李應(yīng)，吳康

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

n維超長(zhǎng)方體中圖形函數(shù)的計(jì)數(shù)

李應(yīng)，吳康

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

利用組合幾何計(jì)數(shù)原理和方法，研究在均勻分割的n維超長(zhǎng)方體中，所有n維超長(zhǎng)方體的任一k維測(cè)度和的計(jì)數(shù)問(wèn)題.從頂點(diǎn)和、周長(zhǎng)和、面積和等低維測(cè)度和計(jì)數(shù)方法入手，然后類比遷移到高維空間中，最終得到任一k維測(cè)度和的計(jì)數(shù)公式，并在五種特殊n維超長(zhǎng)方體中推廣.

組合幾何計(jì)數(shù);n維超長(zhǎng)方體;圖形函數(shù);k維測(cè)度;k維測(cè)度和

1 問(wèn)題引入

“在一條線段上添加n個(gè)分點(diǎn)，求所有線段的條數(shù)”、“在m×n棋盤中，求所有長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)”這類幾何圖形中求某種圖形個(gè)數(shù)的問(wèn)題常見(jiàn)于文獻(xiàn)［1－2］.直線、平面或空間圖形均勻分割求個(gè)數(shù)問(wèn)題前人已經(jīng)推導(dǎo)出具體計(jì)算公式.本文研究n維超長(zhǎng)方體經(jīng)均勻分割后，所有n維超長(zhǎng)方體的任一k維測(cè)度和的計(jì)數(shù)問(wèn)題，并在五種特殊n維超長(zhǎng)方體中作進(jìn)一步推導(dǎo).

本文約定所有圖形在n維歐氏空間［3］內(nèi)討論，并作如下定義.

對(duì)k維面約定k=0時(shí)稱為頂點(diǎn);k=n時(shí)即Tn(A)本身;k=1時(shí)稱為一維棱，第i維的一維棱簡(jiǎn)稱為ai邊.

對(duì)k維測(cè)度約定0維測(cè)度等于1.

定義3在Tn(A)中，頂點(diǎn)、一維棱、二維面、三維面、…、n維面稱為Tn(A)的元素.同一維度的元素稱為同種元素，如長(zhǎng)方形的6個(gè)面是同種元素，12條棱也是同種元素.

定義4在Tn(A)中，與任一k維面測(cè)度相等的同種元素個(gè)數(shù)記為h(n，k).

引理1在Tn(A)中，與任一k維面測(cè)度相等的同種元素個(gè)數(shù)

證明在k維面為1，2，…，n的任意排列)中，xik+1，xik+2，…，xin的每個(gè)值都有兩種選擇，由乘法原理易得:h(n，k)=2n－k.

定義5若Tn(A)被均勻分割為m1×m2×…×mn等分(mi∈N+，mi與ai邊對(duì)應(yīng)，i=1，2，…，n)，則用Tn(a1，a2，…，an; m1，m2，…，mn)表示，簡(jiǎn)記為Tn(A;M)，其中M表示向量(m1，m2，…，mn).

定義6在Tn(A;M)中，所有n維超長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)用g(M)表示.

特別地，在均分為m段的線段中，所有線段條數(shù)用g(m)表示.

定義7在Tn(A;M)中，設(shè)1≤j1＜j2＜…＜jk≤n，那么從aj1，aj2，…，ajk對(duì)應(yīng)k邊上各取定一條線段，則一類n維超長(zhǎng)方體的一個(gè)k維面被確定，這類n維超長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)記為g(m1，m2，…，mn;mj1，mj2，…，mjk).

引理2定義7中n維超長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)

證明定義7中n維超長(zhǎng)方體，由不是第j1，j2，…，jk的基維上任意取一條線段而確定，由定義6易得(2)式成立.

引理3［1］在Tn(A;M)中，所有n維超長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)

定義8用fn，k(A;M)表示Tn(A;M)中所有n維超長(zhǎng)方體的所有k維測(cè)度和，如所有1維測(cè)度和即周長(zhǎng)和，所有2維測(cè)度和即表面積和.

