MGNP180U 部分球諧系數(shù)Table 2 Selection of harmonic coefficients from MGNP180U

若用帶諧項(xiàng)系數(shù)（Jl）V（l≥2）代替（Cl，0）V，則有

當(dāng)l＝2時(shí)，（J2）V＝4．5×10-6；當(dāng)l≥3時(shí)，（Jl）V＝O（10-6～10-7）。

由于金星自轉(zhuǎn)很慢，不僅動(dòng)力學(xué)扁率系數(shù)（J2）V較小，而且其值與“高”階諧系數(shù)（包括田諧系數(shù)）并無明顯差別。因此，就非球形引力而言，對(duì)低軌探測(cè)器軌道的攝動(dòng)影響將有別于地球的狀況。金星自轉(zhuǎn)軸也在擺動(dòng)，據(jù)目前的理論研究結(jié)果（見文獻(xiàn)［2］），即使存在與地球同量級(jí)的歲差、章動(dòng)量，但由于金星的非球形部分很小，對(duì)于探測(cè)器的軌道問題，可不予考慮。

2．3 火星的基本狀況

火星是與地球類似的一顆行星，其基本參數(shù)如下：質(zhì)量為太陽質(zhì)量的1／309 871 0，公轉(zhuǎn)周期為687．0d（地球日），自轉(zhuǎn)周期為24h37．377 7 min。在日心黃道坐標(biāo)系中的主要軌道根數(shù)（歷元J2000．0）包括：半長(zhǎng)軸為1．523 679 34AU，偏心率為0．093 400 62，傾角為1．849 726°。與地球自轉(zhuǎn)類似，火星的自轉(zhuǎn)軸也在空間擺動(dòng)，其結(jié)果對(duì)環(huán)火星探測(cè)器的軌道而言，同樣存在歲差、章動(dòng)效應(yīng)，但火星的歲差、章動(dòng)量較地球的相應(yīng)值小，其赤經(jīng)歲差和赤緯歲差分別為3．8（″）／a和2．2（″）／a，章動(dòng)序列最大項(xiàng)的幅度只有1．1″。

火星平天極在ICRF赤道坐標(biāo)系中的赤經(jīng)（α0）M、赤緯（δ0）M（單位：（°））為

火星自轉(zhuǎn)角WM同樣由圖1 中的（?。┒x，即從點(diǎn)Q向東計(jì)量至B（火星本初子午線方向），可看作火星上的格林尼治恒星時(shí)，也可用類似于地球恒星時(shí)的定義（見式（3））。定義火星的自轉(zhuǎn)矩陣為RM（t），可表示為

火星引力場(chǎng)與地球有些類似，如其動(dòng)力學(xué)扁率系數(shù)（J2）M與（J2）E的大小；也有明顯差別，如赤道橢率、南北不對(duì)稱的程度等。有多個(gè)火星引力場(chǎng)模型，這里引用美國(guó)Goddard模型GGM-1041C。其中：質(zhì)量常數(shù)為42 828．370 245 291 269km3／s2，赤道半徑為3 397．0km，部分球諧項(xiàng)系數(shù)列于表3。

表3 GGM-1041C部分球諧項(xiàng)系數(shù)Table 3 Selection of harmonic coefficients from GGM-1041C

若用帶諧項(xiàng)系數(shù)（Jl）M（l≥2）代替則有

當(dāng)l＝2 時(shí)，（J2）M＝2×10-3；當(dāng)l≥3 時(shí)，（Jl）M＝O（10-5～10-6）。

一個(gè)通過對(duì)軌道偏心率的影響而制約低軌火星探測(cè)器軌道壽命的參數(shù)見式（10），它會(huì)導(dǎo)致低軌環(huán)火星探測(cè)器的軌道偏心率出現(xiàn)0．02～0．03的長(zhǎng)周期變幅，影響軌道壽命。

2．4 月球的基本狀況

月球是一顆較大的自然衛(wèi)星，沒有大氣，自轉(zhuǎn)很慢。其基本參數(shù)如下：質(zhì)量為地球質(zhì)量的0．012 300 02，公轉(zhuǎn)周期為27．321 661 55d（地 球 日），自 轉(zhuǎn) 周 期 為27．321 661 55d。月球在地心黃道坐標(biāo)系中的主要軌道根數(shù)（歷元J2000．0）包括：半長(zhǎng)軸為0．002 571 881 4AU（384 747．981km），偏 心 率 為0．054 879 905，傾 角 為5．129 835 071°。對(duì)于月球，由于其軌道攝動(dòng)變化較大，最大的周期項(xiàng)振幅可達(dá)2×10-2。

