王康

(呂梁學院汾陽師范分校，山西汾陽 032200)

利用導數(shù)研究正態(tài)分布的概率密度函數(shù)性質

王康

(呂梁學院汾陽師范分校，山西汾陽 032200)

從正態(tài)分布的概率密度函數(shù)入手，利用導數(shù)研究函數(shù)，推導正態(tài)分布的大致圖像和基本性質.關鍵詞:正態(tài)分布;導數(shù);概率密度函數(shù);函數(shù)圖像;函數(shù)性質

正態(tài)分布在實際中存在廣泛，在概率統(tǒng)計的理論與應用中更是起著非常重要的作用，在各種分布中居于首要地位.因此，學生學好正態(tài)分布也至關重要.在多數(shù)概率論教材中都是給出正態(tài)分布的定義后直接給出密度函數(shù)的圖像，并由圖像得出相關性質［1］.學生所做的僅僅是機械地記憶，對圖像及性質只知其然不知其所以然，更談不上主動探索.

下面就由正態(tài)分布的密度函數(shù)出發(fā)，利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質，而這些推導方法都是建立在學生已有的高等數(shù)學基本知識的基礎之上的［2］.這樣既可以培養(yǎng)學生利用所學知識解決新問題的研究性學習能力，又可以培養(yǎng)學生嚴密的思維能力與嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.

已知正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

可引導學生把它看做一個普通的函數(shù)，從而利用導數(shù)研究函數(shù)圖像，下面是一般的研究步驟.

(1)求值域顯然f(x)＞0，即值域為(0，+∞)，整個圖像位于x軸上方.

(2)求單調性與極值先求函數(shù)的一階導數(shù)f'(x)，

至此，正態(tài)函數(shù)的大致圖像已經(jīng)完全可以由學生畫出，那么其性質就可以讓學生自己總結了.圖形形狀及性質都是一目了然的，而有關正態(tài)變量的分布函數(shù)以及各區(qū)間內(nèi)的概率問題，均可由密度函數(shù)的圖像給出推導和解釋.比如“3σ原則”，由圖像解釋是非常直觀清晰的.又如，參數(shù)μ，σ對圖像的影響:μ決定位置，由第(3)步對稱性可得到，σ決定圖像的陡峭程度，由第(2)步極值點的推導可得到，那么μ，σ鮮明的概率意義(μ為均值，σ2為方差)，也由圖像可得到很直觀的解釋.

這種由函數(shù)本身出發(fā)，利用高等數(shù)學知識引導學生自己推導、體驗的教學方法能使學生學習知識更加連貫，理解知識更加深刻，從而培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，勤奮的學習作風，靈活的應用能力，使得數(shù)學的思想得到真正貫徹.

［1］吳堅.應用概率統(tǒng)計［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［2］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析［M］.北京:高等教育出版社，2001.

Research the Property of Normal Density Function by Derivatives

WANG Kang

(Fen Yang Teachers’School，Lvliang College，F(xiàn)enyang 032200，China)

The rough image and nature of normal distribution is inferred by the normal distribution probability density function，solving function by derivatives.

normal distribution;derivatives;probability density function;image of function;property of function

O211.1

A

1007－0834(2012)02－0031－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.02.009

2012－02－01

王康(1982—)，男，山西芮城人，呂梁學院汾陽師范分校教師.