邱偉華
(柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣西 柳州 545006)
只需要一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo),就可完全定義其幾何位置的系統(tǒng),就是單自由度系統(tǒng),也就是最簡(jiǎn)單的、最基本的離散系統(tǒng)。實(shí)際工程中,很多簡(jiǎn)單系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng),例如簡(jiǎn)單彈簧和質(zhì)量系統(tǒng)。當(dāng)我們對(duì)只包含慣性元件和彈性元件的系統(tǒng),不考慮阻尼進(jìn)行討論,這就是最簡(jiǎn)單的單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)。
筆者介紹了單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算方法,并依靠不同的方法,比較了忽略彈簧自身質(zhì)量以及考慮彈簧自身質(zhì)量對(duì)于固有頻率的影響。
如圖1所示,就是本文要討論的單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)。
圖1 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)及簡(jiǎn)化坐標(biāo)
該系統(tǒng)有質(zhì)量為m的重物(慣性元件)和剛度為k的彈簧(彈性元件)組成。假設(shè)不考慮重物的尺寸效應(yīng),可以用一個(gè)簡(jiǎn)單質(zhì)點(diǎn)來(lái)表示這一類(lèi)重物。為了描述圖示系統(tǒng)位置,采用如圖1所示的單軸坐標(biāo)系。坐標(biāo)原點(diǎn)選取在質(zhì)點(diǎn)靜平衡位置,用x表示質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻處于坐標(biāo)系中的坐標(biāo),以向下的方向?yàn)檎?。在此系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,x 是時(shí)間t的函數(shù),可以稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)。由于只需要一個(gè)空間坐標(biāo)x,就可以完全確定圖中質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置,因此可以認(rèn)為該系統(tǒng)就是單自由度系統(tǒng)。不考慮阻尼的情形下,系統(tǒng)將在初始條件激勵(lì)下,圍繞靜平衡點(diǎn)做無(wú)阻尼自由振動(dòng)。
對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng),振動(dòng)微分方程的建立主要有2種方法。本文首先進(jìn)行不考慮彈簧自身質(zhì)量情形下的微分方程建立方法。
牛頓第二定律又稱(chēng)運(yùn)動(dòng)定律,即物體動(dòng)量的改變與施加的力量成正比。對(duì)于圖示系統(tǒng),定義質(zhì)點(diǎn)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為x,可得作用在質(zhì)點(diǎn)上的彈簧力為[3]
式中,
ξs=mg/k表示彈簧在重物作用下的靜伸長(zhǎng),符號(hào)表示力fs的方向始終與(x +ξs)的方向相反,其作用是始終試圖恢復(fù)彈簧的原長(zhǎng),一般稱(chēng)為彈性恢復(fù)力。
又由牛頓第二定律有
上兩式運(yùn)算結(jié)果得
式(3)就是圖1所示單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程,其是一個(gè)二階線性常系數(shù)齊次微分方程。為了使得圖1所示系統(tǒng)產(chǎn)生自由振動(dòng),需要有一個(gè)初始激勵(lì),或者說(shuō)系統(tǒng)應(yīng)該有一個(gè)非零的初始狀態(tài)。初始激勵(lì),也就是初始擾動(dòng),通常由t=0 時(shí)刻的位移和速度來(lái)表示,即為
對(duì)于本文討論的假設(shè)情形無(wú)阻尼狀態(tài),那么可以認(rèn)為是不存在能量耗散,也不會(huì)對(duì)外提供額外能量,那么系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的。機(jī)械能守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
式中,
Tmax為系統(tǒng)動(dòng)能最大值;
Umax為系統(tǒng)勢(shì)能最大值;
等式含義即是系統(tǒng)的動(dòng)能最大值等于勢(shì)能的最大值。
在此還有另一種表達(dá)方式
求導(dǎo)后有