月球平天極在ICRF 赤道坐標(biāo)系中的赤經(jīng)（α0）Moon、赤緯（δ0）Moon為［1］

式中：Ei（i＝1，2，…，13）為中間參數(shù)，表達(dá)式詳見文獻(xiàn)［1］。

若定義月球的自轉(zhuǎn)矩陣為RMoon（t），則有

式中：WMoon為月球的自轉(zhuǎn)角，其計(jì)算公式參見文獻(xiàn)［1］。

在實(shí)際應(yīng)用中，并不采用上述IAU2000天體定向規(guī)范，可選擇更精確的坐標(biāo)系［3］，如DE405歷表對(duì)應(yīng)的參考系。

由于月球自轉(zhuǎn)較慢，其非球形引力位也較接近球形引力位，動(dòng)力學(xué)扁率系數(shù)（J2）Moon不僅較小，而且其大小與“高”階諧系數(shù)（包括田諧系數(shù)）并無明顯差別。因此，就非球形引力位而言，對(duì)低軌探測(cè)器軌道的攝動(dòng)影響也有別于地球低軌衛(wèi)星。為了分析問題，這里引用美國(guó)LP75G 模型。其中：質(zhì)量常數(shù)為4 902．800 269km3／s2，赤道半徑為1 738．0km，部分球諧項(xiàng)系數(shù)列于表4。

表4 LP75G 部分球諧項(xiàng)系數(shù)Table 4 Selection of harmonic coefficients from LP75G

若用（Jl）Moon（l≥2）代替（Cl，0）Moon，則有帶諧項(xiàng)系數(shù)的相應(yīng)值分別為

帶諧項(xiàng)系數(shù)的相應(yīng)值分別為：（J2）Moon＝4．5×10-6，（J3）Moon＝-2．2×10-6，（J4）Moon＝-2．1×10-6，（J5）Moon＝2．0×10-7，（J6）Moon＝-3．2×10-7，…。

通過對(duì)軌道偏心率的影響而制約低軌月球衛(wèi)星軌道壽命的參數(shù)見式（14），它會(huì)導(dǎo)致低軌環(huán)月探測(cè)器的軌道偏心率出現(xiàn)變幅可達(dá)0．05～0．10的長(zhǎng)周期變化，相比火星狀況，會(huì)更明顯地影響低軌探測(cè)器的軌道壽命。

3 大行星和月球各自環(huán)繞型探測(cè)器的軌道特征

3．1 環(huán)繞型探測(cè)器軌道的可能形式

各大行星和月球的環(huán)繞型探測(cè)器，在軌運(yùn)行的基本特征與人造地球衛(wèi)星類似，但具體細(xì)節(jié)也有很多明顯差別。一般，就軌道變化的主要特征而言，可分為低軌和高軌，前者主要取決于中心天體的非球形引力和大氣的影響，而后者則受第三體的引力影響明顯。但就探測(cè)任務(wù)的要求而言，下列幾種類型的軌道是人們所關(guān)注的。①回歸軌道，即航天器軌道周期與中心天體的自轉(zhuǎn)周期成簡(jiǎn)單整數(shù)比；②中心天體同步軌道，即航天器軌道周期與中心天體的自轉(zhuǎn)周期相等；③太陽同步軌道，即航天器軌道平面的進(jìn)動(dòng)與中心天體的公轉(zhuǎn)方向相同，周期相等，也就是在中心天體上看，航天器軌道平面跟著太陽以相同速度向東“跑”；④凍結(jié)軌道，即航天器軌道的長(zhǎng)軸（也就是拱線）方向不變。

在上述四類軌道中，第一類很簡(jiǎn)單，如地球衛(wèi)星，針對(duì)日照條件，要求衛(wèi)星每天繞轉(zhuǎn)12圈重復(fù)過同一地點(diǎn)上空，該衛(wèi)星的軌道周期即為2h；另外三類軌道，對(duì)于地球、金星、火星和月球而言，各有不同的狀態(tài)和特征，下面分別闡明。

3．2 中心天體同步軌道的基本狀況

從理論上看，中心天體的同步航天器軌道也很簡(jiǎn)單，只要軌道周期與中心天體的自轉(zhuǎn)周期相等即可，如果在中心天體的赤道上空運(yùn)行，就成為運(yùn)行在靜止軌道的航天器。但有兩個(gè)問題必須了解：一是相應(yīng)的軌道半長(zhǎng)軸不能太大，否則離中心天體太遠(yuǎn)，航天器就有可能在第三體的引力作用下脫離中心天體而逃逸；二是這種“同步”的穩(wěn)定程度，對(duì)其影響最大的是中心天體的赤道橢率，該非球形項(xiàng)的大小將決定穩(wěn)定范圍。

