王馬法，李翔宇，盧芳云，龔柏林

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，長沙410073）

從上世紀(jì)70年代起，以美國為代表的一些國家對導(dǎo)彈遭遇段仿真技術(shù)進行了大量研究，并開發(fā)出了幾種數(shù)字仿真系統(tǒng)[1，2]，如 FASTGEN、SCAN、SHASAM、IVAVIEW、OPEC、AMES 和 AMVS等.國內(nèi)這方面的研究起步較晚，南京理工大學(xué)和中國工程物理研究院在這方面做了大量研究，并建立了各自的仿真計算平臺[3～7].

彈目交會中命中點參數(shù)（包括命中點坐標(biāo)、命中部位、命中數(shù)、破片落速、落角和命中時刻等）的計算是導(dǎo)彈遭遇段仿真技術(shù)中的關(guān)鍵技術(shù)之一.在傳統(tǒng)的彈目交會仿真中，一般通過概率密度積分的方法求命中點參數(shù)，此方法計算精度較差，而且無法計算命中破片的落速、落角、命中點坐標(biāo)等具體參數(shù).王宏波[8]等提出了一種計算命中點參數(shù)的算法，該算法能夠克服傳統(tǒng)命中點參數(shù)計算方法的不足，但該方法沒有考慮破片速度衰減對命中點參數(shù)的影響，且該方法在每個時間步長要對所有命中點參數(shù)進行遍歷判斷.莊志洪[9]等在相對速度坐標(biāo)系中討論了破片速度衰減對命中位置的影響.結(jié)果表明，在目標(biāo)速度較低或者脫靶量較小時可以不考慮破片速度衰減的影響；反之，則需要考慮破片速度衰減的影響.鑒于空中目標(biāo)具有高速運動的特性，在計算彈目交會命中點參數(shù)時，要計算得更加準(zhǔn)確就必須考慮速度衰減的影響.

在彈目交會計算中忽略重力的影響，破片只受到空氣阻力的影響.在相對速度坐標(biāo)系中，即使只考慮空氣阻力的影響，破片運動軌跡亦為曲線，這不利于討論破片命中點.而在地面坐標(biāo)系（原點在地面上的某一觀察點）下觀察，破片運動軌跡是一條射線（稱為破片射線）.因此，在地面坐標(biāo)系下討論破片命中點參數(shù)有一定的優(yōu)勢.本文在地面坐標(biāo)系下利用射線來描述破片軌跡，建立破片命中點參數(shù)計算的理論模型，并對解的存在范圍進行討論.該計算方法通過一次遍歷即可求解整個戰(zhàn)斗部破片對目標(biāo)的命中點參數(shù)，而不需要在每個時間步長對目標(biāo)面元和破片進行遍歷.利用該模型討論彈目交會參數(shù)和破片速度衰減系數(shù)對命中點參數(shù)的影響，為研究導(dǎo)彈遭遇段戰(zhàn)斗部威力和目標(biāo)易損性提供理論和技術(shù)支撐.

“一次遍歷”是指，在戰(zhàn)斗部起爆破片獲得初速時，利用本文提出的計算模型，只需對所有破片進行一次循環(huán)即可確定每枚破片是否與目標(biāo)有交點，如果有，則可以計算出該破片的命中點參數(shù).

1 破片命中點精確計算模型

根據(jù)目標(biāo)的幾何參數(shù)，利用三角形面元對目標(biāo)形體進行建模，如圖1所示.

圖1 目標(biāo)三角面元模型

圖1中每個三角形面元有3個頂點，面元的位置和法向可由3個頂點的坐標(biāo)確定.如圖2所示，△ABC為一面元，面元的法向由A、B、C三點確定為n′＝lAB×lAC，將n′單位化即可得到單位法向向量n.

破片與目標(biāo)面元的交會過程如圖2所示.在t0＝0時刻，破片所在位置為P點，破片射線與目標(biāo)面元ABC所在平面交于點H；經(jīng)過t1－t0時間后，破片從P點運動至P′點，面元ABC運動至A′B′C′，此時面元所在平面與破片射線交于H′.若存在某個時刻t＊使得P′與H′點重合，則說明破片會與面元所在平面有交點，通過破片運動軌跡即可求出該交點的坐標(biāo).再通過三角形面積法判斷該點是否在三角形面元內(nèi)，如果在面元內(nèi)，則該點即為破片命中點.此時通過破片速度方向和面元法向量即可求出落角.下面對計算過程進行推導(dǎo).

