王元?dú)J，譚久彬，張若禹

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 超精密光電儀器工程研究所，哈爾濱150001；2.中國人民解放軍裝備學(xué)院，北京102249）

彈丸飛行姿態(tài)是指彈丸運(yùn)動過程中彈軸的空間指向.由于火炮彈丸的體積小、速度快、過載高，彈丸飛行姿態(tài)測量是武器靶場試驗(yàn)的技術(shù)難題.目前，國內(nèi)外彈丸飛行姿態(tài)測量主要有紙靶法[1]、光學(xué)法[2]和傳感器遙測法[3]等.紙靶法的測量精度較低，且只適應(yīng)于低伸彈道的測量；光學(xué)法測量設(shè)備復(fù)雜、成本高，測量過程易受氣象條件的限制；傳感器遙測法雖然能夠獲得較長彈道范圍的彈丸飛行姿態(tài)，但在彈丸上安裝姿態(tài)傳感器有較大的難度.由于彈丸飛行姿態(tài)是反映彈丸飛行特性的重要參數(shù)，武器系統(tǒng)靶場試驗(yàn)需要簡單、方便的彈丸飛行姿態(tài)測量方法.彈道測速雷達(dá)是常規(guī)武器靶場的重要測量設(shè)備，主要用于彈丸飛行速度的測量.探索利用彈道測速雷達(dá)來測量旋轉(zhuǎn)彈丸飛行姿態(tài)對武器系統(tǒng)靶場試驗(yàn)測試方法研究具有重要意義.

本文研究利用彈道測速雷達(dá)測量旋轉(zhuǎn)彈丸飛行姿態(tài)的原理和方法.在分析測速雷達(dá)測量旋轉(zhuǎn)彈丸飛行姿態(tài)難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，研究彈丸的雷達(dá)散射特性，提出了一種利用彈丸底部刻槽使其產(chǎn)生極化特征，從彈丸雷達(dá)回波信號中確定旋轉(zhuǎn)彈丸飛行姿態(tài)的方法.通過理論分析和仿真計算證明了方法的可行性.

1 雷達(dá)測量彈丸飛行姿態(tài)的難點(diǎn)和解決問題的思路

測速雷達(dá)的彈丸回波信號r（t）通常可以表示為幅度A、角頻率ω和相位φ的函數(shù)，即

利用雷達(dá)測量目標(biāo)飛行姿態(tài)的實(shí)質(zhì)就是從雷達(dá)回波r（t）中獲得彈丸的飛行姿態(tài)α（t）和β（t）（α、β分別為彈軸相對于雷達(dá)電軸的俯仰角和方位角）.普通彈丸回波信號r（t）與飛行姿態(tài)α（t）、β（t）之間沒有直接、簡單的對應(yīng)關(guān)系，難以從彈丸回波r（t）中直接獲得彈丸的飛行姿態(tài).

對于窄帶、低分辨率雷達(dá)，目標(biāo)呈現(xiàn)單個散射點(diǎn)特性.雷達(dá)回波信號中可以利用的主要特征是多普勒頻率、雷達(dá)散射截面積（RCS）及其起伏特征，如均值、方差、極大值、極小值等[4].由于目標(biāo) RCS的測量受自身形狀、噪聲和干擾源等因素的影響較大，利用其只能粗略地測量衛(wèi)星、導(dǎo)彈和火箭等大型目標(biāo)的姿態(tài)[5].相較于這些大型目標(biāo)小得多的火炮彈丸而言，利用雷達(dá)散射截面積難以實(shí)現(xiàn)彈丸飛行姿態(tài)的測量.此外，靶場彈道測速雷達(dá)是一種單頻連續(xù)波雷達(dá)，不具備RCS測量功能，通過RCS直接測量彈丸飛行姿態(tài)也是不可能的.

要利用雷達(dá)來測量彈丸飛行姿態(tài)，就必須使彈丸的飛行姿態(tài)角α（t）和β（t）與雷達(dá)回波信號r（t）之間建立明確的對應(yīng)關(guān)系，這是解決問題的關(guān)鍵.通過理論分析和試驗(yàn)研究表明，對于普通彈丸不能夠建立兩者之間的對應(yīng)關(guān)系.

