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        一般偽黎曼流形的2-調(diào)和類空超曲面

        2012-12-22 07:35:00范勝雪宋衛(wèi)東

        范勝雪,宋衛(wèi)東

        (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

        一般偽黎曼流形的2-調(diào)和類空超曲面

        范勝雪,宋衛(wèi)東

        (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

        研究了一般偽黎曼流形中的2-調(diào)和類空超曲面,獲得此類超曲面的J.Simons型積分不等式及一些Pinching結(jié)果.

        偽黎曼流形;2-調(diào)和映照;類空超曲面

        0 引 言

        按J.Eells和Lemaine在文獻(xiàn)[1]中設(shè)想,姜國英在文獻(xiàn)[2]中討論了Riemann流形間的2-調(diào)和映照,歐陽崇珍又在文獻(xiàn)[3]中將2-調(diào)和映照推廣為從黎曼流形到偽黎曼流形的情形,并在該文的第四部分探討了常曲率Lorentz流形的2-調(diào)和類空超曲面.本文將其外圍流形推廣到一般偽黎曼流形的情形,獲得以下一些結(jié)果.

        定理1 設(shè)Nn+1為指標(biāo)是1的(n+1)維完備連通的偽黎曼流形,其截面曲率KN滿足0<δ≤KN≤1.Mn為Nn+1緊致定向的2-調(diào)和類空超曲面,則成立如下積分不等式:

        定理2 在定理1條件下,若還滿足下列條件之一:

        i)若0≤S<nδ;

        ii)若S>n且H=const.

        則Mn為極大類空超曲面.

        1 預(yù)備知識

        本文約定各類指標(biāo)的取值范圍如下:

        若無特殊說明,重復(fù)指標(biāo)表示關(guān)于該指標(biāo)在取值范圍內(nèi)求和.

        設(shè)Nn+11為截面曲率KN滿足條件0<δ≤KN≤1的(n+1)維完備連通偽黎曼流形,Mn為等距浸入到的類空超曲面,選取上的局部偽黎曼幺正標(biāo)架場{eA},使得限制在Mn上時,{ei}與Mn相切,令{ωA}為其對偶標(biāo)架,}為的聯(lián)絡(luò)1-形式,于是在Mn上時,有

        其中h,ξ,Rijkl,KABCD分別為Mn的第二基本形式、中曲率向量、曲率張量及的曲率張量為的一階和二階共變導(dǎo)數(shù),定義為

        分別為Mn的第二基本形式模長平方及中曲率.

        為定理證明需要,給出以下兩個引理:

        引理1[3]Mn為偽黎曼流形的2-調(diào)和類空超曲面的充要條件:

        仿[4]的證明,對于偽黎曼流形,有

        引理2[4]設(shè)為(n+1)維偽黎曼流形,對x∈M,有δ≤KN≤1,則在x處有

        2 定理證明

        由前面的有關(guān)公式,可得

        首先將式(6)第一式改寫成

        兩端關(guān)于i求導(dǎo),并對i求和得

        調(diào)整指標(biāo),結(jié)合式(6)第二式可得

        以上完成定理1的證明.

        [1]Eells J,Lemaire L.Seleted topics map[M]//Providence R I.CBMS.50.Washington DC:AMS,1983.

        [2]姜國英.Riemann流形間2-調(diào)和的等距浸入[J].數(shù)學(xué)年刊,1986,7A(2):130-144.

        [3]歐陽崇珍.偽黎曼空間型的2-調(diào)和類空子流形[J].數(shù)學(xué)年刊,2000,21A(6):649-654.

        [4]Golderg S I.Curvature and homology[M].London:Academic Press,1962.

        2-Harmonic Space-Like Hypetsurface in Pseudo-Riemannian Manifolds

        FAN Sheng-xue,SONG Wei-dong
        (College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

        This paper studied the 2-h(huán)armonic space-like hypersurface in pseudo-Riemannian manifold,obtained integral inequality of J.Simons'type and some Pinching results.

        pseudo-Riemannian manifold;2-h(huán)armonic map;space-like hypersurface

        O186 MSC2010:53C20

        A

        1674-232X(2012)01-0056-04

        10.3969/j.issn.1674-232X.2012.01.012

        2011-07-04

        安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2008A05ZC).

        宋衛(wèi)東(1958—),男,教授,主要從事微分幾何研究.E-mail:swd@sina.com

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