董立鋒，唐玉娜

（杭州師范大學錢江學院，浙江杭州 310012）

廣義指數(shù)分布基于恒加壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

董立鋒，唐玉娜

（杭州師范大學錢江學院，浙江杭州 310012）

廣義指數(shù)分布是比較新的一種壽命分布，首先提出廣義指數(shù)分布場合下加速壽命試驗的基本假定，進而對恒加試驗進行極大似然估計，在此基礎上作了相應的隨機模擬研究，通過比較模擬結果得出相關結論.

廣義指數(shù)分布；加速壽命試驗；極大似然估計；偏差；均方誤差

為了在較短的時間內(nèi)評價高可靠長壽命產(chǎn)品的各種可靠性特征，人們提出了加速壽命試驗.已有很多文獻討論了加速壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法，其中以恒加壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法較為成熟，但是大多數(shù)文獻討論的是未知參數(shù)的點估計，討論未知參數(shù)的區(qū)間估計的文獻較少.現(xiàn)有文獻中有許多對可靠性進行實驗研究［1］；國內(nèi)代表性學者研究了定數(shù)截尾Weibull分布下恒加應力加速壽命試驗的統(tǒng)計分析，討論了Weibull分布基于恒加壽命試驗數(shù)據(jù)的區(qū)間估計和有關參數(shù)近似區(qū)間估計的精度［2］；另外文［3－4］討論了恒加試驗的模型及其統(tǒng)計分析方法，在恒加試驗情形常用的點估計有最大似然估計和最好線性無偏估計.

目前文獻罕見有關加速壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析的討論，該文主要研究了廣義指數(shù)分布場合下加速壽命試驗的統(tǒng)計推斷方法.首先提出廣義指數(shù)分布場合下加速壽命試驗的基本假定，進而對恒加試驗進行極大似然估計，在此基礎上作了相應的隨機模擬研究，通過比較模擬結果得出了相關結論.

1 加速試驗的基本假定

1.1 恒加壽命試驗的實施

在產(chǎn)品壽命服從廣義指數(shù)分布的情況下，恒加試驗的實施如下：1）確定正常應力水平S0和k個加速應力水平S1，S2，…，Sk，應力水平一般滿足：S1＜S2＜…＜Sk.2）從該批產(chǎn)品中中隨機選出n個樣品，并分為k組，其樣本容量分別為n1，n2，…，nk（n1＋n2＋…＋nk＝n），將第i組樣品安排在應力水平Si下進行壽命試驗.

3）在k個加速應力水平下分別進行定數(shù)截尾壽命試驗.設在應力水平Si下ni個樣品中共有ri個失效，其失效數(shù)據(jù)滿足：ti1≤ti2≤…≤tiri（i＝1，2，…，k）.

1.2 恒加試驗的基本假定

廣義指數(shù)分布場合恒加壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析一般基于以下幾個假定：

假定1 力水平S下產(chǎn)品的壽命T服從廣義指數(shù)分布，其分布函數(shù)為

假定2 應力水平S1，…，Sk下產(chǎn)品的失效機理與正常應力水平S0下產(chǎn)品的失效機理相同.反應在分布參數(shù)上即形狀參數(shù)α不隨應力水平S的變化而變化.

假定3 加速壽命方程為

式中：a，b為未知參數(shù)，φ（S）為應力水平S的已知函數(shù).

2 恒加試驗的極大似然估計

2.1 參數(shù)的極大似然估計（MLE）

假如試驗滿足如上所述，在應力水平Si下的試驗數(shù)據(jù)為ti1≤ti2≤…≤tiri，此時容易獲得在應力水平Si下的似然函數(shù)

由于各應力水平的試驗是相互獨立的，則定數(shù)截尾恒加試驗的似然函數(shù)為

其對數(shù)似然函數(shù)

將式（2）代入式（4）中，得到a，b和α的似然函數(shù)

式中，φi＝φ（Si）.利用極大似然方法，對該似然函數(shù)求導，得到參數(shù)a，b和α的極大似然估計其滿足方程：

對上述方程組，可以利用Newton－Raphson迭代法求其數(shù)值解.