圖2 單枚破片與目標(biāo)面元的交會過程

1.1 破片飛行軌跡

以戰(zhàn)斗部爆炸時刻為0時刻，破片的軌跡方程為

式中，s（t）為破片在t時刻所飛行的距離；vfn為破片速度方向的單位矢量；X為t時刻破片空間坐標(biāo)，X0為0時刻破片的空間坐標(biāo).

根據(jù)文獻[10]，破片在空氣中飛行速度的衰減方程為vf＝v0exp（－αs），由此可以得到破片飛行距離與時間的關(guān)系為

式中，α為衰減系數(shù)；v0為破片初始速率；vf為破片在t時刻的速率.

1.2 目標(biāo)面元所在平面的運動方程

在0時刻，目標(biāo)某面元所在的平面方程為

式中，n為目標(biāo)面元法向單位向量；D0為一標(biāo)量常數(shù)，表示坐標(biāo)原點到目標(biāo)面元的距離；Y0為三角形面元中任意一頂點的初始坐標(biāo).由該面元在0時刻的3個頂點坐標(biāo)即可求得n和D0的值.

假設(shè)在彈目遭遇段目標(biāo)作勻速直線運動，且目標(biāo)為剛體.因此，目標(biāo)面元的運動也是勻速直線運動，且不會發(fā)生翻轉(zhuǎn)，即面元只有平動，面元的法向不變，所以面元所在平面的運動方程可以表示為

式中，vt為目標(biāo)在遭遇段的運動速度.

1.3 目標(biāo)面元所在平面與破片射線交點的計算

目標(biāo)面元平面與破片射線的交點H可由式（1）和式（4）聯(lián)立解得：

式中，h（t）為t時刻面元平面與破片射線交點到破片初始位置X0的距離.注意到式中n·vfn≠0.如果n·vfn＝0，則破片飛行方向與目標(biāo)面元法向垂直，即與目標(biāo)面元平行，因此不可能有交點，不再需要計算.

式（5）中的h（t）與式（2）中的s（t）不同，s（t）對應(yīng)于圖2中P點的運動軌跡，而h（t）則對應(yīng)于H點的運動軌跡.將h（t）化為

式中，k＝（n·vt）/（n·vfn），h0＝－（n·X0＋D0）/（n·vfn），皆可以由彈目交會參數(shù)求出.

1.4 破片命中點參數(shù)的計算

若存在某時刻t＊使得s（t）＝h（t），即P′點與H′重合，則說明破片可以命中目標(biāo)面元所在的平面.因此，求破片對目標(biāo)面元的命中點，即要求解方程：

將該方程的解代入式（5）或式（1）求得命中點X＊的坐標(biāo)：

通過破片速度方向向量、目標(biāo)速度和面元方向向量求得落角：

1.5 命中點是否在三角形面元內(nèi)的判定

利用三角形面積法判斷該命中點是否屬于該目標(biāo)面元.三角形面積法即判斷某點與三角形任意兩頂點面積之和是否等于該三角形的面積，如果等于則該點在三角形內(nèi)，否則在三角形外.以圖2中的△A′B′C′為例，判定下式：

若取等號則H′位于三角形面元內(nèi)，即破片命中該面元，并且以上獲得的命中點參數(shù)即為該破片的命中點參數(shù)；否則，點H′位于面元外（即破片未命中該目標(biāo)面元）.

由以上推導(dǎo)過程即可判斷一枚破片與一個面元是否相交，并且求解該破片與該面元的交會參數(shù).由此，通過對戰(zhàn)斗部破片和目標(biāo)面元的一次遍歷即可求出戰(zhàn)斗部與目標(biāo)的所有命中點參數(shù).

2 模型解分析

由計算模型可以看出，計算彈目交會命中點參數(shù)的關(guān)鍵是求解方程s（t）＝h（t），即式（7）是個超越方程，在數(shù)學(xué)上沒有解析解表達式，但通過數(shù)值計算方法很容易求解.在方程中，對于每枚破片而言，α和v0為已知量，而k和h0則只能在交會過程中由破片和目標(biāo)面元的信息共同決定，因此有必要對其作討論.

