吳寶海 韓飛燕 楊建華 秦 濤

1.西北工業(yè)大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安，710072

2.西安航空發(fā)動(dòng)機(jī)(集團(tuán))有限公司，西安，710021

0 引言

自由曲面葉輪廣泛應(yīng)用于航空、航天等領(lǐng)域，它工作轉(zhuǎn)速高、形狀復(fù)雜、加工精度高，而葉輪流道型面的加工精度對(duì)整機(jī)性能有著重要的影響。目前國內(nèi)外自由曲面葉輪大多采用五軸聯(lián)動(dòng)的加工方式進(jìn)行加工［1］，但五軸機(jī)床價(jià)格昂貴，而且我國許多葉輪生產(chǎn)廠家仍有大量四軸設(shè)備，從加工成本和生產(chǎn)實(shí)際情況考慮，研究葉輪的四軸數(shù)控加工方法對(duì)于開發(fā)現(xiàn)有設(shè)備的加工潛力、降低葉輪加工成本有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在流道加工中，由于刀具伸入葉輪長(zhǎng)度最大，同時(shí)還要避免刀具與葉片壓力面和吸力面的干涉，因此，流道加工的刀軸控制是自由曲面葉輪加工中最為關(guān)鍵的內(nèi)容。與五軸加工中刀軸為一自由矢量相比，四軸加工的刀軸被約束在其擺刀平面上，因此，葉輪流道四軸加工中刀軸控制更加困難，刀軸控制直接決定了葉輪四軸加工的可能性、加工質(zhì)量和效率。許多學(xué)者針對(duì)自由曲面［2-4］的刀軸控制方法開展了大量研究，而針對(duì)自由曲面葉輪流道加工刀軸控制方法的研究甚少。文獻(xiàn)［5］通過對(duì)流道兩側(cè)葉片壓力面和吸力面相應(yīng)的精加工刀軸矢量進(jìn)行線性插值得到流道粗加工的刀軸矢量，但該方法無法保證刀軸在整個(gè)流道加工切削軌跡上光滑過渡。文獻(xiàn)［6］提出了一種新的側(cè)刃銑削五軸加工葉輪流道刀軌生成算法，該算法通過設(shè)置刀軸矢量變化的閾值并采用集合碰撞體，實(shí)現(xiàn)了刀軸的全局碰撞快速檢查，但該方法并未涉及干涉后刀軸的修正問題。文獻(xiàn)［7］借鑒動(dòng)畫制作中設(shè)置關(guān)鍵幀的思想，提出了一種新的全局過渡光滑的刀軸矢量生成方法，該方法需要在干涉位置重復(fù)插入關(guān)鍵刀軸來修正干涉，降低了算法速度。上述刀軸控制方法僅適用于五軸加工，對(duì)于四軸加工，文獻(xiàn)［8-9］開展了相關(guān)研究，但都是基于曲面的局部信息，計(jì)算出每一個(gè)切觸點(diǎn)處無干涉的刀軸，沒有考慮相鄰刀軸矢量之間的光滑過渡問題。文獻(xiàn)［8］在一組錐形面矢量組中，求取與由曲面局部信息計(jì)算出的刀軸矢量最相近的矢量作為最終刀軸，該方法可能會(huì)出現(xiàn)修正后仍無法避免干涉的刀軸。文獻(xiàn)［9］利用兩個(gè)圓錐面求交集并結(jié)合葉輪加工的特點(diǎn)給出了非正交四軸加工刀軸矢量的確定方法，該方法的缺點(diǎn)是初始后跟角的取值對(duì)算法收斂性影響較大。

本文針對(duì)自由曲面葉輪流道非正交四軸加工的刀軸控制，提出在約束刀軸的單位圓錐面上，由流道兩側(cè)相應(yīng)的清根刀軸來旋轉(zhuǎn)插值流道加工的刀軸矢量的方法。

1 非正交四軸加工刀軸約束面的建立

在自由曲面葉輪的四軸加工中，為了增加葉輪的加工開敞性、減小刀具深入流道的長(zhǎng)度以降低碰撞干涉發(fā)生的可能性，需將工作臺(tái)傾斜一定的角度，使四軸機(jī)床成為非正交四軸機(jī)床，如圖1所示。