2.2 的漸近方差

式中，矩陣F為Fisher信息矩陣.由于對該模型求Fisher信息矩陣存在著困難，故用觀測信息矩陣I代替

則參數(shù)a，b，α的MLE的漸近方差和協(xié)方差可從I－1得到.對式（5）求導后，即可獲得觀測信息陣I：

2.3 正常應力水平下的參數(shù)估計

利用上述估計就可以寫出加速模型：

從而可得到產(chǎn)品在正常應力水平下lnλ0的估計，即

其漸近方差為

在正常應力水平下λ0M的MLE

由于ln是漸近無偏估計，因此一般說來是λ0M的有偏估計.為了獲得λ0的漸近無偏估計，將在lnλ0處進行Taylor展開，則有

由ln的漸近無偏性可得

為了獲得正常應力水平下λ的區(qū)間估計，首先研究lnλ0的區(qū)間估計問題.當樣本容量充分大時與具有漸近正態(tài)性，因此ln也收斂于正態(tài)分布，即ln～AN（lnλ0）.對于給定的置信水平1－β，有

式中，uβ是標準正態(tài)分布的β上分位數(shù).利用等價變形，就可獲得λ0的置信水平為1－β的區(qū)間估計，即

類似地，也可獲得λ0的置信水平為1－β的單側置信下限，即

3 隨機模擬

下面對近似置信區(qū)間及近似無偏估計做模擬研究，對點估計從偏差和均方誤差兩方面做了比較，對近似置信下限、置信上限和置信區(qū)間考察了覆蓋真值的比率.假設模擬研究中加速壽命方程為lnλ＝－60＋14lnS；加速應力水平S1＝38.6，S2＝44.8，S3＝51.2，S4＝57.6，正常應力水平S0＝32；分別考察參數(shù)α＝0.5，α＝1.5兩種情形；置信水平考察了0.90，0.95兩種情形.對每一種組合產(chǎn)生10 000組模擬樣本，模擬結果見表1—表4.

表1 α取0.5，1.5極大似然估計的模擬結果比較Tab.1 Comparisions of MLE simulation results whenαis 0.5，1.5

表2 近似無偏估計~λ0的模擬結果Tab.2 Simulation results of approximately unbiased estimate

表2 近似無偏估計~λ0的模擬結果Tab.2 Simulation results of approximately unbiased estimate

表3 α取0.5時近似置信區(qū)間覆蓋真值比率的模擬結果Tab.3 Simulation results of approximate confidence interval covering the true value ratio whenαis 0.5

表4 α取1.5時近似置信區(qū)間覆蓋真值比率的模擬結果Tab.4 Simulation results of approximate confidence interval covering the true value ratio whenαis 1.5

從模擬結果可知，極大似然估計下參數(shù)λ0的近似無偏估計的偏差和均方誤差比極大似然估計的結果好.隨著樣本容量的增大偏差和均方誤差越來越小，說明所給的近似估計是好的.近似置信區(qū)間覆蓋真值比率和置信水平相比相差很小，并且隨著樣本容量的增大差距越來越小，這說明所給近似置信區(qū)間的精度是令人滿意的.另外，從估計的結果還可以看出，隨著α的增大的偏差和均方誤差越來越小.

［1］文靜.影響絕對性柔韌素質測量可靠性實驗研究［J］.杭州師范大學學報：自然科學版，2008，7（2）：145－148.

［2］王炳興.Weibull分布基于恒加壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析［J］.應用概率統(tǒng)計，2002，18（4）：413－418.

［3］Balakrishnan N，Xie Qihao.Exact inference for a simple step－stress model with type－I hybrid censored data from the exponential distribution［J］.Statistical Planning and Inference，2007，137（11）：3268－3290.

［4］張志華.對數(shù)正態(tài)分布定時截尾樣本下加速壽命試驗的統(tǒng)計分析［J］.應用數(shù)學學報，2000，23（4）：488－496.

Statistical Analysis on Generalized Exponential Distribution Based on Constant Stress Accelerated Life Test Data

DONG Li－feng，TANG Yu－na

（Qianjiang College，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310012，China）

Generalized exponential distribution is a new kind of life distribution.The paper presented some basic assumptions of accelerated life test under the generalized exponential distribution，made the maximum likelihood estimator on constant stress accelerated life testing，and obtained relevant conclusions with corresponding stochastic simulation studies.

generalized exponential distribution；constant stress accelerated life testing；MLE；bias；MSE

O213.2 MSC2010：62N05

A

1674－232X（2012）01－0060－05

11.3969/j.issn.1674－232X.2012.01.013

2011－08－13

杭州師范大學科研基金項目（2008QJJS04）.

董立鋒（1979—），男，講師，主要從事統(tǒng)計理論和經(jīng)濟統(tǒng)計研究.E－mail：donglifeng2005＠yahoo.com.cn