根據(jù)圖1的彈簧質(zhì)量體系,若把坐標(biāo)原點(diǎn)選在質(zhì)點(diǎn)的靜平衡位置,選擇質(zhì)點(diǎn)m的任意時(shí)刻坐標(biāo)為x,可以求得任意時(shí)刻系統(tǒng)動(dòng)能為
假定系統(tǒng)在靜平衡的位置作為勢(shì)能零點(diǎn),對(duì)于質(zhì)點(diǎn)m 處于x位置時(shí)刻的系統(tǒng)勢(shì)能為
把T 和U 代入(7)可得:
即獲得和式(3)相同的微分方程。
因此,可以得出結(jié)論,即使使用方法的不同,不影響同一系統(tǒng)具有相同的運(yùn)動(dòng)微分方程。
通過(guò)上邊的微分方程建立,可知同一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程具有唯一形式,下邊將對(duì)此微分方程進(jìn)行求解。
這是一個(gè)常系數(shù)微分方程,可以直接解出。假設(shè)方程(3)具有如下形式的特解
代入式(13)得
由于系統(tǒng)的振動(dòng)位移不恒等于零,因此可得
此式即為式(3)的特征方程。解方程易得
此式中
由特征根可以得到式(3)的通解為此式即為質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)軌跡方程的復(fù)數(shù)表達(dá)方式,式中C1和C2均為待定常數(shù)。為了更清楚看出運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),可以用歐拉公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,以三角函數(shù)來(lái)表示運(yùn)動(dòng)的軌跡。根據(jù)歐拉公式代入式(9)并整理有[4]
由于C1和C2均為待定常數(shù),而且C1和C2必須為一對(duì)共軛復(fù)數(shù),進(jìn)一步整理得
式中,C 和D 均為待定常數(shù),進(jìn)一步三角變化得
式中的A 和φ 均為由初始條件確定的待定常數(shù)。
此時(shí)可以看出,本文討論的質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方式為一個(gè)以A為振幅,以ω為固有頻率,以φ為初始相位的無(wú)阻尼簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其中
即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的固有頻率。
必須強(qiáng)調(diào),以上計(jì)算都是以忽略彈簧自身質(zhì)量作為基礎(chǔ)的。
一般的理論力學(xué)考慮中,彈簧自身質(zhì)量都是不予考慮的。但是在實(shí)際工程中,大型彈簧的實(shí)際質(zhì)量很大,在固有頻率的計(jì)算中,忽略彈簧自身質(zhì)量之后的影響非常大,因此有必要給出考慮彈簧自身質(zhì)量之下的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算結(jié)果,并和理想狀況下的固有頻率進(jìn)行對(duì)比。
方程的建立,使用能量法。
如圖2所示,可設(shè)彈簧長(zhǎng)度為l,單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρ,坐標(biāo)原點(diǎn)選在系統(tǒng)靜平衡處,當(dāng)彈簧端點(diǎn)的位移是x的時(shí)候,靜平衡時(shí)刻距離固定支點(diǎn)端距離為s 處,彈簧位移為sx / l,此處的質(zhì)量為ρds。
圖2 考慮彈簧質(zhì)量情況下的計(jì)算
此時(shí)可知,彈簧的動(dòng)能為
則系統(tǒng)的總動(dòng)能為
而系統(tǒng)的總勢(shì)能為
根據(jù)式(7)
以及微分方程求解如文中第3 節(jié)計(jì)算得考慮了彈簧質(zhì)量情況下的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率
由上邊計(jì)算可以知道,在實(shí)際工程中,一旦考慮了彈簧的自身質(zhì)量,那么簡(jiǎn)單彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率對(duì)比不考慮彈簧自身質(zhì)量的理想結(jié)果,實(shí)際中的固有頻率,是低于忽略彈簧自身質(zhì)量的理想結(jié)果的。
[1]諸德超,邢譽(yù)峰.工程振動(dòng)基礎(chǔ)[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2005.
[2](美)Singiresu Rao.機(jī)械振動(dòng)[M].李欣業(yè),張明路,譯,北京:清華大學(xué)出版社,2009.
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[4]陳宗煊,劉名生.復(fù)變函數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2010.