3．2．1 地球同步軌道衛(wèi)星軌道的主要特征［4-5］

地球同步軌道衛(wèi)星的軌道周期為1 436．068 176min，相應(yīng)的軌道半長(zhǎng)軸為42 164．170km。對(duì)于定點(diǎn)在地球赤道上空的靜止軌道衛(wèi)星而言，在地球赤道橢率（J2，2）E（大小由非球形引力位中的C2，2、S2，2確定）的作用下，赤道上空有2個(gè)穩(wěn)定區(qū)域，即赤道短軸兩端（75°E 和105°W）的各一個(gè)鄰近區(qū)域。在2個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)附近上空的東西漂移，就是這一力學(xué)機(jī)制（軌道共振機(jī)制，類似于單擺現(xiàn)象）；而南北漂移（實(shí)為軌道傾角的變化）則是由第三體（日、月）的引力作用導(dǎo)致，傾角變化呈現(xiàn)長(zhǎng)周期狀態(tài)，變化幅度可達(dá)15°，而周期長(zhǎng)達(dá)50多年。

關(guān)于軌道（或位置）東西和南北漂移現(xiàn)象，為了便于了解其漂移的實(shí)際狀態(tài)，下面給出一個(gè)算例。初始時(shí)刻為2010年9月10日0時(shí)整（UTC），軌道周期、半長(zhǎng)軸和定點(diǎn)經(jīng)度（相對(duì)地球短軸方向）的初始偏差分別為6 min38s、10km 和35．0°。初始軌道傾角的偏差很?。?．005°，約為O（10-4）），即基本上定位在赤道上空，同時(shí)考慮地球非球形引力及日、月引力和太陽光壓的攝動(dòng)影響，即使軌道外推40 000d（接近110a），衛(wèi)星仍能保持在赤道短軸（75°E）上空的一個(gè)鄰近區(qū)域內(nèi)運(yùn)行。具體結(jié)果如下：定點(diǎn)經(jīng)度偏差為-43．13°～＋41．32°，緯度偏差Δφ為-15．28°～＋15．39°。其中，東西經(jīng)度漂移（即定點(diǎn)精度偏差的變化）的周期約900d，在該周期內(nèi)與其有關(guān)的軌道半長(zhǎng)軸的變化幅度約為±25km，見圖2、3。

圖2 地球同步軌道衛(wèi)星經(jīng)度隨時(shí)間的變化狀況Fig．2 Variation of longitude with time for geosynchronous orbit satellite

圖3 地球同步軌道衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸隨時(shí)間的變化狀況Fig．3 Variation of semi-major axis with time for geosynchronous orbit satellite

3．2．2 火星同步軌道探測(cè)器的主要特征［6-7］

根據(jù)火星自轉(zhuǎn)周期確定的火星同步軌道探測(cè)器，其運(yùn)行周期為477．377 72 m，相應(yīng)的軌道半長(zhǎng)軸為20 427．684 25km，是火星運(yùn)行軌道半長(zhǎng)軸的6．013 448倍。如果探測(cè)器的軌道傾角為0°，就是相對(duì)火星的靜止軌道。由于火星非球形引力位的二階次項(xiàng)（（J2）M，（J2，2）M）與地球類似，且（J2，2）M值相對(duì)（J2）M更大一些，（J2，2）M／（J2）M的量級(jí)幾乎達(dá)到10-1。因此，相應(yīng)的軌道共振效應(yīng)更為強(qiáng)烈，即探測(cè)器定位在火星赤道短軸（火星164．7°E）上空附近更穩(wěn)定。

下面給出算例，計(jì)算歷元及相應(yīng)的初始軌道根數(shù)。設(shè)初始時(shí)刻為2010年3月30日4時(shí)整（UTC），半長(zhǎng)袖為20 327．684 233km，偏心率為0．000 1，傾角為0．005°，軌道半長(zhǎng)軸與同步軌道相差100km，相應(yīng)的運(yùn)行周期與同步周期相差約11min，結(jié)果見圖4、5。圖中：經(jīng)度的變化dx＝λ-λMS，λ為衛(wèi)星定點(diǎn)經(jīng)度，λMS為火星赤道短軸的經(jīng)度，大小為164．7°（74．7°＋90°）。

圖4、5考慮了（J2）M＋（J2，2）M的攝動(dòng)影響，對(duì)赤道短軸方向定位的初始偏離量為10．0°。在這么大的運(yùn)行周期和定位偏離的情況下，探測(cè)器仍能保持在火星赤道短軸上空的鄰近區(qū)域內(nèi)運(yùn)行。而對(duì)于地球同步軌道衛(wèi)星，軌道半長(zhǎng)軸與同步軌道僅差40km，即使初始嚴(yán)格定位在赤道短軸上空，即其定點(diǎn)精度初始偏差0．0°，也不能保持在赤道短軸上空的擺動(dòng)狀態(tài)。這證實(shí)了由于火星非球形引力位的赤道橢率（J2，2）M相對(duì)扁率系數(shù)（J2）M較大，相應(yīng)軌道變化的共振效應(yīng)更為強(qiáng)烈，探測(cè)器定位在火星赤道短軸（火星164．7°E）上空附近，比地球同步軌道狀態(tài)更為穩(wěn)定。

圖4 火星同步軌道衛(wèi)星經(jīng)度變化dx 隨時(shí)間t的變化Fig．4 Variation of longitude change（dx）with time（t）for areosynchronous orbit satellite

