夏巍巍，牟建華，瞿繼雙，傅志民

（第二炮兵裝備研究院，北京 100085）

0 引言

地球自轉(zhuǎn)對(duì)日常生活中的低速地表運(yùn)動(dòng)并無顯著影響，但對(duì)于飛行速度達(dá)到每秒數(shù)千米、射程在幾百乃至上萬公里的彈道導(dǎo)彈而言，則不能忽略自轉(zhuǎn)對(duì)其彈道及射程的影響。通常所說的“東遠(yuǎn)西近”[1]，即指導(dǎo)彈自西向東發(fā)射能獲得更大射程，該表述是否正確、是否具有普適性，需要通過數(shù)學(xué)手段加以分析和驗(yàn)證。文中將對(duì)地球自轉(zhuǎn)在不同彈道條件下影響彈道導(dǎo)彈射程的規(guī)律進(jìn)行分析。

1 基于發(fā)射系的動(dòng)力學(xué)分析

選取發(fā)射系作為參考系對(duì)地球自轉(zhuǎn)影響進(jìn)行分析。其定義如下：坐標(biāo)原點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)固連，x軸在發(fā)射點(diǎn)水平面內(nèi)指向瞄準(zhǔn)方向，y軸垂直于發(fā)射點(diǎn)水平面指向上方，z軸與x、y軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。顯然，發(fā)射坐標(biāo)系為動(dòng)參考系，其相對(duì)慣性坐標(biāo)系以地球自轉(zhuǎn)角速度ωe轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)矢量導(dǎo)數(shù)法則，發(fā)射系下的導(dǎo)彈質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程為[2]：

式中：v為導(dǎo)彈在發(fā)射系下的相對(duì)速度矢量，P、R、Fc、mg分別表示發(fā)動(dòng)機(jī)推力、氣動(dòng)力、控制力和引力；－mωe×（ωe×r）表示離心慣性力；－2mωe×v表示哥氏慣性力。

選取正東、正西射向的兩種典型彈道作為分析對(duì)象。假設(shè)兩條彈道采用相同的動(dòng)力系統(tǒng)和控制程序，則發(fā)動(dòng)機(jī)推力、氣動(dòng)力、控制力、引力、離心慣性力均因射向相反呈對(duì)稱結(jié)構(gòu)，而哥氏慣性力并非如此。如圖1所示，自西向東飛行時(shí)，哥氏慣性力垂直于速度指向彈道上方；自東向西飛行時(shí)，哥氏慣性力垂直于速度指向彈道下方。在哥氏慣性力影響下，兩個(gè)射向的彈道并不完全對(duì)稱。

可以看出，自西向東飛行時(shí)，哥氏慣性力垂直分量Fk⊥始終豎直向上，具有抬高彈道、延長飛行時(shí)間的作用，會(huì)引起射程增大；水平分量Fk∥在升弧段向西，降弧段向東，在升、降弧段飛行時(shí)間相差不大的情況下，將產(chǎn)生向西的位移增量，即減小射程。反之，自東向西飛行時(shí)，哥氏慣性力垂直分量Fk⊥始終豎直向下，具有壓低彈道，縮短飛行時(shí)間的作用，會(huì)引起射程減?。凰椒至縁k∥與自西向東飛行時(shí)一致，升弧段向西，降弧段向東，產(chǎn)生向西的位移增量，即增大射程?？梢姡缡蠎T性力水平分量和垂直分量對(duì)射程的影響是相反的，因而自轉(zhuǎn)對(duì)飛行射程的影響不能一概而論，而是與彈道形狀等因素有關(guān)。

選取飛行彈道的兩種極限情況——豎直上拋運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)為對(duì)象，分析自轉(zhuǎn)對(duì)射程的影響。

豎直上拋運(yùn)動(dòng)無水平速度分量，哥氏慣性力－2mωe×v在上升過程平行于地平面指向西，下降過程平行于地平面指向東，由于豎直上拋運(yùn)動(dòng)上升、下降過程時(shí)間近似相等，則哥氏慣性力將引起落點(diǎn)處偏西的附加位移。

對(duì)于一定高程處的平拋運(yùn)動(dòng)，向東平拋時(shí)，拋體受到的哥氏慣性力豎直向上，將抬高運(yùn)動(dòng)軌跡，增大拋射距離，向西平拋時(shí)，拋體受到的哥氏慣性力豎直向下，將壓低運(yùn)動(dòng)軌跡，減小拋射距離。顯然，在相同的水平速度下，向東平拋將獲得比向西更遠(yuǎn)的拋擲距離，即哥氏慣性力引起落點(diǎn)偏東。

