邱偉華

（柳州職業(yè)技術(shù)學院，廣西 柳州 545006）

只需要一個獨立坐標，就可完全定義其幾何位置的系統(tǒng)，就是單自由度系統(tǒng)，也就是最簡單的、最基本的離散系統(tǒng)。實際工程中，很多簡單系統(tǒng)可以簡化為單自由度系統(tǒng)，例如簡單彈簧和質(zhì)量系統(tǒng)。當我們對只包含慣性元件和彈性元件的系統(tǒng)，不考慮阻尼進行討論，這就是最簡單的單自由度無阻尼系統(tǒng)。

筆者介紹了單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率的計算方法，并依靠不同的方法，比較了忽略彈簧自身質(zhì)量以及考慮彈簧自身質(zhì)量對于固有頻率的影響。

1 無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的自由振動[1]

如圖1所示，就是本文要討論的單自由度無阻尼系統(tǒng)。

圖1 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)及簡化坐標

該系統(tǒng)有質(zhì)量為m的重物（慣性元件）和剛度為k的彈簧（彈性元件）組成。假設(shè)不考慮重物的尺寸效應，可以用一個簡單質(zhì)點來表示這一類重物。為了描述圖示系統(tǒng)位置，采用如圖1所示的單軸坐標系。坐標原點選取在質(zhì)點靜平衡位置，用x表示質(zhì)點在任意時刻處于坐標系中的坐標，以向下的方向為正。在此系統(tǒng)運動過程中，x 是時間t的函數(shù)，可以稱為質(zhì)點的位移函數(shù)。由于只需要一個空間坐標x，就可以完全確定圖中質(zhì)點任意時刻的位置，因此可以認為該系統(tǒng)就是單自由度系統(tǒng)。不考慮阻尼的情形下，系統(tǒng)將在初始條件激勵下，圍繞靜平衡點做無阻尼自由振動。

2 振動方程的建立方法[2]

對于簡單系統(tǒng)，振動微分方程的建立主要有2種方法。本文首先進行不考慮彈簧自身質(zhì)量情形下的微分方程建立方法。

2.1 用牛頓第二定律法建立微分方程

牛頓第二定律又稱運動定律，即物體動量的改變與施加的力量成正比。對于圖示系統(tǒng)，定義質(zhì)點的靜平衡位置為坐標原點，則質(zhì)點與坐標原點O的距離為x，可得作用在質(zhì)點上的彈簧力為[3]

式中，

ξs=mg/k表示彈簧在重物作用下的靜伸長，符號表示力fs的方向始終與（x +ξs）的方向相反，其作用是始終試圖恢復彈簧的原長，一般稱為彈性恢復力。

又由牛頓第二定律有

上兩式運算結(jié)果得

式（3）就是圖1所示單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動微分方程，其是一個二階線性常系數(shù)齊次微分方程。為了使得圖1所示系統(tǒng)產(chǎn)生自由振動，需要有一個初始激勵，或者說系統(tǒng)應該有一個非零的初始狀態(tài)。初始激勵，也就是初始擾動，通常由t=0 時刻的位移和速度來表示，即為

2.2 用能量法建立系統(tǒng)微分方程

對于本文討論的假設(shè)情形無阻尼狀態(tài)，那么可以認為是不存在能量耗散，也不會對外提供額外能量，那么系統(tǒng)的機械能是守恒的。機械能守恒的數(shù)學表達式為

式中，

Tmax為系統(tǒng)動能最大值；

Umax為系統(tǒng)勢能最大值；

等式含義即是系統(tǒng)的動能最大值等于勢能的最大值。

在此還有另一種表達方式

求導后有

根據(jù)圖1的彈簧質(zhì)量體系，若把坐標原點選在質(zhì)點的靜平衡位置，選擇質(zhì)點m的任意時刻坐標為x，可以求得任意時刻系統(tǒng)動能為

假定系統(tǒng)在靜平衡的位置作為勢能零點，對于質(zhì)點m 處于x位置時刻的系統(tǒng)勢能為

把T 和U 代入（7）可得：

即獲得和式（3）相同的微分方程。

因此，可以得出結(jié)論，即使使用方法的不同，不影響同一系統(tǒng)具有相同的運動微分方程。

3 運動微分方程的求解

通過上邊的微分方程建立，可知同一系統(tǒng)的運動微分方程具有唯一形式，下邊將對此微分方程進行求解。

3.1 振動微分方程的求解與振動特性分析

這是一個常系數(shù)微分方程，可以直接解出。假設(shè)方程（3）具有如下形式的特解

代入式（13）得

由于系統(tǒng)的振動位移不恒等于零，因此可得

此式即為式（3）的特征方程。解方程易得

此式中

由特征根可以得到式（3）的通解為此式即為質(zhì)點任意時刻的運動軌跡方程的復數(shù)表達方式，式中C1和C2均為待定常數(shù)。為了更清楚看出運動的特點，可以用歐拉公式進行轉(zhuǎn)化，以三角函數(shù)來表示運動的軌跡。根據(jù)歐拉公式代入式（9）并整理有[4]

由于C1和C2均為待定常數(shù)，而且C1和C2必須為一對共軛復數(shù)，進一步整理得

式中，C 和D 均為待定常數(shù)，進一步三角變化得

式中的A 和φ 均為由初始條件確定的待定常數(shù)。

此時可以看出，本文討論的質(zhì)量體系的運動方式為一個以A為振幅，以ω為固有頻率，以φ為初始相位的無阻尼簡諧振動。其中

即為簡諧振動的固有頻率。

必須強調(diào)，以上計算都是以忽略彈簧自身質(zhì)量作為基礎(chǔ)的。

3.2 考慮彈簧自身質(zhì)量情況下的固有頻率計算

一般的理論力學考慮中，彈簧自身質(zhì)量都是不予考慮的。但是在實際工程中，大型彈簧的實際質(zhì)量很大，在固有頻率的計算中，忽略彈簧自身質(zhì)量之后的影響非常大，因此有必要給出考慮彈簧自身質(zhì)量之下的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率的計算結(jié)果，并和理想狀況下的固有頻率進行對比。

方程的建立，使用能量法。

如圖2所示，可設(shè)彈簧長度為l，單位長度的質(zhì)量為ρ，坐標原點選在系統(tǒng)靜平衡處，當彈簧端點的位移是x的時候，靜平衡時刻距離固定支點端距離為s 處，彈簧位移為sx / l，此處的質(zhì)量為ρds。

圖2 考慮彈簧質(zhì)量情況下的計算

此時可知，彈簧的動能為

則系統(tǒng)的總動能為

而系統(tǒng)的總勢能為

根據(jù)式（7）

以及微分方程求解如文中第3 節(jié)計算得考慮了彈簧質(zhì)量情況下的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率

4 結(jié)束語

由上邊計算可以知道，在實際工程中，一旦考慮了彈簧的自身質(zhì)量，那么簡單彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率對比不考慮彈簧自身質(zhì)量的理想結(jié)果，實際中的固有頻率，是低于忽略彈簧自身質(zhì)量的理想結(jié)果的。

[1]諸德超，邢譽峰.工程振動基礎(chǔ)[M].北京：北京航空航天大學出版社，2005.

[2]（美）Singiresu Rao.機械振動[M].李欣業(yè)，張明路，譯，北京：清華大學出版社，2009.

[3]尹冠生理論力學[M].西安:西北工業(yè)大學出版社，2004.

[4]陳宗煊，劉名生.復變函數(shù)[M].北京：科學出版社，2010.