圖5 火星同步軌道衛(wèi)星經(jīng)度變化dx 與半長(zhǎng)軸的關(guān)系Fig．5 Variation of semi-major axis with longitude change（dx）for areosynchronous orbit satellite

3．2．3 運(yùn)行在金星與月球同步軌道的探測(cè)器是否存在

金星的自轉(zhuǎn)速度很慢，其自轉(zhuǎn)周期比公轉(zhuǎn)周期還長(zhǎng)（243．0d（地球日）），要形成金星同步軌道，相應(yīng)的軌道半長(zhǎng)軸達(dá)153．65×104km，而這一距離已超出金星 的 希 爾（Hill）范 圍［4］大 小（其 值 為101．12×104km），因此，運(yùn)行在這種軌道上的探測(cè)器，在太陽引力作用下很快就會(huì)遠(yuǎn)離金星，意味著實(shí)際上不可能存在這樣的同步軌道。

月球與金星情況類似，其自轉(zhuǎn)速度也較慢，自轉(zhuǎn)周期為27．321 7d（地球日），要形成月球同步軌道，相應(yīng)的軌道半長(zhǎng)軸要達(dá)到8．845×104km，而這一距離同樣超出了月球的Hill范圍大?。ㄆ渲禐?．16×104km）。如果僅考慮月球的非球形引力影響，由于其赤道橢率（J2，2）Moon相對(duì)而言較大，同步軌道探測(cè)器定位在月球短軸（90．0°E）上空附近也相當(dāng)穩(wěn)定。但是，運(yùn)行在這樣軌道上的探測(cè)器，在地球引力作用下很快就會(huì)遠(yuǎn)離月球。如果初始軌道偏心率和傾角的大小各為0．000 1和0．005°，運(yùn)行不到2．8d，軌道就會(huì)被地球引力拉“扁”到偏心率接近1的程度，這同樣意味著實(shí)際上不可能存在運(yùn)行在月球同步軌道的探測(cè)器。

3．3 太陽同步軌道的基本狀況

對(duì)于太陽同步軌道，要求其軌道平面跟著太陽以相同速度向東“跑”，航天器軌道平面的進(jìn)動(dòng)，源于中心天體非球形引力位中扁率系數(shù)J2的攝動(dòng)作用。要求航天器軌道平面東進(jìn)狀態(tài)與太陽“繞”中心天體運(yùn)行（實(shí)為中心天體繞日公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）同步，無量綱形式的表達(dá)條件為［4-5］

式中：設(shè)定p＝a（1-e2），n＝a-3／2，其中a和e分別為衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)徑和軌道偏心率；ns為中心天體繞日運(yùn)動(dòng)角速度。

由于導(dǎo)致航天器軌道平面旋轉(zhuǎn)的非球形引力位中的偶次帶諧項(xiàng)系數(shù)J2l（l≥2）要比J2小1～3個(gè)量級(jí)，其他能導(dǎo)致航天器軌道平面旋轉(zhuǎn)的攝動(dòng)因素更小，故只考慮J2項(xiàng)給出的條件式（15），可體現(xiàn)太陽同步軌道的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。下面分別給出地球衛(wèi)星和火星、月球探測(cè)器的低軌太陽同步軌道的算例和結(jié)果。

（1）每天（地球日）環(huán)繞地球運(yùn)行約14．0圈：軌道高度h的平均值＝890．0km，運(yùn)行周期為102．857 1 min，半長(zhǎng)軸為7 271．9km，偏心率為0．000 1，傾角為98．902 5°。

關(guān)于金星的環(huán)繞型探測(cè)器，不能以太陽同步軌道的形式運(yùn)行。原因是金星自轉(zhuǎn)太慢，幾乎呈現(xiàn)球狀，其非球形引力位中的扁率系數(shù)（J2）V很?。?．5×10-6），該項(xiàng)攝動(dòng)影響的結(jié)果Ω遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于太陽的東進(jìn)速度（也就是中心天體繞日公轉(zhuǎn)角速度）ns［8］，不可能形成太陽同步軌道。

3．4 凍結(jié)軌道的基本狀況

凍結(jié)軌道即拱線靜止軌道，也就是航天器軌道的近星點(diǎn)指向不變。就軌道的近星點(diǎn)方向不變而言，凍結(jié)軌道有兩類：臨界傾角軌道和任意傾角（除臨界傾角外）的凍結(jié)軌道。臨界傾角軌道由中心天體非球形引力位中扁率系數(shù)J2的長(zhǎng)期攝動(dòng)確定。近星點(diǎn)幅角ωF的長(zhǎng)期變率ωF主項(xiàng)的無量綱表達(dá)式如下［4-5］。