綜合上述分析，初始速度傾角Θ＝90°時(shí)，即做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體，在地球自轉(zhuǎn)的作用下，將產(chǎn)生偏西的水平位移；初始速度傾角Θ＝0°時(shí)，即平拋運(yùn)動(dòng)物體，在地球自轉(zhuǎn)的作用下，將產(chǎn)生偏東的水平位移。對(duì)于彈道導(dǎo)彈，對(duì)射程起決定作用的自由段可以看作初始速度傾角在0°～90°之間的斜拋運(yùn)動(dòng)，地球自轉(zhuǎn)對(duì)其影響將取決于具體彈道形狀，從對(duì)豎直上拋和平拋運(yùn)動(dòng)的分析來看，其規(guī)律可能是：在較小的關(guān)機(jī)點(diǎn)速度傾角下，自轉(zhuǎn)引起落點(diǎn)偏東，而隨著傾角的增大，該影響將由偏東逐漸變?yōu)槠鳌?/p>

圖1 哥氏慣性力示意圖

2 基于慣性系的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

為了驗(yàn)證上述結(jié)論，本節(jié)將選取發(fā)射慣性系進(jìn)行地球自轉(zhuǎn)影響的分析和仿真。該坐標(biāo)系的定義如下：點(diǎn)火時(shí)刻，坐標(biāo)原點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)重合，x軸在發(fā)射點(diǎn)水平面內(nèi)指向瞄準(zhǔn)方向，y軸垂直于發(fā)射點(diǎn)水平面指向上方，z軸與x、y軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系在慣性空間保持不動(dòng)。

以慣性系作為參考系的優(yōu)勢在于，地球自轉(zhuǎn)不會(huì)引起導(dǎo)彈受力的變化，而僅會(huì)對(duì)初始運(yùn)動(dòng)參數(shù)產(chǎn)生影響。具體而言，自轉(zhuǎn)對(duì)彈道的影響主要體現(xiàn)在兩方面：

1）地球自轉(zhuǎn)使導(dǎo)彈具有發(fā)射點(diǎn)牽連初速ve，從而使彈道形狀發(fā)生變化；

2）導(dǎo)彈飛行過程地球持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，將對(duì)落點(diǎn)經(jīng)度產(chǎn)生影響。

本節(jié)將結(jié)合橢圓軌道理論對(duì)該影響進(jìn)行分析和仿真。

2.1 橢圓軌道理論

導(dǎo)彈關(guān)機(jī)后，進(jìn)入無動(dòng)力自由飛行段，在地球?yàn)閳A球的假設(shè)下，僅受到與地心距平方成反比的引力作用，將沿橢圓軌道飛行。在慣性再入方式下，若不考慮再入段氣動(dòng)及其它干擾因素的影響，關(guān)機(jī)點(diǎn)至落點(diǎn)的被動(dòng)段彈道可采用橢圓軌道求解。根據(jù)橢圓軌道理論，橢圓幾何參數(shù)及被動(dòng)段射程和飛行時(shí)間均由關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)（rk、vk、Θk）確定[3]。

為便于表述，引入能量參數(shù)ηk及橢圓通徑P：

圖2 橢圓軌道示意圖

其中，μ為地球引力系數(shù)。

由上述關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)確定的橢圓偏心率為：

長半軸為：

被動(dòng)段射程角βic滿足如下二次方程：

式中，R為地球半徑。記：

則：

被動(dòng)段飛行時(shí)間為：

已知關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)時(shí)，根據(jù)式（8）和式（9）可以計(jì)算被動(dòng)段對(duì)應(yīng)的地心角及飛行時(shí)間。需要指出的是，這里得到的地心角是相對(duì)慣性空間的，若要得到相對(duì)旋轉(zhuǎn)地球的地心角，還需考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。下式給出了旋轉(zhuǎn)地球表面落點(diǎn)經(jīng)緯度及被動(dòng)段射程角的解算方法[4]：

其中：ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度；A0為射擊方位角；λk、φk為關(guān)機(jī)點(diǎn)經(jīng)、緯度；Δλi為被動(dòng)段相對(duì)靜止地球的經(jīng)度增量為落點(diǎn)相對(duì)靜止地球的經(jīng)度、緯度；λc、φc為落點(diǎn)相對(duì)旋轉(zhuǎn)地球的經(jīng)、緯度；βc為被動(dòng)段相對(duì)旋轉(zhuǎn)地球的射程角。此處未考慮地球扁率的影響，在地球?yàn)閳A球時(shí)，被動(dòng)段射程為：

將式（10）第5個(gè)方程中的λk、φk替換為發(fā)射點(diǎn)經(jīng)、緯度λ0、φ0即可求出全彈道射程。

2.2 射程影響機(jī)理分析

彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段射程較短，通常只占全射程的10%以下，在小射程角范圍內(nèi)，水平初速對(duì)彈道高程的影響較小，由此引起的引力變化可以忽略。假設(shè)飛行程序角、發(fā)動(dòng)機(jī)推力及關(guān)機(jī)時(shí)間固化，則主動(dòng)段動(dòng)力學(xué)過程不因地球自轉(zhuǎn)而發(fā)生變化。因此，相對(duì)地球靜止的情形，自轉(zhuǎn)在原運(yùn)動(dòng)軌跡上疊加了水平初速的影響，至關(guān)機(jī)點(diǎn)處的速度、位置為：

