王 巖，劉茂華，黨永超

(沈陽建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，遼寧沈陽110168)

一、前 言

GPS測(cè)量以其速度快、精度高、全天候、操作簡(jiǎn)單等特點(diǎn)被越來越廣泛的應(yīng)用于平面控制測(cè)量工作中，并給測(cè)繪工作帶來了巨大的變革。但是，由于受到高程異常的影響，其在高程測(cè)量工作中具有一定的局限性。

我國目前采用的高程系統(tǒng)是正常高高程系統(tǒng)，即以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面，以鉛垂線為基準(zhǔn)線的高程系統(tǒng)，而GPS高程測(cè)量所采用的高程系統(tǒng)是大地高高程系統(tǒng)，即以參考橢球面為基準(zhǔn)面，以法線為基準(zhǔn)線的高程系統(tǒng)。兩者之間的關(guān)系如圖1所示。

圖1 正常高與大地高

要將GPS所測(cè)的大地高轉(zhuǎn)化成我國所使用的正常高，就必須先求出參考橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間的差距，即高程異常ζ，然后根據(jù)大地高(H)求得正常高(H正常)，即

由于參考橢球面是一個(gè)規(guī)則的幾何曲面，而似大地水準(zhǔn)面受到重力等因素的影響，是一個(gè)不規(guī)則的曲面，所以每一個(gè)點(diǎn)上的高程異常ζ都各不相同。因此，精確求解高程異常值成為了提高GPS高程測(cè)量精度的關(guān)鍵之處。一般的，較大范圍內(nèi)精確的確定每一個(gè)點(diǎn)的高程異常值較為復(fù)雜，通行的方法是利用重力擬合法通過地面重力資料求解高程異常值。但是通常情況下，重力資料難以獲得，因此此方法在工程中難以實(shí)施。

當(dāng)測(cè)區(qū)范圍相對(duì)較小時(shí)，由于地勢(shì)變化不大，各方面的影響因素較為接近，因此可以認(rèn)為高程異常具有一定的幾何相關(guān)性。可以利用這一原理，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并利用擬合法求解GPS所測(cè)各點(diǎn)的正常高[1]。所謂擬合法就是對(duì)GPS觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行幾何水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)，即先將同一點(diǎn)的大地高減去正常高得到該點(diǎn)的高程異常;再把測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面假定為多項(xiàng)式曲面或者其他數(shù)學(xué)曲面去擬合已知高程異常的點(diǎn);最后根據(jù)擬合的曲面內(nèi)插其他GPS點(diǎn)的高程異常值。利用擬合法進(jìn)行GPS高程轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型很多，在小地區(qū)內(nèi)通常采用平面擬合法、多項(xiàng)式曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法等幾種方法。由于平面擬合法一般僅適用于地勢(shì)平坦地區(qū)，在其他情況下精度相對(duì)較低，因此本文對(duì)其不做討論。

二、小地區(qū)GPS高程擬合的基本方法

1．多項(xiàng)式曲面擬合法

多項(xiàng)式函數(shù)擬合法的基本思想是：在小區(qū)域內(nèi)的GPS網(wǎng)中，將似大地水準(zhǔn)面看成曲面或平面，將高程異常表示為平面坐標(biāo)(x，y)的函數(shù)，通過網(wǎng)中起算點(diǎn)已知的高程異常確定測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面形狀，求出其余各點(diǎn)的高程異常，進(jìn)而求出正常高，其數(shù)學(xué)模型為

式中

多項(xiàng)式擬合的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，使得該多項(xiàng)式函數(shù)所代表的曲面盡可能逼近高程異常曲面。多項(xiàng)式函數(shù)理論上可以是二次、三次乃至N次，但是隨著次數(shù)的增高，模擬曲面出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，和實(shí)際的高程異常曲面相差較大?？紤]到三次多項(xiàng)式最少需要10個(gè)已知點(diǎn)數(shù)據(jù)，而二次多項(xiàng)式理論上6個(gè)已知點(diǎn)即可擬合，所以通常選用二次多項(xiàng)式作為高程擬合曲面函數(shù)，即

2．多面函數(shù)擬合法

多面函數(shù)的基本思想是：任何數(shù)學(xué)表面和任何不規(guī)則的圓滑表面，總可以利用一系列規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和以任意精度逼近。即在每個(gè)插值點(diǎn)上，同所有的已知數(shù)據(jù)點(diǎn)分別建立函數(shù)關(guān)系，并將這些多面函數(shù)的值疊加起來，以獲得最佳的曲面擬合值。高程異常函數(shù)可表示為

式中，Q(x，y，xi，yi)為核函數(shù);ai待定系數(shù)，代表第 i個(gè)核函數(shù)對(duì)多層疊加面的貢獻(xiàn);n為簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面的張數(shù)或多層疊加面的層數(shù)，它的值與分塊擴(kuò)充范圍內(nèi)參與點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等;x，y為待求點(diǎn)坐標(biāo)，xi，yi為已知點(diǎn)坐標(biāo)。核函數(shù)有多種形式，一般選擇核函數(shù)

其中，δ為平滑因子。

三、小地區(qū)GPS高程擬合的實(shí)施

1．控制網(wǎng)的布設(shè)與觀測(cè)

針對(duì)上述兩種擬合方法，設(shè)計(jì)試驗(yàn)進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。如圖2所示，試驗(yàn)場(chǎng)地選擇在沈陽市東陵區(qū)，地勢(shì)較為平坦，測(cè)區(qū)東西長約 2．5 km，南北寬約2．0 km，在測(cè)區(qū)內(nèi)共布設(shè)13個(gè)GPS點(diǎn)，其中GP1和GP11點(diǎn)高程已知。GPS網(wǎng)基線平均長度約600m。