式中：pF為凍結(jié)軌道的橢圓半通徑；nF為凍結(jié)軌道航天器的運(yùn)動(dòng)角速度；iF為凍結(jié)軌道的軌道傾角。

當(dāng)ωF＝0時(shí)，近星點(diǎn)指向不變，相應(yīng)的傾角稱為臨界傾角ic，其值為63°26′和116°34′。這類凍結(jié)軌道涉及軌道共振效應(yīng)［4］，其穩(wěn)定程度受軌道偏心率的大小制約，偏心率越大，穩(wěn)定性越好。蘇聯(lián)通信衛(wèi)星“閃電”（Molniya），采用的就是這樣的大偏心率臨界傾角凍結(jié)軌道。由于地球同步軌道衛(wèi)星為高緯度地區(qū)傳輸信號(hào)時(shí)能耗較大，改用凍結(jié)軌道作為通信衛(wèi)星的工作軌道，可以降低能耗?！伴W電”衛(wèi)星將遠(yuǎn)地點(diǎn)保持在蘇聯(lián)上空，使用3顆這樣的衛(wèi)星即可保證蘇聯(lián)全境24h信號(hào)的覆蓋。

通常所說的凍結(jié)軌道，是指對(duì)應(yīng)任一傾角的特殊軌道。這一特殊軌道實(shí)際上對(duì)應(yīng)一個(gè)平均軌道解，也就是將航天器運(yùn)動(dòng)方程中所有短周期項(xiàng)（即由快變量構(gòu)成的周期項(xiàng)）消除后的一個(gè)特解。主要針對(duì)低軌航天器而言，相應(yīng)的平均系統(tǒng)取決于中心天體非球形引力位中的帶諧項(xiàng)Jl（l≥2），該系統(tǒng)退化為一個(gè)四維動(dòng)力系統(tǒng)，涉及4個(gè)軌道根數(shù)——軌道半長(zhǎng)軸aF、偏心率eF、軌道傾角iF、近地點(diǎn)幅角ωF。相應(yīng)的凍結(jié)軌道的解，有下列兩種可能［4］：ωF為90°或270°。給定aF和iF后，即可由式（17）確定相應(yīng)的eF。

式中：ε2表示相對(duì)｜（J3）F／（J2）F｜的高階小量，如果（J3）F／（J2）F＞0，對(duì)應(yīng)凍結(jié)軌道解ωF＝270°，反之，ωF＝90°。

根據(jù)上述分析，地球和金星凍結(jié)軌道解的近星點(diǎn)幅角為90°，而火星和月球凍結(jié)軌道解的近星點(diǎn)幅角為270°。另外，主要奇次帶諧項(xiàng)J3與扁率系數(shù)J2的相對(duì)大小，決定了凍結(jié)軌道解對(duì)應(yīng)的軌道偏心率的大小，對(duì)地球、金星、火星和月球而言，凍結(jié)軌道偏心率的量級(jí)分別為10-3、10-1、10-2和10-1。

3．5 關(guān)于軌道壽命狀況

對(duì)于低軌航天器，大氣（如果存在）耗散效應(yīng)是決定軌道壽命的主要因素，其表現(xiàn)特征是：軌道半長(zhǎng)軸和偏心率隨時(shí)間增長(zhǎng)不斷減小，即軌道不斷變小變圓。除此之外，還有另一種機(jī)制，即在中心天體非球形引力和第三體引力攝動(dòng)下，航天器軌道偏心率的長(zhǎng)周期變化Δel（t），會(huì)導(dǎo)致軌道近星點(diǎn)的高度降低，達(dá)到與中心天體相撞的狀態(tài)，軌道運(yùn)行終止。

根據(jù)航天器運(yùn)動(dòng)理論，在中心天體非球形引力和第三體引力攝動(dòng)下，低軌航天器軌道偏心率的長(zhǎng)周期變化ΔeLC（t）由式（18）［3-5，9-12］表示。

非球形引力位中奇次帶諧項(xiàng)引起的偏心率的長(zhǎng)周期變化主項(xiàng)，不帶有偏心率因子，而偶次帶諧項(xiàng)引起的變化均含有偏心率因子，這是因?yàn)槠娲螏еC項(xiàng)J2l-1（l≥2）的大小實(shí)質(zhì)上反映的是一個(gè)天體南北不對(duì)稱（包括形狀和質(zhì)量密度分布）的程度。由此可知：偏心率的長(zhǎng)周期變化幅度主要取決于奇次帶諧項(xiàng)J2l-1（l≥2）相對(duì)J2的大小，而且總效果取決于函數(shù)μ（i）值的變化狀況。對(duì)于地球低軌衛(wèi)星，μ（i）并不重要，而O（J2l-1／J2）＝O（10-3），相應(yīng)的eLC（t）變化很小，對(duì)地球低軌衛(wèi)星的軌道壽命無影響。但對(duì)金星、火星和月球的低軌探測(cè)器，因｜J2l-1／J2｜的量級(jí)較大，這一影響機(jī)制較重要，特別是月球低軌探測(cè)器［3］。對(duì)于金星低軌探測(cè)器，O（J2l-1／J2）＝O（10-1）會(huì)引起軌道偏心率有變幅較大的長(zhǎng)周期變化，同樣會(huì)影響軌道壽命。但是，因其整個(gè)非球形引力對(duì)球形引力（即質(zhì)點(diǎn)引力）的偏離量很小，這一長(zhǎng)周期變化的周期很長(zhǎng)，幾乎像長(zhǎng)期變化，因此影響相當(dāng)緩慢［8］。這里給出數(shù)值算例［13］：在不考慮金星大氣的情況下，考查非球形引力的作用，初始時(shí)刻為2011年1月11日0時(shí)整（UTC），軌道近星點(diǎn)高度為700km，遠(yuǎn)星點(diǎn)高度為800km，軌道傾角為10．0°和85．0°?？紤]金星非球形引力攝動(dòng)，近星點(diǎn)高度的變化狀態(tài)見圖6。