彈道測速雷達(dá)發(fā)射水平線極化的電磁波.國內(nèi)外有關(guān)專家提出利用雷達(dá)的線性極化特性在彈丸底部刻槽以測量旋轉(zhuǎn)彈丸轉(zhuǎn)速的方法[6，7].在采用彈丸底部刻槽法測量旋轉(zhuǎn)彈丸轉(zhuǎn)速的試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)底部刻槽的旋轉(zhuǎn)彈丸的雷達(dá)回波信號中有某種與彈丸運(yùn)動特性相關(guān)聯(lián)的周期性變化.通過試驗(yàn)分析和理論研究認(rèn)為，在彈丸底部平面刻很窄、很深的槽，當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈丸刻槽方向與電磁波極化方向平行時，雷達(dá)回波最強(qiáng)，垂直時雷達(dá)回波最弱.彈丸旋轉(zhuǎn)在雷達(dá)回波上產(chǎn)生幅度調(diào)制，當(dāng)電磁波與彈底平面入射角不同時，彈丸旋轉(zhuǎn)在雷達(dá)回波信號中產(chǎn)生的幅度調(diào)制度不同.雷達(dá)回波信號幅度調(diào)制度與電磁波和彈軸夾角有關(guān).因此，提出一種通過測量底部刻槽彈丸雷達(dá)回波信號幅度調(diào)制度來間接確定彈丸飛行姿態(tài)的設(shè)想.通過在彈丸底部刻槽，利用某種手段確定出電磁波與彈軸不同夾角時，相對應(yīng)的幅度調(diào)制度關(guān)系.然后，將彈丸發(fā)射出去，雷達(dá)跟蹤測量獲得回波信號，通過對雷達(dá)回波信號的處理確定彈丸飛行過程中的幅度調(diào)制度.根據(jù)電磁波與彈軸的夾角和幅度調(diào)制度之間的關(guān)系，反求出彈丸飛行姿態(tài)角.這個方法就是利用雷達(dá)的線性極化特性，通過彈丸底部刻槽和高速旋轉(zhuǎn)，在雷達(dá)回波信號中形成與彈丸飛行姿態(tài)相關(guān)的調(diào)制.通過對雷達(dá)回波信號的處理實(shí)現(xiàn)彈丸飛行姿態(tài)的測量.

2 彈丸的極化散射特性分析

為了實(shí)現(xiàn)從雷達(dá)回波中獲得彈丸飛行姿態(tài)，需要在彈丸底部刻槽，使彈丸的散射場在雷達(dá)電磁波的激勵下呈明顯極化特性[8].下面在雷達(dá)發(fā)射水平線極化電磁波的情況下，彈丸高速旋轉(zhuǎn)時，利用極化散射矩陣討論極化特性彈丸的飛行姿態(tài)特征.

定義測量雷達(dá)和彈丸目標(biāo)之間的幾何關(guān)系如圖1所示.在彈道初始上升段，雷達(dá)發(fā)射的電磁波主要照射彈丸的底部.圖1中O′uvw為彈丸發(fā)射坐標(biāo)系.坐標(biāo)系Oxyz與O′uvw沿射向相差一個彈道傾角.假定測量雷達(dá)位于該坐標(biāo)系的原點(diǎn)，發(fā)射的電磁波為沿著y軸正向傳播的線極化均勻平面波，極化方向?yàn)镺x軸正向.彈丸底部中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸與發(fā)射坐標(biāo)系的v軸平行，y軸為對應(yīng)時刻電磁波入射（雷達(dá)電軸）的方向，按照右手規(guī)則定義z軸.本文中彈丸的姿態(tài)采用相對雷達(dá)電軸的俯仰角α和方位角β表示，如圖2和圖3所示.

彈丸底部刻上若干具有一定深度的窄槽，彈丸的散射場將呈線極化特性.在初始時刻t0，刻槽方向如圖2中粗實(shí)線AB所示，彈丸散射場極化方向AB在Oxy平面內(nèi).選擇水平極化分量H為坐標(biāo)軸Ox正方向，垂直極化分量V為坐標(biāo)軸Oz正方向，則入射電場在H、V極化基下可以表示為

圖1 測試?yán)走_(dá)與目標(biāo)彈丸之間的幾何關(guān)系

圖2 初始時刻彈軸與雷達(dá)電軸的幾何關(guān)系

圖3 旋轉(zhuǎn)后彈軸與雷達(dá)電軸的幾何關(guān)系

一般來說，旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸繞其對稱軸高速旋轉(zhuǎn)，可認(rèn)為在較短時間內(nèi)，彈軸的空間指向不變，即飛行姿態(tài)不變.經(jīng)過時間Δt，彈丸在Oxz平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角度的投影為φ，其散射場的極化方向變成A′B′，如圖3所示.入射電場在x′、z′極化基下可以表示為

忽略交叉極化分量且經(jīng)過遠(yuǎn)場近似，在x′、z′極化基下彈丸的極化散射矩陣可以表示為

式中，s‖（α，β）和s⊥（α，β）分別為Ox′yz′坐標(biāo)系下散射場的極化方向平行和垂直于Ox′時彈丸的散射特性.