圖2 GPS控制網(wǎng)略圖

利用3臺(tái)華測(cè)M600型GPS接收機(jī)，采用邊連式進(jìn)行觀測(cè)，共觀測(cè)11個(gè)閉合環(huán)。每個(gè)閉合環(huán)觀測(cè)時(shí)段不少于45min，且衛(wèi)星狀況良好，同步觀測(cè)時(shí)間段的衛(wèi)星數(shù)均不少于6顆。將所測(cè)得數(shù)據(jù)利用Compass靜態(tài)處理軟件處理后獲得每一個(gè)控制點(diǎn)的平差后高程值。

為了對(duì)擬合數(shù)據(jù)評(píng)定精度，利用TRIMBLE DINI12型數(shù)字水準(zhǔn)儀以GP1和GP11點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)各GPS點(diǎn)進(jìn)行二等水準(zhǔn)測(cè)量，經(jīng)平差計(jì)算獲得每點(diǎn)的正常高。各點(diǎn)的大地高與正常高高程值如表1所示。

表1 控制網(wǎng)觀測(cè)成果m

2．兩種擬合方法的精度對(duì)比[2]

為了對(duì)比擬合精度，首先假定以網(wǎng)中的GP1、GP2、GP3、GP4、GP6、GP7、GP11、GP12 8 個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，其余5個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)進(jìn)行擬合。分別采用二項(xiàng)式曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法兩種方法對(duì)其進(jìn)行擬合，結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出，在此區(qū)域內(nèi)二項(xiàng)式曲面擬合法的殘差值明顯小于多面函數(shù)擬合法的殘差值，即二項(xiàng)式曲面擬合法的精度要高于多面函數(shù)擬合法。通過計(jì)算其限差值可知，二項(xiàng)式曲面擬合法的精度已經(jīng)達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量精度要求，所以在此區(qū)域內(nèi)，其結(jié)果可以代替四等水準(zhǔn)測(cè)量。

表2 二項(xiàng)式曲面擬合法與多面函數(shù)擬合法結(jié)果對(duì)比

就該實(shí)例來說，造成多面函數(shù)法精度較低的主要原因在于特征點(diǎn)點(diǎn)位較稀疏，多余觀測(cè)較少。另一方面，在多面函數(shù)擬合模型程序化過程中確定的其核函數(shù)的中心點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，而在擬合計(jì)算過程中輸入的已知點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，多余觀測(cè)僅有2個(gè)，這樣就有可能因多余觀測(cè)數(shù)不足而造成擬合精度不足。

3．同種方法選擇不同已知點(diǎn)的對(duì)比

在工程中，已知點(diǎn)的位置對(duì)高程擬合的精度也有著較大的影響。為了直觀說明此項(xiàng)影響，筆者利用同樣的觀測(cè)數(shù)據(jù)，選取不同的已知點(diǎn)進(jìn)行擬合。此次假定以網(wǎng)中的 GP1、GP2、GP3、GP5、GP6、GP8、GP9、GP10 8個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，其余8個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)進(jìn)行擬合。僅以二項(xiàng)式曲面擬合法對(duì)其進(jìn)行擬合，將所得結(jié)果與第三章第二節(jié)中二項(xiàng)式曲面擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。

表3 選取不同已知點(diǎn)時(shí)二項(xiàng)式曲面擬合結(jié)果的對(duì)比

續(xù)表3

從表3中可以看出，第二次二項(xiàng)式曲面擬合的精度要小于第一次的擬合精度。主要原因在于第二次所選擇的已知點(diǎn)并沒有涵蓋整個(gè)測(cè)區(qū)，且GP11、GP12等控制點(diǎn)的高程異常值并不是內(nèi)插得到，而是外推得到的，由此造成了較大的誤差。

四、結(jié) 論

根據(jù)上述試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過分析可以得到以下結(jié)論：

1)由表2可以看出，二項(xiàng)式曲面擬合法比較適合地形單一高程變化較小的區(qū)域，其所需已知點(diǎn)個(gè)數(shù)較少，并且可以獲得較高精度，實(shí)際工作中可操作性較強(qiáng)。

2)在地勢(shì)較為平坦、已知點(diǎn)個(gè)數(shù)較少的前提下，二項(xiàng)式曲面擬合法比多面函數(shù)擬合法精度要高。

3)從表3可以看出，利用二項(xiàng)式曲面擬合法進(jìn)行高程擬合時(shí)，已知點(diǎn)的選擇對(duì)擬合精度有較大的影響。已知點(diǎn)應(yīng)盡可能地覆蓋整個(gè)測(cè)區(qū)，待定點(diǎn)在已知點(diǎn)覆蓋范圍之外時(shí)，擬合精度較低。

4)用數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行GPS高程擬合都是一種近似的方法，無法做到精確求解每一點(diǎn)的高程異常值。因此，在選擇數(shù)學(xué)模型以及選擇起算數(shù)據(jù)時(shí)要充分考慮各類因素的影響，盡量提高擬合精度。

[1]高原，張恒璟，趙春江．多項(xiàng)式曲面模型在GPS高程擬合中的應(yīng)用[J]．測(cè)繪科學(xué)，2011，36(3)：179-181．

[2]閆瑋，高俊強(qiáng)，王維．小地區(qū)GPS高程擬合和水準(zhǔn)測(cè)量對(duì)比試驗(yàn)[J]．南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29(5)：93-96．