在圖6中并沒有在軌道近星點(diǎn)高度為0．0km時(shí)終止計(jì)算，是為了了解長(zhǎng)周期變化的細(xì)節(jié)。從圖6中可以看出：偏心率確有周期很長(zhǎng)的長(zhǎng)周期變化，而且確實(shí)可以使探測(cè)器軌道近星點(diǎn)高度在一定時(shí)間段內(nèi)降低到0．0km，但這一過程非常緩慢，降低到0．0km（對(duì)應(yīng)偏心率為0．001 3）時(shí)需要的時(shí)間長(zhǎng)達(dá)2 068d（對(duì)應(yīng)軌道傾角10．0°）和4 545d（對(duì)應(yīng)軌道傾角85．0°），這一特征也與軌道傾角有關(guān)，反映了金星質(zhì)量密度分布也是不太均勻的。另外，同時(shí)考慮太陽引力攝動(dòng)的結(jié)果，沒有明顯改觀。以軌道傾角10．0°對(duì)應(yīng)的結(jié)果為例，僅考慮金星非球形引力攝動(dòng)與同時(shí)考慮太陽引力攝動(dòng)，達(dá)到軌道近星點(diǎn)高度為0．0km 時(shí)的偏心率均為0．110 3，耗時(shí)長(zhǎng)度分別為2 067．9d和2 069．8d，這表明對(duì)于低軌探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)，主要攝動(dòng)因素還是金星的非球形引力。

圖6 金星低軌探測(cè)器近星點(diǎn)高度的變化狀態(tài)Fig．6 Variation of periapsis height for low Venusian orbit

月球無大氣，其低軌探測(cè)器的軌道壽命主要受奇次帶諧項(xiàng)J2l-1（l≥2）的攝動(dòng)影響所制約。除軌道傾角約為0°外，偏心率的長(zhǎng)周期變化將取決于的變化，它有多個(gè)極大值與極小值，即同一高度的低軌探測(cè)器，不同的軌道傾角，軌道壽命卻有非常明顯的差別。例如：初始近月點(diǎn)高度為100km 的近圓軌道，傾角為90°和40°，相應(yīng)的軌道壽命只有172d和48d；而傾角為85°，即使運(yùn)行50年，近月點(diǎn)高度也不會(huì)降低到與月球相撞，在50年期間，近月點(diǎn)高度最低值仍有60km。這一現(xiàn)象反映了月球非球形引力位不僅南北明顯不對(duì)稱，而且質(zhì)量密度分布還很不均勻，如存在質(zhì)量瘤現(xiàn)象。

對(duì)于火星低軌探測(cè)器，既不同于地球衛(wèi)星，即函數(shù)μ（i）的值也很重要，但又不同于月球探測(cè)器，主要取決于sini值的大小。極軌探測(cè)器軌道偏心率的長(zhǎng)周期變化幅度ΔeLC（t），明顯大于小傾角軌道探測(cè)器的變化幅度，即前者近火星點(diǎn)高度下降明顯。這表明火星非球形引力位盡管南北不對(duì)稱，且較地球明顯，但質(zhì)量密度分布卻不像月球那樣，還是較均勻的。表5列出了一些數(shù)值檢驗(yàn)結(jié)果（積分1年的弧段），僅在引力機(jī)制下，低軌探測(cè)器與火星相撞的初始近地點(diǎn)高度的臨界值約為80～85km。表中的數(shù)據(jù)已基本顯示出近火星點(diǎn)高度下降的狀態(tài)以及與軌道傾角的單調(diào)關(guān)系，的確與月球低軌探測(cè)器相應(yīng)的狀態(tài)存在明顯差別，更多的細(xì)節(jié)，請(qǐng)見文獻(xiàn)［6］。