引理4［1］在Tn(A;M)中，所有n維超長(zhǎng)方體的0維測(cè)度(頂點(diǎn)個(gè)數(shù))和

2 一維測(cè)度圖形函數(shù)的計(jì)數(shù)

2.1 f1，1(a1;m1)的計(jì)數(shù)公式

定理1［4］如圖1所示，線段AB的長(zhǎng)度為a1，均分為m1段，則線段AB中所有線段長(zhǎng)度之和為

圖1 線段ABFig.1Line AB

證明線段AB均分為m1段，則AB間共有m1+1個(gè)點(diǎn)，那么長(zhǎng)度為·i(1≤i≤m1)的線段數(shù)量有m1+1－i條.因此

2.2 f2，1(a1，a2;m1，m2)的計(jì)數(shù)公式

定理2如圖2所示，長(zhǎng)方形ABCD中，AB長(zhǎng)為a1，均分為m1段，AD長(zhǎng)為a2，均分為m2段，長(zhǎng)方形ABCD平行分割為m1×m2棋盤，則長(zhǎng)方形ABCD中所有長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和為

圖2 長(zhǎng)方形ABCDFig.2Rectangle ABCD

證明長(zhǎng)方形ABCD中有兩組平行線，圖中任一小長(zhǎng)方形由兩對(duì)平行線相交而成，且為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.長(zhǎng)方形ABCD中所有長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和，可分為平行于AB的線段和l1，平行于AD的線段和l2這兩部分.以下首先討論l1:在AB上任意取定一條線段，不妨取EF，則一類長(zhǎng)方形的一組對(duì)邊長(zhǎng)度被確定，另一組對(duì)邊長(zhǎng)度由AD決定，故這類長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)與線段AD上所有線段條數(shù)相等，即g(m2).由定理1，AB上所有線段和為f1，1(a1;m1)，因此l1=f1，1(a1;m1)·h(2，1)·g(m2).同理l2=f1，1(a2;m2) ·h(2，1)·g(m1).故

其中f2，1(a1，a2;m1，m2)為T2(a1，a2;m1，m2)中所有長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)(1維測(cè)度)和.

2.3 f3，1(a1，a2，a3;m1，m2，m3)的計(jì)數(shù)公式

定理3如圖3所示，長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中，AB長(zhǎng)為a1，均分為m1段，AD長(zhǎng)為a2，均分為m2段，AA'長(zhǎng)為a3，均分為m3段，長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'被m1×m2×m3等分，則長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中所有長(zhǎng)方體周長(zhǎng)之和為

證明長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中有3組平行面，圖中任一小長(zhǎng)方體由3對(duì)平行面相交而成，且為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中所有長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和，可分為平行于AB的線段和l1，平行于AD的線段和l2，平行于AA'的線段和l3這3部分.以下首先討論l1:在AB上任意取定一條線段，不妨取EF，則一類長(zhǎng)方體的一組對(duì)邊長(zhǎng)度即被確定，另外兩組對(duì)邊由AD與AA'決定，故這類長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)為g(m1，m2，m3;m1).由定理1，AB上所有線段和為f1，1(a1;m1)，因此l1=f1，1(a1;m1)·h(3，1)·g(m1，m2，m3;m1).

圖3 長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'Fig.3Cuboid ABCD－A'B'C'D'

2.4 fn，1(A;M)的計(jì)數(shù)公式

定理4Tn(A;M)中，所有n維超長(zhǎng)方體的周長(zhǎng)(1維測(cè)度)之和

證明Tn(A;M)中有n組平行面，任一小n維超長(zhǎng)方體由n對(duì)平行面相交而成，且為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.fn，1(A;M)可分為平行于各ai(i=1，2，…，n)邊的線段和li，共n部分.以下任取lk(1≤k≤n)進(jìn)行討論.

設(shè)ak對(duì)應(yīng)的邊為HM，在線段HM上任意取定一條線段，則一類n維超長(zhǎng)方體的一組對(duì)邊長(zhǎng)度被確定，另外(n－1)組對(duì)邊由其余a1，a2，…，ak－1，ak+1，…，an對(duì)應(yīng)的(n－1)條邊決定，故這類n維超長(zhǎng)方體個(gè)數(shù)為g(m1，m2，…，mn;mk).由定理1，HM上所有線段和為f1，1(ak;mk)，因此lk=f1，1(ak;mk)·h(n，1)·g(m1，m2，…，mn;mk).

至乾隆七年，乾隆皇帝為智樸修進(jìn)士墳，估算智樸和尚大概活了一百歲。 無(wú)論是記錄智樸曲折心路歷程的《青松紅杏圖》、體現(xiàn)其詩(shī)文造詣的《盤山志》，還是與皇帝士子的結(jié)交來(lái)往，都使智樸跌宕的人生充滿傳奇色彩。 關(guān)于智樸的研究，還有很多未解之疑，待再作詳論。

其中fn，1(A;M)為Tn(A;M)中所有n維超長(zhǎng)方體的周長(zhǎng)(1維測(cè)度)和.