2.1 k和h0的物理意義

從k的表達式k＝（n·vt）/（n·vfn）可以看出，它與面元法向、目標(biāo)運動速度和破片速度方向有關(guān)，它代表目標(biāo)面元平面與破片射線的交點H在破片軌跡直線上的運動方向和運動快慢.k＞0表示交點H與破片的運動速度方向相同，k＜0表示交點H與破片的運動速度方向相反.h0表示面元與破片初始時刻的位置關(guān)系，在圖2中即為P點與H點的距離，h0＞0表示目標(biāo)面元初始時刻在破片運動前方，h0＜0則表示目標(biāo)面元初始時刻在破片運動后方.

2.2 k和h0取值關(guān)系

求解方程（7）等價于求解曲線s（t）和h（t）的交點，由方程可以看出兩曲線的關(guān)系由直線的斜率k和截距h0決定.下面討論k、h0的取值對解的影響.

1）當(dāng)k＝0時.

此時n·vt＝0，即目標(biāo)運動速度為0或者平行于面元，h（t）＝h0為一條平行于時間軸的直線，兩條曲線關(guān)系示意圖如圖3所示.圖中，y為破片運動軌跡上的點與破片初始點的距離.顯然只有當(dāng)h0＞0才有解且是唯一解，此時對應(yīng)于目標(biāo)在破片飛行的前方（當(dāng)h0＜0時有一負解，由于0時刻為戰(zhàn)斗部起爆時刻，所以該解為虛解）.其解為

圖3 k＝0時方程解示意圖

2）當(dāng)k＜0時.

此時面元平面與射線交點沿射線反方向運動，所以當(dāng)其與破片作相對運動（即h0＞0）時兩點一定會相遇，且存在唯一解.當(dāng)h0＜0時，兩點作相向運動，方程沒有解.如圖4所示.

圖4 k＜0時方程解示意圖

3）當(dāng)k＞0時.

此時兩點的運動方向相同，是一個追趕問題.存在以下3種不同情況：①h0≤0，此時面元在破片后方追趕破片，隨著破片速度衰減，總有一個時刻可以追趕上，如圖5（a）所示.但這一過程時間比較長，此時破片速度已經(jīng)衰減到不能忽略重力的影響，所以這種情況下雖然方程有解，但此解沒有實際意義.②0＜h0≤[ln（v0/k）＋（k/v0）－1]/α，此時破片在后方追趕面元，兩條曲線有2個交點，方程有2個解，兩條曲線的相對位置如圖5（b）所示.從實際碰撞情況出發(fā)，應(yīng)該選擇撞擊時刻較小的解為方程的解.③h0＞[ln（v0/k）＋（k/v0）－1]/α，此時破片在后方追趕面元，但由于破片速度的衰減，破片將追不上面元，因此破片與面元沒有交點，如圖5（c）所示.

綜上所述，方程的解只有以下3種情況：①k＝0，h0＞0；②k＜0，h0＞0；③k＞0，0＜h0≤[ln（v0/k）＋（k/v0）－1]/α.這3種情況分別對應(yīng)準(zhǔn)靜止問題（包括目標(biāo)靜止或目標(biāo)平行于面元運動）、迎頭碰撞問題和追趕問題.

圖5 k＞0時方程解示意圖

3 速度衰減對命中點位置的影響

當(dāng)衰減系數(shù)α＝0時，破片在空氣中飛行速度為常數(shù)vf＝v0，由此得到s（t）＝v0t，將其替換式（7）等號左邊，化為v0t＝kt＋h0，由此可解得破片與面元的交會時間t，進而可以求得命中點坐標(biāo).此即為不考慮速度衰減下破片命中點參數(shù)的計算方法.

從以上的分析可以看出，影響破片命中點參數(shù)的主要因素有目標(biāo)運動速度、戰(zhàn)斗部起爆瞬間導(dǎo)彈的運動速度、破片的靜態(tài)飛散速度、破片的衰減系數(shù)和脫靶量等.圖6～圖9分別為不同衰減系數(shù)α、不同目標(biāo)速度vt、不同靜態(tài)破片初速v0和不同導(dǎo)彈速度vm下偏移距離與脫靶量ρ之間的關(guān)系.所謂偏移距離是指考慮與不考慮速度衰減的2種計算方法得到的2個命中點在目標(biāo)上的距離，用lof表示.計算中將目標(biāo)假設(shè)為一個40m×40m的巨大方形面元，面元中心即為目標(biāo)中心.計算中采用的一組共同參數(shù)是：靜態(tài)破片初速為2 000m/s，方向與戰(zhàn)斗部軸線垂直；戰(zhàn)斗部爆炸時刻導(dǎo)彈速度為900m/s；破片初速是靜態(tài)破片初速與導(dǎo)彈速度的矢量疊加；破片速度衰減系數(shù)為0.000 15cm－1；目標(biāo)速度為300m/s，目標(biāo)速度與導(dǎo)彈速度平行，目標(biāo)面元法線與目標(biāo)運動方向垂直.即此時n·vt＝0，k＝0，對應(yīng)了準(zhǔn)靜止問題.