表5 軌道變化特征與傾角關(guān)系Table 5 Dependence of orbit variation on inclination

4 探測(cè)小天體的軌道形式

太陽系的小天體是研究太陽系演化的重要樣本，因此也就成為深空探測(cè)中的一類重要目標(biāo)天體，特別是大量的小行星。但這些小行星的質(zhì)量相對(duì)而言都很小，而且形狀極其不規(guī)則（它決定了其引力位的特征），對(duì)于近距離探測(cè)所采用軌道形式，將有別于對(duì)上述大天體的探測(cè)軌道的選擇。原則上，對(duì)小天體的探測(cè)可采用兩種形式：一種是形成繞飛形式的低軌探測(cè)器（包括登陸探測(cè)）進(jìn)行探測(cè)，相應(yīng)的小天體的質(zhì)量不太??；另一種是形成伴飛狀態(tài)的探測(cè)形式。

對(duì)于低軌地球衛(wèi)星，其環(huán)繞速度約8km／s，逃逸速度約11．3km／s；對(duì)于小行星而言，由于其質(zhì)量普遍較小，環(huán)繞其運(yùn)行的臨界速度也變得較小，相應(yīng)的脫離速度與其差別不大。以小行星（特別是近地小行星）的探測(cè)為例，如“愛神”（Eros）小行星的質(zhì)量為6．690 4×1015kg［14］，比地球小近9個(gè)量級(jí)，相應(yīng)的環(huán)繞速度和逃逸速度則分別為5．3m／s和7．5m／s，如果受到較大的攝動(dòng)，繞飛形式的探測(cè)器很容易飛離小行星。更重要的是，大多小行星的形狀與地球大不相同，如果近似地處理成質(zhì)量密度均勻分布的三軸橢球體，相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)扁率和橢率都會(huì)很大，如“愛神”小行星，根據(jù)文獻(xiàn)［14］給出的探測(cè)結(jié)果，相應(yīng)的扁率和橢率分別為0．052 478 和0．087 076，“參考”半徑為16．0km。對(duì)于這種類型的非球形天體，其低軌探測(cè)器運(yùn)行在平均高度為10km 的近圓軌道時(shí)，承受的非球形引力攝動(dòng)量級(jí)接近10-1，而且田諧項(xiàng)的攝動(dòng)也較大，這就給攝動(dòng)解的構(gòu)造帶來困難。如果探測(cè)質(zhì)量更小的小天體，探測(cè)器都很難形成環(huán)繞型的軌道，那么只有采用伴飛狀態(tài)的探測(cè)形式，使其構(gòu)成與目標(biāo)小天體軌道存在一定聯(lián)系的運(yùn)行軌道。

4．1 繞飛形式的探測(cè)

就處理方法而言，與地球衛(wèi)星并無差別，包括數(shù)學(xué)模型和構(gòu)造軌道解的基本原理；但由于中心天體質(zhì)量較小及其引力位的特征（如“愛神”小行星），在具體構(gòu)造軌道解的過程中將會(huì)遇到困難。在中心天體非球形引力和第三體引力攝動(dòng)下的受攝運(yùn)動(dòng)方程為［4］

式中：由軌道根數(shù)組成的轉(zhuǎn)置矩陣σ＝［aBeBiBΩBωBMB］T，下標(biāo)B表示小天體，σ（0）是初始無攝動(dòng)根數(shù)；f（σ，t，ε）由中心天體非球形引力和第三體引力攝動(dòng)構(gòu)成，其中ε是對(duì)應(yīng)攝動(dòng)加速度的小參數(shù)。

相應(yīng)的軌道根數(shù)變化的小參數(shù)冪級(jí)數(shù)解取到k階（對(duì)小參數(shù)ε而言）的形式如下。

關(guān)于攝動(dòng)解的構(gòu)造，對(duì)下述幾種情況已有一些有益的探討［15-17］。①目標(biāo)天體的動(dòng)力學(xué)扁率特別大，其他攝動(dòng)因素影響較小，采用中間軌道法構(gòu)造出三階攝動(dòng)解。②目標(biāo)天體的動(dòng)力學(xué)扁率和橢率都較大，采用改進(jìn)的攝動(dòng)法構(gòu)造二階攝動(dòng)解，包括扁率和橢率的聯(lián)合項(xiàng)，但探測(cè)器的環(huán)繞軌道偏心率必須較小。③在目標(biāo)天體的動(dòng)力學(xué)扁率和第三體引力攝動(dòng)同等重要的情況，同樣也采用改進(jìn)的攝動(dòng)法來探討。關(guān)于這幾種情況下的具體結(jié)果不再列出，探測(cè)器的軌道變化規(guī)律相對(duì)地球衛(wèi)星而言，并無“異?！爆F(xiàn)象。下面給出一個(gè)算例，即“愛神”小行星的低軌探測(cè)器的運(yùn)行軌道變化狀態(tài)。初始軌道數(shù)據(jù)為：aEros＝46．0km，eEros＝0．000 1，iEros＝45．0°，ΩEros＝45．0°，ωEros＝45．0°，MEros＝0．0°。外推1年的軌道變化，用2個(gè)有代表性的根數(shù)（近星點(diǎn)高度和軌道傾角）的變化來顯示其軌道的變化特征，見圖7、8。