3 二維測(cè)度圖形函數(shù)的計(jì)數(shù)

3.1 f2，2(a1，a2;m1，m2)的計(jì)數(shù)公式

定理5如圖2所示，長(zhǎng)方形ABCD中，AB長(zhǎng)為a1，均分為m1段，AD長(zhǎng)為a2，均分為m2段，長(zhǎng)方形ABCD平行分割為m1×m2棋盤，則長(zhǎng)方形ABCD中所有長(zhǎng)方形面積和為

證明長(zhǎng)方形ABCD中任一小長(zhǎng)方形由AB、AD這兩條邊上，各邊適當(dāng)取一條線段即可確定.因此，在AB上任意取定一條線段，不妨取EF，則一類長(zhǎng)方形的一組對(duì)邊長(zhǎng)度lEF即被確定，另一組對(duì)邊長(zhǎng)度由AD決定.故這類長(zhǎng)方形的面積和為:lEF· f(a2，m2).由定理1，AB上所有線段和為f1，1(a1;m1)，則長(zhǎng)方形ABCD中所有長(zhǎng)方形的面積和為

其中f2，2(a1，a2;m1，m2)為T2(a1，a2;m1，m2)中所有長(zhǎng)方形的面積(2維測(cè)度)和.

3.2 f3，2(a1，a2，a3;m1，m2，m3)的計(jì)數(shù)公式

定理6如圖3所示，長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中，AB長(zhǎng)為a1，均分為m1段，AD長(zhǎng)為a2，均分為m2段，AA'長(zhǎng)為a3，均分為m3段，長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'被m1×m2×m3等分，則長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中所有長(zhǎng)方體的表面積之和為

證明長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中任一小長(zhǎng)方體由AB、AD、AA'這三條邊上，各邊適當(dāng)取一條線段確定.任取AB、AD、AA'的兩邊，每邊取一條線段，則可確定一類長(zhǎng)方體h(3，2)個(gè)面的面積.不妨取AD、AA'，由定理5，AD與AA'中所有長(zhǎng)方體的面積和為f2，2(a2，a3;m2，m3).由于每一個(gè)面積對(duì)應(yīng)一類長(zhǎng)方體個(gè)數(shù)為g(m1).因此，

3.3 fn，2(A;M)的計(jì)數(shù)公式

定理7Tn(A;M)(n≥2)中，所有n維超長(zhǎng)方體的2維測(cè)度(表面積)之和

證明Tn(A;M)中任一小n維超長(zhǎng)方體，由a1，a2，…，an對(duì)應(yīng)n條邊，各邊適當(dāng)取一條線段確定.任取a1，a2，…，an對(duì)應(yīng)兩邊，每邊取一條線段，可確定一類n維超長(zhǎng)方體h(n，2)個(gè)面的面積.不妨取aj1，aj2對(duì)應(yīng)邊，由定理5，這兩邊所決定的所有長(zhǎng)方體面積和為f2，2(aj1，aj2;mj1，mj2).由于每一個(gè)面積對(duì)應(yīng)一類長(zhǎng)方體個(gè)數(shù)為g(m1，m2，…，mn;mj1，mj2).故

其中fn，2(A;M)為Tn(A;M)中所有n維超長(zhǎng)方體的2維測(cè)度(表面積)和.

4 三維測(cè)度圖形函數(shù)的計(jì)數(shù)

4.1 f3，3(a1，a2，a3;m1，m2，m3)的計(jì)數(shù)公式

定理8如圖3所示，長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中，AB長(zhǎng)為a1，均分為m1段，AD長(zhǎng)為a2，均分為m2段，AA'長(zhǎng)為a3，均分為m3段，長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'被m1×m2×m3等分，則長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中所有長(zhǎng)方體的體積之和為

證明長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中，由AB、AD兩邊各取一條線段可確定一類小長(zhǎng)方體的底面積S1，而這類小長(zhǎng)方體的高則由AA'上任取一條線段即可，故這類小長(zhǎng)方體的體積之和為S1·f(a3，m3).由定理5，AB、AD所決定棋盤里，所有長(zhǎng)方體的面積和為f2，2(a1，a2;m1，m2)，則長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中所有長(zhǎng)方體的體積和為

其中f3，3(a1，a2，a3;m1，m2，m3)為T3(a1，a2，a3;m1，m2，m3)中所有長(zhǎng)方體的體積(3維測(cè)度)和.

4.2 fn，3(A;M)的計(jì)數(shù)公式

定理9Tn(A;M)(n≥3)中，所有n維超長(zhǎng)方體的3維測(cè)度之和

證明Tn(A;M)中任一小n維超長(zhǎng)方體，由a1，a2，…，an對(duì)應(yīng)n條邊上，各邊適當(dāng)取一條線段確定.任取a1，a2，…，an對(duì)應(yīng)的三邊，每邊取一條線段，則可確定一類n維超長(zhǎng)方體h(n，3)個(gè)3維面.不妨取aj1，aj2，aj3對(duì)應(yīng)邊，由定理8，aj1，aj2，aj3對(duì)應(yīng)邊所決定的所有3維測(cè)度和為f3，3(aj1，aj2，aj3;mj1，mj2，mj3)，由于每一個(gè)3維面對(duì)應(yīng)一類n維超長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為g(m1，m2，…，mn;mj1，mj2，mj3).因此，

其中fn，3(A;M)為Tn(A;M)中所有n維超長(zhǎng)方體的3維測(cè)度和.

