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        一類(lèi)多重和的計(jì)算公式

        2012-12-22 07:35:00冷慧廷鄭德印
        關(guān)鍵詞:特例二項(xiàng)式嵌套

        冷慧廷,鄭德印

        (杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江杭州 310036)

        一類(lèi)多重和的計(jì)算公式

        冷慧廷,鄭德印

        (杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江杭州 310036)

        結(jié)合組合解釋和Vandermonde卷積公式,研究關(guān)于兩類(lèi)二項(xiàng)式系數(shù)的多重和式計(jì)算問(wèn)題,所得結(jié)果包含Butler(2010)的新近結(jié)論作為特例.

        多重和;嵌套和;組合證明

        0 引 言

        關(guān)于多重和的計(jì)算問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外的學(xué)者已經(jīng)做了很多研究,S.Butler[1]在2010年發(fā)表了一篇關(guān)于嵌套和的文章,得到了關(guān)于多重和的幾個(gè)計(jì)算公式,如

        本文將利用組合解釋和Vandermonde卷積公式研究如下2種形式的多重和:

        其中,f,g為包含m個(gè)變量的多元函數(shù).容易看出和(i)的求和指標(biāo)可重復(fù)而和(ii)的求和指標(biāo)不可重復(fù),得到封閉和公式是困難且復(fù)雜的,但對(duì)某些特殊的f,g其封閉和還是比較簡(jiǎn)單漂亮的.本文先使用組合解釋給出二項(xiàng)式系數(shù)的一種多重和表示,在此基礎(chǔ)上研究了求和指標(biāo)可重復(fù)和不可重復(fù)的兩類(lèi)多重和式的計(jì)算問(wèn)題,其中求和項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)的和,并考慮了f,g為某些二項(xiàng)式系數(shù)的情形,其結(jié)果以Butler的結(jié)果為特例.下面先給出幾個(gè)引理.

        有限集合N的一個(gè)m-組合或m-塊B就是N的m個(gè)元素的非空子集,用Bm(N)表示N的m-子集的集合.

        假設(shè)集合N={1,2,…,n},ki∈N,則

        1 求和指標(biāo)可重復(fù)的多重和

        上述式(13)和(14)為特例.筆者重新推證了由Butler[1]所發(fā)現(xiàn)的定理2中的兩個(gè)恒等式,式(13)就是引言中的式(1).

        2 求和指標(biāo)不可重復(fù)的多重和

        以下考慮(ii)型的多重和計(jì)算問(wèn)題.

        3 小 結(jié)

        本文僅考慮了m重和(i)和(ii)的求和項(xiàng)f和g為二項(xiàng)式系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)的和的情形.實(shí)際上,也可考慮其他形式的f和g的求和問(wèn)題,限于篇幅,這里不再一一贅述.

        [1]Butler S,Karasik P.A note on nested sums[J/OL].Journal of Integer Sequences,2010,13(4)[2011-04-30].http://www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL13/Butler/butler T.pdf.

        [2]王天明.近代組合學(xué)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2008:7-12.

        Computing Formulas of a Class of Multi-Sum

        LENG Hui-ting,ZHENG De-yin

        (College of Science,Hangzhou Normal University,Hangzhou 310036,China)

        With combinatorial explanation and Vandermonde convolution formula,this paper investigated the computing formulas of multi-sum concerning two classes of binomial coefficient.The results obtained contain the Butler's new conclusions as special cases.

        multi-sum;nested sum;combinatorial proof

        O157.1 MSC2010:05A15

        A

        1674-232X(2012)01-0051-05

        10.3969/j.issn.1674-232X.2012.01.011

        2011-05-23

        鄭德?。?964—),男,副教授,主要從事組合數(shù)學(xué)、超幾何級(jí)數(shù)和特殊函數(shù)研究.E-mail:deyinzheng@yahoo.com.cn

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