夏靜 卜華龍

（1 巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

（2 巢湖學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

1 引言

高等數(shù)學(xué)是高校絕大部分理工科專(zhuān)業(yè)必修的一門(mén)基礎(chǔ)理論課，高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn)，即高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式往往是一支粉筆，一塊黑板以及對(duì)問(wèn)題的靜態(tài)描述，難以幫助學(xué)生深入淺出的理解教學(xué)內(nèi)容，可能導(dǎo)致一部分學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣和信心，從而難以取得預(yù)期的教學(xué)效果[1,2]。

提高學(xué)生興趣、幫助學(xué)生理解抽象內(nèi)容一直是困擾教師的難題，隨著計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展，適當(dāng)利用這類(lèi)工具能改善這一問(wèn)題[3,4]。Matlab是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的簡(jiǎn)稱，是美國(guó)MathWorks公司開(kāi)發(fā)的一種數(shù)學(xué)軟件，可用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境。本文通過(guò)教學(xué)中一些典型問(wèn)題為例，探討Matlab在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用。

2 MATLAB圖形輸出功能的應(yīng)用

教學(xué)時(shí)，為使學(xué)生直觀理解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們往往會(huì)借助幾何圖形講解，然而，手工作圖不準(zhǔn)確，尤其是多維空間圖形，手工示意圖更是差強(qiáng)人意。借助MATLAB軟件功能，我們通過(guò)調(diào)用MATLAB命令，就可以準(zhǔn)確畫(huà)出所需圖形，從而降低教與學(xué)的難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)軟件解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)和能力。

2.1 深化對(duì)極限的理解

極限是高等數(shù)學(xué)里的第一個(gè)重要的抽象概念，實(shí)際上，中學(xué)的數(shù)學(xué)課程里已經(jīng)有一些簡(jiǎn)單的極限知識(shí)，學(xué)生往往認(rèn)為只要會(huì)進(jìn)行一些具體極限的計(jì)算就可以了，但若不能很好理解極限的數(shù)學(xué)定義，將對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生極大的影響，比如函數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)等重要概念都是建立在極限的基礎(chǔ)之上的。若在講解定義過(guò)程中展示出極限的“無(wú)限靠近”特征，通過(guò)幾何圖形則能夠很好地體現(xiàn)其內(nèi)涵，可使學(xué)生理解得更加深刻，教學(xué)效果明顯提高。

在MATLAB的命令窗口中輸入如下命令集合：

圖1 極限示意圖

2.2 觀察函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)后的逼近程度

以函數(shù)的Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為例:

若在x=a點(diǎn)附近進(jìn)行Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，則得出：

例2 對(duì)余弦函數(shù)Taylor冪級(jí)數(shù)方式展開(kāi)，并觀察不同階次的擬合程度。

在MATLAB的命令窗口中輸入如下命令集

特別的，當(dāng)函數(shù)在x=0點(diǎn)附近進(jìn)行Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，則得出

其中，每個(gè)系數(shù)ai的確定方法與前面一樣，

ai＝合:

圖2 各階余弦函數(shù)擬合曲線

上圖2得到了余弦函數(shù)各階次的擬合曲線，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，若擬合次數(shù)低，則擬合效果較好的范圍較小，若增加擬合的階次，則擬合程度好的范圍將顯著增加。

2.3 幫助學(xué)生學(xué)習(xí)空間解析幾何

對(duì)于傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)里的空間解析幾何部分教學(xué)，學(xué)生普遍感覺(jué)學(xué)習(xí)吃力，原因是難以想象復(fù)雜空間圖形，更難以作圖。若能正確做出圖形，學(xué)生若“真實(shí)”的看見(jiàn)圖形，則能極大程度上提高學(xué)生理解深度，也就是說(shuō)圖形的有無(wú)是能否解決問(wèn)題的決定性因素之一。

例3 試?yán)L制出二元函數(shù)z=x2+y2+5的圖像。

在MATLAB命令窗口輸入如下命令集合：

結(jié)果圖如下圖3：

圖3 二元函數(shù)示意圖

3 Matlab強(qiáng)大的數(shù)值處理功能的應(yīng)用

不少高等數(shù)學(xué)問(wèn)題理論簡(jiǎn)單但計(jì)算量大，學(xué)生在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往花費(fèi)很多時(shí)間計(jì)算，卻得不出正確結(jié)果，這導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題“望而卻步”，降低學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。應(yīng)用Matlab相關(guān)命令，就能輕松解決繁雜的計(jì)算。

求A矩陣特征值可以直接調(diào)用MATLAB中的 eig（）函數(shù)。

在命令窗口輸入：

從而立刻得到矩陣A的特征值如下：

由上可見(jiàn)，繁雜的計(jì)算在Matlab里只需一條簡(jiǎn)單的命令就能解決，這有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)工具的興趣，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，將數(shù)學(xué)的工具性作用落到實(shí)處。

4 總結(jié)和展望

除了以上列舉的一些典型應(yīng)用，Matlab還可以深入高等數(shù)學(xué)的很多方面。通過(guò)MATLAB形象化、具體化各類(lèi)抽象問(wèn)題、簡(jiǎn)單化繁瑣的計(jì)算，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也能增強(qiáng)學(xué)生編程動(dòng)手能力。既有益于高等數(shù)學(xué)教學(xué)，也有益于編程能力的開(kāi)發(fā)。當(dāng)前的高校各類(lèi)課程教學(xué)，對(duì)教師提出了更高要求，結(jié)合各類(lèi)新興的教學(xué)工具和教學(xué)軟件提高教學(xué)效果，不失為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一條新思路。

[1]薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[2]郭志軍.論高等數(shù)學(xué)中計(jì)算的 MATLAB 實(shí)現(xiàn)[J].中州大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24（4）：116-118.

[3]張愛(ài)華，付宏偉.MATLAB在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].軟件導(dǎo)報(bào)，2008，7（6）：161-163.

[4]趙亞男，牛嚴(yán)濤.MATLAB在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，21（4）：54-58.