在x′、z′極化基下彈體散射場為

再將彈體的散射場變換回雷達(dá)發(fā)射電磁波的極化基下，即

根據(jù)天線的互易性定理，雷達(dá)接收到的回波在H、V極化基下表示為

式中，

由于雷達(dá)天線為水平線極化工作方式，僅接收水平極化的電磁波分量，因此有：

從式（7）可知，彈丸的姿態(tài)特征表現(xiàn)在s‖（α，β）和s⊥（α，β）中.二者僅與俯仰角α和方位角β有關(guān)，反映彈丸的飛行姿態(tài)信息.

利用倍角公式將式（7）展開整理，有：

式中，

普通旋轉(zhuǎn)彈丸為軸對稱結(jié)構(gòu)，其s‖（α，β）與s⊥（α，β）相等，彈丸旋轉(zhuǎn)對散射場的影響很小.經(jīng)刻槽處理后的彈丸s‖（α，β）與s⊥（α，β）具有很大的差異，使雷達(dá)回波信號呈現(xiàn)極化特性.

根據(jù)電場強(qiáng)度與電壓的關(guān)系可知，其雷達(dá)回波可表示為如下幅度調(diào)制信號：

式中，A為雷達(dá)回波的幅度系數(shù).

上述分析表明，雷達(dá)回波的調(diào)幅指數(shù)可做為彈丸姿態(tài)的直接觀測量.調(diào)幅指數(shù)mA與彈丸飛行姿態(tài)有關(guān)，與雷達(dá)回波的強(qiáng)弱A無關(guān)，不受飛行距離的影響.在雷達(dá)回波的信噪比滿足處理需求的前提下，從雷達(dá)回波信號中提取調(diào)幅指數(shù)，不要求雷達(dá)具有RCS和距離測量功能，這使得利用測速雷達(dá)測量彈丸飛行姿態(tài)成為可能.

3 彈丸飛行姿態(tài)測量原理

根據(jù)前述討論，雷達(dá)回波調(diào)幅指數(shù)可表征彈丸飛行姿態(tài)，它可以通過處理雷達(dá)回波信號r（t）得到，即T：r（t）→mA（t）.

如果能夠事先確定出彈丸飛行姿態(tài)與調(diào)幅指數(shù)間的關(guān)系，則有可能獲得彈丸飛行姿態(tài)角，但是，通常情況下無法確定彈丸飛行姿態(tài)與調(diào)幅指數(shù)間的映射關(guān)系.由于調(diào)幅指數(shù)是在新的特征空間中反映彈丸姿態(tài)與彈丸結(jié)構(gòu)電磁特性的重要參數(shù)，已知彈丸姿態(tài)和彈丸結(jié)構(gòu)就可以確定出調(diào)幅指數(shù).通過某種技術(shù)手段可以建立彈丸飛行姿態(tài)到調(diào)制指數(shù)之間的映射關(guān)系F：α，β→mA.

下面討論如何構(gòu)建彈丸飛行姿態(tài)角與調(diào)幅指數(shù)之間的映射關(guān)系.當(dāng)彈丸與雷達(dá)間的距離R不變時，雷達(dá)回波信號幅度變化與彈丸RCS成正比.這表明彈丸的RCS可用于構(gòu)建彈丸飛行姿態(tài)角與調(diào)幅指數(shù)之間的映射關(guān)系.彈丸在不同姿態(tài)角α、β和旋轉(zhuǎn)角φ下的RCS可以通過微波暗室測量或電磁場數(shù)值計算得到.保持姿態(tài)角α、β不變，依次得到隨轉(zhuǎn)動角φ變化的RCS序列，并從中處理出該姿態(tài)角下的調(diào)幅指數(shù)，進(jìn)而可得到對應(yīng)若干不同姿態(tài)角α、β的調(diào)幅指數(shù)mA.通過數(shù)據(jù)的曲面擬合，可構(gòu)建彈丸姿態(tài)與回波調(diào)幅指數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，在射擊試驗(yàn)前實(shí)現(xiàn)調(diào)幅指數(shù)的標(biāo)定.