圖6 不同衰減系數(shù)下脫靶量ρ對偏移距離的影響

圖7 不同目標(biāo)速度下脫靶量ρ對偏移距離的影響

圖8 不同靜態(tài)破片初速下脫靶量ρ對偏移距離的影響

圖9 不同導(dǎo)彈速度下脫靶量ρ對偏移距離的影響

從圖6～圖9可以看出，所有情況下偏移距離均隨脫靶量的增加而增加.還可看出，在相同的脫靶量下偏移距離隨破片速度衰減系數(shù)、目標(biāo)速度和導(dǎo)彈速度的增加而增加，同時隨靜態(tài)破片初速的增加而減小.目標(biāo)的運動速度和靜態(tài)破片初速對命中點參數(shù)的影響比較大；導(dǎo)彈運動速度對破片偏移距離的影響很小，幾乎可以忽略.

圖7 中，目 標(biāo) 速 度 為900m/s與 －900m/s、600m/s與－600m/s、300m/s與－300m/s的3組曲線重合，由此可以看出，對于準(zhǔn)靜止問題，不論導(dǎo)彈與目標(biāo)是相向運動還是追趕運動，其偏移距離與脫靶量的關(guān)系不變.這是因為，對于準(zhǔn)靜止問題，不論是否考慮破片速度的衰減，在地面坐標(biāo)系上破片的射線軌跡與目標(biāo)面元始終交于同一個點.不同的是，考慮速度衰減下的破片速度變小，其到達交會點的時間與不考慮速度衰減的時間存在一個時間差，在這個時間差內(nèi)，目標(biāo)面元已經(jīng)移動一定的距離，這個距離主要由目標(biāo)速度大小決定，而與目標(biāo)運動方向無關(guān).

當(dāng)采用的破片為Φ8mm的球形鋼珠時，其在空氣中的衰減系數(shù)為0.000 15cm－1.從圖7可以看出，由于破片速度衰減造成的偏移距離隨目標(biāo)速度的增加和脫靶量的增大而迅速增加.如脫靶量為15m時，目標(biāo)速度300m/s對應(yīng)的偏移距離為0.30m，目標(biāo)速度600m/s對應(yīng)的偏移距離為0.60m，目標(biāo)速度900m/s對應(yīng)的偏移距離為0.91m；脫靶量為20m時，目標(biāo)速度300m/s對應(yīng)的偏移距離為0.55m，目標(biāo)速度600m/s對應(yīng)的偏移距離為1.10m，目標(biāo)速度900m/s對應(yīng)的偏移距離為1.66m.因此，對于尺寸較小或者高速運動的目標(biāo)，在計算命中點參數(shù)時必須考慮破片速度的衰減，否則主破片束將偏離目標(biāo)關(guān)鍵部件，這大大減小毀傷概率.

4 結(jié)論

①本文提出了一種精確計算彈目交會中破片命中點參數(shù)的理論模型，該模型可以通過一次遍歷計算得到導(dǎo)彈與目標(biāo)的所有交會參數(shù).

②對模型解的存在范圍進行討論，獲得了解存在的3種條件，分別為k＝0，h0＞0；k＜0，h0＞0；k＞0，0＜h0≤[ln（v0/k）＋（k/v0）－1]/α.這3種情況分別對應(yīng)準(zhǔn)靜止問題（包括目標(biāo)靜止或目標(biāo)平行于面元運動）、迎頭碰撞問題和追趕問題.

③目標(biāo)的運動速度和靜態(tài)破片初速對命中點參數(shù)的影響比較大；戰(zhàn)斗部起爆時刻導(dǎo)彈運動速度對命中點參數(shù)的影響較小.

④對于尺寸較小或者高速運動的目標(biāo)，在計算命中點參數(shù)時需要考慮破片速度的衰減，否則主破片束將偏離目標(biāo)關(guān)鍵部件，這大大減小毀傷概率.

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