方曉玲 ，周 健 ，劉樹德

(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601；2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，安徽 蕪湖 241000）

1 引 言

奇異攝動(dòng)理論和方法是當(dāng)前解決工程技術(shù)和科學(xué)問題的主要數(shù)學(xué)工具之一，在天體力學(xué)、流體力學(xué)、量子力學(xué)、彈性力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)理論、燃燒理論、光的傳播和非線性振動(dòng)等學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，[1-7]例如 Willams，[1]章國華和 Howes[4]討論了幾類出現(xiàn)在燃燒理論中的奇攝動(dòng)Dirichlet問題。

本文在此基礎(chǔ)上考慮如下形式的奇攝動(dòng)Robin問題

其中y為燃燒火焰的密度，ε為反應(yīng)速度的擴(kuò)散率，它是一個(gè)正的小參數(shù)，t為燃燒位置，A≥2和B≥1為常數(shù)，n≥1為正整數(shù)。

我們通過選取適當(dāng)?shù)木哂羞吔鐚有再|(zhì)和角層性質(zhì)的函數(shù)構(gòu)造出一對(duì)界定函數(shù)，應(yīng)用微分不等式理論證明問題(1)-(3)存在具有角層性質(zhì)的解，并給出解的漸近估計(jì)，為此需要用到如下引理。

引理[4]： 考慮二階非線性常微分方程Robin問題)))

其中函數(shù) f在區(qū)域 D=[a，b]×R2中連續(xù)， f(t，y，z)=O （|z|2） （（|z|） →+∞）。 p，q 是 非 負(fù) 常 數(shù)且不同時(shí)為零。 假設(shè)存在函數(shù) α(t)，β(t)∈C2[a，b]使得

及微分不等式

則問題(4)-(6)在區(qū)間[a，b]上存在一個(gè)解 y=y(t)，并成立不等式

α(t)，β(t)通常稱為問題(4)-(6)的一對(duì)界定函數(shù)。1968年Jackson[8]減弱了對(duì)界定函數(shù)的要求：若在[a，b]上存在分劃{t}：a=t0＜t1＜…＜tn=b，使得 α，β∈C2[ti-1，ti](i=1，2，…，n)（在左、右端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)分別指右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)），即 α（t），β（t）為[a，b]上分段 C2類函數(shù)，且在

其中K2為確定的常數(shù)。當(dāng)t0=0時(shí)，(10)寫為

及

則引理的結(jié)論仍成立。

2 構(gòu)造具有邊界層和角層性質(zhì)的函數(shù)

由于退化解u(t)=|t|的導(dǎo)數(shù)在t=0處有躍度u'(0+)-u'(0-)=2，需要在t=0處構(gòu)造具有角層性質(zhì)的函數(shù)。在(14)中令

當(dāng)反應(yīng)率ε=0時(shí)，問題(1)-(3)退化方程

可得

于是

從而得到

有解 u1=-t和 u2=t。選取方程(7)在[-1，1]上的一個(gè)穩(wěn)定解 u(t)=|t|。

助方程

方程(8)在I上具有如下形式的代數(shù)型漸近角層解

其中C為任意常數(shù)，λ，μ是與t0有關(guān)的常數(shù)。將(9)代入(8)得

它是一個(gè)在t=0處具有角層性質(zhì)的函數(shù)。

從而得出

3 解的存在性及解的漸近估計(jì)

于是

應(yīng)用微分不等式理論，我們來證明解的存在性，并給出解的漸近估計(jì)。

定理：設(shè) A≥2，B≥1，則燃燒問題(1)-(3)在[-1，1]上存在一個(gè)解y(t，ε)具有如下形式的漸近估計(jì)式：

當(dāng) t0=-1 時(shí)，(10)寫為

注意到問題(1)-(3)的解與(7)的穩(wěn)定解u(t)=|t|在

令

由(11)得

其中 0＜ε＜＜1，n≥1 為正整數(shù)。

證明：構(gòu)造界定函數(shù) α(t，ε)和 β(t，ε)如下

其中 L(t，ε)，R(t，ε)和 M(t，ε)分別由(12)，(13)和(15)確定，r為待定的正常數(shù)。由(17)可知

且容易推出

于是

選擇 r≥σ，便有

同理可得

接著我們證明在 t∈(-1，0)∪（0.1）上

事實(shí)上，由于

可得

即(22)成立。

注意到函數(shù) α(t，ε)和 β(t，ε)在 t=0 不可導(dǎo)，但顯然成立

根據(jù)引理及Jackson[8]推廣的微分不等式理論，從(18)-(23)推出，對(duì)充分小的正數(shù) ε，問題(1)-(3)在[-1，1]上存在一個(gè)解 y(t，ε)，并滿足不等式

因此漸近估計(jì)式(16)成立，定理證畢。

[1]Willams，F(xiàn).A.Theory of combustion in laminar flows[J].Ann Rev Fluid Mech，1971，3:171-188.

[2]江濤，劉樹德.一類出現(xiàn)在化學(xué)反應(yīng)器理論中的奇攝動(dòng)邊值問題[J].黃山學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，13（5）：13-15.

[3]Nayfeh，H，Introduction for Perturbation Techniques[M].New York:John Wiley&Sons，1981:394-432.

[4]Chang K.W，and Howes F.A Nonlinear Singular Perturbation Problems：Theory and Applications[M].New York:Spring Verlag，1984:153-208.

[5]林宗池，周明儒.應(yīng)用數(shù)學(xué)中的攝動(dòng)方法[M].南京:江蘇教育出版社，1995:123-126.

[6]de Jager，E.M.and Jiang Furu，The Theoy of Singular Perturbations[M].Amsterdam:Elsvier.1996:276-291.

[7]劉樹德，魯世平，姚靜蓀，等.奇異攝動(dòng)邊界層和內(nèi)層理論[M].北京：科學(xué)出版社，2012:124-151.

[8]Jackson，L K，Subfunctions and Second-Order Ordinary Differential Inequalities[J].Adv in Math，1968，(2):307-363.