式中，i＜N，ui（α，β）為線性無關(guān)的多項(xiàng)式基函數(shù)，，D為設(shè)定的多項(xiàng)式階數(shù)，ai為基函數(shù)的系數(shù)，F(xiàn)的形狀如圖5所示.

將由雷達(dá)回波中處理到的調(diào)幅指數(shù)m＊A代入式（12），可以構(gòu)造一個關(guān)于姿態(tài)角α和β的二元方程：

由于調(diào)幅指數(shù)mA是關(guān)于α和β的函數(shù)，通過一個觀測值難以直接解算出兩個姿態(tài)角，輔以彈丸螺旋進(jìn)動的運(yùn)動特性約束條件和多點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合處理，可以解算出彈丸慢圓運(yùn)動的姿態(tài)角.

首先，從彈丸回波調(diào)幅指數(shù)序列中處理出對應(yīng)慢圓角運(yùn)動的成分，以替換式（13）中的，構(gòu)建一個關(guān)于慢圓運(yùn)動姿態(tài)角的方程.而后，將彈丸進(jìn)動近似為勻速圓周運(yùn)動.調(diào)幅指數(shù)曲面關(guān)于方位軸和俯仰軸對稱，如圖5所示.調(diào)幅指數(shù)沿俯仰向變化較快，沿方位向變化較慢.彈軸進(jìn)動一周，調(diào)幅指數(shù)曲線分別與方位軸和俯仰軸各相交2次.由于調(diào)幅指數(shù)曲面的等值曲線近似為橢圓形，彈軸與俯仰軸相交處的調(diào)幅指數(shù)對應(yīng)曲線的極小值，與方位軸相交處對應(yīng)曲線的極大值.查找出彈丸回波慢圓運(yùn)動調(diào)幅指數(shù)序列的極大值和極小值即得到彈軸過俯仰軸和方位軸的時刻.相鄰極值點(diǎn)的時間間隔Δt為在該象限內(nèi)運(yùn)動的總時間，對應(yīng)彈丸慢圓角運(yùn)動1/4周期.因此有：

式中，彈軸所處的象限號k＝1，2，3，4；t為彈丸進(jìn)入當(dāng)前象限起經(jīng)歷的時間.

將式（13）與式（14）聯(lián)立構(gòu)成方程組，可以解算出彈丸飛行的慢圓姿態(tài)角.

4 仿真驗(yàn)證

圖4為底部刻槽122 mm普通榴彈幾何模型.刻槽方式為單條通槽，槽深7mm，槽寬2mm.根據(jù)彈丸模型，采用有限積分?jǐn)?shù)值算法，以1°步進(jìn)求出不同姿態(tài)角下的雷達(dá)散射截面積，再處理出彈丸回波調(diào)幅指數(shù)，并用最小二乘法擬合出調(diào)幅指數(shù)曲面，如圖5所示.

圖4 122mm底部刻槽彈丸模型

圖5 最小二乘擬合生成的調(diào)幅指數(shù)曲面

為研究方便起見，參照文獻(xiàn)[9]，僅考慮起始攻角的貢獻(xiàn)并引入章動衰減因子ρΔ，將彈丸的姿態(tài)表示為

式中，Δ0為起始章動角；ω1為快圓運(yùn)動的角頻率，ω2為慢圓運(yùn)動的角頻率；σe＝1－（1/Sg），Sg為彈丸的穩(wěn)定系數(shù).

按照下述條件仿真彈丸飛行姿態(tài).信號采樣間隔取12.9μs，快圓周期取50ms，慢圓周期取1s.Δ0取2°，彈丸以勻速飛行，陀螺穩(wěn)定因子Sg＝2.6，章動衰減因子ρΔ＝0.2，得到彈丸的飛行姿態(tài)曲線，如圖6所示.按照姿態(tài)角曲線的彈丸運(yùn)動規(guī)律和測速雷達(dá)的工作過程，處理得到如圖7所示的調(diào)幅指數(shù)曲線.