5 k維測(cè)度圖形函數(shù)的計(jì)數(shù)

5.1 fn，n(A;M)的計(jì)數(shù)公式

引理5在Tn(A;M)中，所有n維超長(zhǎng)方體的n維測(cè)度之和

證明以下用數(shù)學(xué)歸納法證之.

當(dāng)n=k+1時(shí)，在Tk+1(a1，…，ak+1;m1，…，mk+1)中，由a1，a2，…，ak對(duì)應(yīng)的k邊各取一條線段可確定一類小(k+1)維超長(zhǎng)方體的k維測(cè)度Sk，而這類小(k+1)維超長(zhǎng)方體在第(k+1)維上的大小由ak+1對(duì)應(yīng)邊上任取一條線段決定，故這類小(k+ 1)維超長(zhǎng)方體的(k+1)維測(cè)度和為Sk·f(ak+1，mk+1).由歸納假設(shè)a1，a2，…，ak對(duì)應(yīng)邊所組成圖形中，所有k維超長(zhǎng)方體的k維測(cè)度和為fk，k(a1，a2，…，ak;m1，m2，…，mk).因此

即n=k+1命題成立.故原命題得證.

5.2 fn，k(A;M)的計(jì)數(shù)公式

定理10在Tn(A;M)中，所有n維超長(zhǎng)方體的k(0≤k≤n)維測(cè)度之和

證明Tn(A;M)中任一小n維超長(zhǎng)方體，由a1，a2，…，an對(duì)應(yīng)n條邊各適當(dāng)取一條線段確定.任取a1，a2，…，an對(duì)應(yīng)的k邊，每邊取一條線段，則可確定一類n維超長(zhǎng)方體的h(n，k)個(gè)k維面.不妨取aj1，aj2，…，ajk所對(duì)應(yīng)邊，由引理4，Tk(aj1，aj2，…，ajk;mj1，mj2，…，mjk)中所有k維超長(zhǎng)方體的k維測(cè)度和為fk，k(aj1，aj2，…，ajk;mj1，mj2，…，mjk).由于每一個(gè)k維面確定一類n維超長(zhǎng)方體個(gè)數(shù)為g(m1，m2，…，mn;mj1，mj2，…，mjk).因此

其中fn，k(A;M)為Tn(A;M)中所有n維超長(zhǎng)方體的k維測(cè)度和.

約定k=0時(shí)，

6 特殊的均勻分割下圖形函數(shù)的計(jì)數(shù)

前面在一般的n維超長(zhǎng)方體中推導(dǎo)出fn，k(A;M)的計(jì)算公式，下面通過(guò)A，M的特殊取值，利用代入化簡(jiǎn)的方法，給出5種特殊均勻分割下定理10的幾個(gè)重要推論.

［1］柳柏濂.幾何組合計(jì)數(shù)趣談［M］.廣州:廣東教育出版社，1988:1－18.

［2］馮躍峰.棋盤上的組合數(shù)學(xué)［M］.上海:上海教育出版社，1998:183－219.

［3］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)［M］.4版.北京:高等教育出版社，2007:310－335.

［4］柳柏濂，吳康.競(jìng)賽數(shù)學(xué)的原理和方法［M］.2版.廣州:廣東高等教育出版社，2005:184－206.

The Counting of Graphical Functions in n-Dimensional Super-Cuboids

LI Ying，WU Kang

(School of Mathematics Science，South China Normal University，Guangzhou 510631，China)

By means of the principles and methods of combinatorial geometric counting，the enumeration problems of the total measures for any k-dimension of n-dimensional super-cuboids under uniform partition are studied.It starts from the enumeration methods of low dimensional total measures，such as vertices summation，perimeter and total area，then compares and transfers the methods to higher dimensional space.Finally，it gets the enumeration formula for the total measures of any k-dimension of the super-cuboids，and promotes into five special kinds of n-dimensional super-cuboids.

combinatorial geometric counting;n-dimensional super-cuboid;graphical function;k-dimensional measure;k-dimensional total measures

O157.3

A

1007－0834(2012)02－0024－05

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.02.007

2012－02－23

李應(yīng)(1987—)，男，廣東高州人，華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀碩士研究生.