關(guān)機(jī)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化使被動(dòng)段橢圓彈道形狀發(fā)生改變，最終引起射程角及飛行時(shí)間的變化，具體可根據(jù)式（8）和式（9）計(jì)算。

另一方面，旋轉(zhuǎn)地球上子午線相對(duì)慣性空間的轉(zhuǎn)動(dòng)也是不可忽略的，將帶來落點(diǎn)處附加經(jīng)度增量－ωe×T，其中T為導(dǎo)彈全程飛行時(shí)間，對(duì)該影響的處理在式（10）中已考慮。

彈道形狀變化及子午線轉(zhuǎn)動(dòng)的綜合作用決定了地球自轉(zhuǎn)引起的導(dǎo)彈射程變化，下文將采用數(shù)值仿真方法進(jìn)行分析。

2.3 數(shù)值仿真

選取慣性再入的某型號(hào)中程彈道導(dǎo)彈作為仿真試驗(yàn)原型，固化發(fā)射點(diǎn)位和主動(dòng)段動(dòng)力學(xué)過程，按照上文中分析的影響模式，計(jì)算東、西射向下的射程和飛行時(shí)間。仿真過程做了如下簡化：

1）不考慮再入段氣動(dòng)力影響，被動(dòng)段全程按橢圓軌道計(jì)算；

2）假設(shè)地球?yàn)閳A球，不考慮引力諧分量的動(dòng)力學(xué)影響和扁率引起的幾何影響。

假設(shè)地球無自轉(zhuǎn)的條件下，關(guān)機(jī)點(diǎn)慣性系速度傾角Θk＝33°，全程飛行時(shí)間為T0，射程為L0。在地球自轉(zhuǎn)的實(shí)際情形下，向東發(fā)射和向西發(fā)射的射程變化仿真結(jié)果如表1所示：

表1 某中程導(dǎo)彈不同射向下的射程變化情況

可以看出：在上述彈道下，向東發(fā)射時(shí)能夠獲得更大射程，即牽連初速引起的射程增大較之落點(diǎn)經(jīng)度變化造成的射程損失更為顯著。但該結(jié)論是否適用于其它彈道條件，還需加以考核。

為分析不同彈道條件下地球自轉(zhuǎn)對(duì)射程的影響，在上述彈道基礎(chǔ)上，固化關(guān)機(jī)點(diǎn)速度大小，對(duì)速度傾角進(jìn)行調(diào)整，構(gòu)造出不同形狀的彈道序列，對(duì)地球自轉(zhuǎn)條件下飛行時(shí)間和射程相對(duì)無自轉(zhuǎn)情形的變化情況進(jìn)行仿真計(jì)算。圖3列出了自轉(zhuǎn)對(duì)射程和飛行時(shí)間的影響隨關(guān)機(jī)點(diǎn)速度傾角變化的曲線，其中實(shí)線表示射向正東、虛線表示射向正西。

可以看出，與自轉(zhuǎn)同方向發(fā)射時(shí)的飛行時(shí)間長于與自轉(zhuǎn)反方向發(fā)射，但在不同的關(guān)機(jī)點(diǎn)速度傾角下，地球自轉(zhuǎn)對(duì)射程的影響量值并不相同，且隨著傾角增大，極性也發(fā)生了變化。具體而言：小速度傾角條件下，與自轉(zhuǎn)同方向發(fā)射能夠獲得更大射程，即自轉(zhuǎn)引起落點(diǎn)偏東；隨著速度傾角增大至約50°～60°，與自轉(zhuǎn)反方向發(fā)射能獲得更大射程，即自轉(zhuǎn)引起落點(diǎn)偏西，該結(jié)論與基于發(fā)射系的分析結(jié)果相一致。

圖3 地球自轉(zhuǎn)對(duì)某中程導(dǎo)彈飛行時(shí)間及射程的影響

根據(jù)橢圓軌道理論，對(duì)應(yīng)最大射程的最佳關(guān)機(jī)點(diǎn)速度傾角小于45°，因此，就發(fā)揮射程能力而言，與自轉(zhuǎn)同方向發(fā)射更為有利。

3 結(jié)論

通過發(fā)射系下的動(dòng)力學(xué)分析和慣性系下的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，總結(jié)了不同彈道形狀下地球自轉(zhuǎn)對(duì)彈道導(dǎo)彈射程影響的變化規(guī)律：低彈道條件下，向東發(fā)射射程更大，而隨著關(guān)機(jī)點(diǎn)速度傾角增大到某一臨界值，向西發(fā)射將獲得更大射程。但對(duì)應(yīng)導(dǎo)彈最大射程的最佳速度傾角往往小于該臨界值，因此，盡管地球自轉(zhuǎn)對(duì)某條具體彈道的影響并不確定，但自西向東發(fā)射對(duì)增大導(dǎo)彈的最大射程能力更為有利。

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