根據(jù)前述分析，圖7中的慢圓調(diào)幅指數(shù)曲線在極大值時刻t1、t3、t5對應(yīng)β軸上的點(diǎn)，極小值時刻t0、t2、t4對應(yīng)α軸上的點(diǎn).

將α或β等于0分別代入式（13），可得到彈軸過坐標(biāo)軸時的姿態(tài)角（0，β＊）以及（α＊，0）.假定相鄰極大值與極小值之間，α、β分別在[0，α＊]和[β＊，0]線性變化，以此作為彈丸飛行姿態(tài)角的初始值.假定在起始時刻彈丸處于α軸正向，彈丸右旋穩(wěn)定.采用最優(yōu)化方法求解由式（13）和式（14）構(gòu)成的聯(lián)立方程組，計算結(jié)果如圖8所示.圖中，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ為象限號，與式（14）中k的取值相對應(yīng).由圖8可知，采用本文方法解算出的彈丸飛行姿態(tài)與仿真的理論值能夠較好地吻合.

圖6 仿真的彈丸飛行姿態(tài)理論值

圖7 仿真的調(diào)幅指數(shù)曲線

圖8 彈丸飛行姿態(tài)的解算結(jié)果

5 結(jié)束語

在分析了旋轉(zhuǎn)彈丸電磁散射特性的基礎(chǔ)上，提出了一種基于極化特征的旋轉(zhuǎn)彈丸飛行姿態(tài)測量方法.該方法通過在彈丸底部刻槽，使彈丸在雷達(dá)電磁波的激勵下呈極化散射特性.利用彈丸回波的調(diào)幅指數(shù)mA（t）作為彈丸飛行姿態(tài)的直接觀測量，通過仿真分析驗(yàn)證了方法的有效性.該方法擴(kuò)展了彈底部刻槽獲取目標(biāo)運(yùn)動信息的范圍，對雷達(dá)目標(biāo)特性研究有一定的借鑒作用.但是，該方法的應(yīng)用有一定的局限性，僅適用于彈丸處于彈道上升直線段電磁波照射彈底的情況，存在由調(diào)幅指數(shù)曲面的軸對稱性引入的象限模糊問題.目前該方法只能確定彈丸慢圓運(yùn)動的姿態(tài)角，彈丸快圓運(yùn)動的姿態(tài)角求解問題仍有待進(jìn)一步研究.

[1]閆章更.射表技術(shù)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2000.YAN Zhang－geng.Firing table technology[M].Beijing：National Defense Industry Press，2000.（in Chinese）

[2]HUGHSON M C，BLADES E L.Transonic aerodynamic analysis of lattice grid tail fin missiles，AIAA 2006－3651[R].2006.

[3]BROWN T G.Harsh military environments and micro electromechanical（MEMS）device[J].IEEE，2003，2：753－760.

[4]孫文峰.雷達(dá)目標(biāo)識別技術(shù)評述[J].雷達(dá)與對抗，2001，（3）：1－8.SUN Wen－feng，Review on radar target recognition[J].Radar＆ ECM，2001，（3）：1－8.（in Chinese）

[5]CRAVEY R L.RCS measurements and simulation of a tethered satellite，NASA95－19781[R].1995.

[6]靳悅.彈頭轉(zhuǎn)速的全數(shù)字測量技術(shù)及仿真[J].指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報，1993，4（2）：4－7.JIN Yue.Projectile spin’s completely digital measurement technical and limitation[J].Journal of Institute of Command and Technology，1993，4（2）：4－7.（in Chinese）

[7]萬建偉，周良柱，皇甫堪，等.測速雷達(dá)中的譜分析技術(shù)[J].彈道學(xué)報，1995，7（4），71－76.WAN Jian－wei，ZHOU Liang－zhu，HUANG Fu－kan，et al.The spectrum－analysing technology in measuring－speed radar[J].Journal of Ballistics，1995，7（4）：71－76.（in Chinese）

[8]洪家財.底部刻槽旋轉(zhuǎn)彈丸的RCS特性的分析與仿真[J].微波學(xué)報，2006，22（2）：45－48.HONG Jia－cai.RCS analysis and simulation for bullet pill with slot[J].Journal of Microwave，2006，22（2）：45－48.（in Chinese）

[9]宋丕極.槍炮與火箭外彈道學(xué)[M].北京：兵器工業(yè)出版社，1993.SONG Pi－ji.External ballistics of bullet，projectile and rocket[M].Beijing：Ordnance Industry Press，1993.（in Chinese）