圖7 小天體探測(cè)器近星點(diǎn)高度隨時(shí)間的變化Fig．7 Variation of periapsis with time for small body probes

圖8 小天體探測(cè)器軌道傾角隨時(shí)間的變化Fig．8 Variation of orbit inclination with time for small body probes

從圖7、8顯示的結(jié)果可以看出，軌道形狀和軌道面的變化均無異常，與地球衛(wèi)星由引力攝動(dòng)引起的軌道變化規(guī)律并無區(qū)別。對(duì)于“愛神”的高軌探測(cè)器（如軌道半長(zhǎng)軸為100．0km，約為“愛神”小行星參考半徑的6．25倍時(shí)），相應(yīng)的軌道變化也無明顯差別，因這樣的高度，仍舊是中心天體的非球形引力攝動(dòng)占主導(dǎo)地位，第三體引力攝動(dòng)還是較小。

對(duì)于眾多小天體，上述三軸橢球體引力模型的假定并不成立，相應(yīng)非球形引力位的形式非常復(fù)雜，即使采用普遍適用的球諧函數(shù)展開形式，其各球諧項(xiàng)的大小絕不會(huì)像大行星（特別是地球）那樣有“規(guī)律”，無論是采用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱體，還是三軸橢球體，均與實(shí)際的力模型差距很遠(yuǎn)，這就給構(gòu)造繞飛型探測(cè)器的軌道解帶來麻煩，也就是繞飛形式探測(cè)中有待研究的力模型問題。

4．2 伴飛形式的探測(cè)

對(duì)于質(zhì)量較小的小行星，如果難以俘獲探測(cè)器或勉強(qiáng)俘獲后，在其他大行星引力攝動(dòng)下很快又飛離目標(biāo)小行星，那么需要采用伴飛的形式進(jìn)行探測(cè)。這里所說的伴飛，可能有兩種形式：一是目標(biāo)小行星的質(zhì)量小到一定程度，相對(duì)太陽而言，就如同一般地球衛(wèi)星相對(duì)地球那樣，此時(shí)，探測(cè)器與小行星的伴飛狀態(tài)就類似于2顆地球衛(wèi)星的伴飛狀態(tài)；二是目標(biāo)小行星的質(zhì)量不能忽略，在這種力學(xué)背景下，可能的伴飛形式就是限制性三體問題中探測(cè)器定位在相應(yīng)的平動(dòng)點(diǎn)L1或L2附近的周期或擬周期軌道上［18］，因小行星的質(zhì)量相對(duì)太陽而言確實(shí)很小，平動(dòng)點(diǎn)L1或L2離小行星很近，與L1 或L2 點(diǎn)伴飛（如halo軌道）和伴飛目標(biāo)小行星，就幾何狀態(tài)而言沒有明顯區(qū)別。根據(jù)文獻(xiàn)［14］給出的“愛神”小行星的引力常數(shù)4．463×10-4km3／s2及相關(guān)軌道根數(shù)可知，平動(dòng)點(diǎn)L1或L2 距“愛神”只有約2 200km 遠(yuǎn)，而“愛神”是太陽系中最大的小行星之一，更多的小行星質(zhì)量遠(yuǎn)比它小，相應(yīng)的平動(dòng)點(diǎn)L1 或L2 的距離還要小，也就是會(huì)相當(dāng)靠近小行星。因此，從探測(cè)效果來看，上述兩種伴飛形式均可達(dá)到探測(cè)目的，但它們的力學(xué)機(jī)制卻完全不同。

5 結(jié)束語

本文闡述了大行星、月球和小天體環(huán)繞型探測(cè)器的軌道問題。上述內(nèi)容，對(duì)于深空探測(cè)而言，作為目標(biāo)軌道設(shè)計(jì)和地面測(cè)控系統(tǒng)，都是必須了解的基本軌道信息。至于各類環(huán)繞型探測(cè)器軌道變化的細(xì)節(jié)，將涉及軌道攝動(dòng)變化的分析解（實(shí)為小參數(shù)冪級(jí)數(shù)解）。小參數(shù)冪級(jí)數(shù)解的構(gòu)造方法，就基本原理而言，對(duì)不同中心天體的探測(cè)器是一致的，但具體方法不盡相同。即使是本文提及的幾個(gè)探測(cè)目標(biāo)天體，由于它們的非球形引力位和相應(yīng)的力學(xué)環(huán)境均有各自的特點(diǎn)，不存在相同的攝動(dòng)解構(gòu)造方法（包括小參數(shù)的選擇和構(gòu)造的細(xì)節(jié)），最終給出的攝動(dòng)解的特征也有明顯差別。因此，不能簡(jiǎn)單地套用地球衛(wèi)星的有關(guān)方法和結(jié)果。限于本文篇幅，有關(guān)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［3-4，8，16-17，19］。

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