圖1 帶傾斜回轉(zhuǎn)工作臺(tái)的四軸加工示意圖

圖1中，機(jī)床的平動(dòng)坐標(biāo)軸為 XM、YM、ZM，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為繞工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)。工作臺(tái)繞XM軸旋轉(zhuǎn)角度α后，工作臺(tái)的回轉(zhuǎn)軸線變?yōu)镽軸，不再與機(jī)床的平動(dòng)坐標(biāo)軸重合。在刀具軌跡規(guī)劃中，工作臺(tái)的旋轉(zhuǎn)可看作是刀軸繞回轉(zhuǎn)軸R的擺動(dòng)，因此，刀軸矢量不再被約束在常規(guī)四軸加工的擺刀平面內(nèi)，而是被約束在以回轉(zhuǎn)軸 R為軸，π/2－α為半頂角的圓錐面上，所以滿足該四軸機(jī)床約束條件的所有刀軸就位于一系列回轉(zhuǎn)軸線平行于R，半頂角為π/2－α的圓錐面上。研究該非正交四軸加工的核心問題即是如何在這一系列圓錐面上確定合適的刀軸矢量以實(shí)現(xiàn)對(duì)給定曲面的加工。

基于此，在工件坐標(biāo)系下建立以原點(diǎn)OW為頂點(diǎn)，回轉(zhuǎn)軸線R為軸，π/2－α為半頂角的單位圓錐作為刀軸約束面，如圖2所示，使?jié)M足約束條件的刀軸矢量經(jīng)過平移后都位于該單位圓錐面上，從而將四軸機(jī)床加工的核心問題轉(zhuǎn)化為如何在單位圓錐面上確定合適刀軸的問題。

圖2 單位圓錐母線繞回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)示意圖

在工件坐標(biāo)系OWXWYWZW中，回轉(zhuǎn)軸線R的初始矢量為(0，0，1)，繞YW軸旋轉(zhuǎn)角度α后回轉(zhuǎn)軸矢量R的表達(dá)式為

單位圓錐面S的表達(dá)式為

2 清根刀軸的確定

從幾何構(gòu)造的角度考慮，離心葉輪流道是由葉片葉根曲線繞軸線旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面，因此，流道加工的軌跡分布及刀軸也可由清根軌跡及刀軸通過插值的方式獲得。本文首先計(jì)算清根切觸點(diǎn)的初始刀軸，然后將初始刀軸向單位圓錐面投影，再將投影矢量在圓錐表面上旋轉(zhuǎn)修正來計(jì)算各個(gè)切觸點(diǎn)處無干涉的清根刀軸。

2.1 清根初始刀軸的計(jì)算

在流道加工中，初始刀軸的選取應(yīng)盡量保證實(shí)際加工中刀具深入流道的長(zhǎng)度最短，且在切削軌跡上盡量均勻變化。根據(jù)上述原則，清根初始刀軸的確定如圖3所示。假設(shè)清根切觸軌跡C1已知，C1i為C1上第i個(gè)切觸點(diǎn)，L為葉片壓力面Sp的葉頂線，在流道進(jìn)出口位置，為了保證仍能得到合適的初始刀軸，將L沿其切向延長(zhǎng)一段距離，按照點(diǎn)到曲線的距離計(jì)算出垂足pc，連接垂足pc與切觸點(diǎn)C1i作為初始刀軸。本文定義切觸點(diǎn)C1i處的初始刀軸為l0i=pc－ C1i，l01、l0n分別為流道進(jìn)出口切觸點(diǎn)處的初始刀軸矢量。

圖3 初始刀軸示意圖

2.2 無干涉清根刀軸的計(jì)算

流道清根初始刀軸可能不滿足非正交四軸加工的刀軸約束條件，即不在刀軸約束面上，因此，需將初始刀軸平移至單位圓錐頂點(diǎn)后向圓錐表面S投影，并在圓錐面上進(jìn)行碰撞干涉的檢測(cè)與修正，使投影后的初始刀軸滿足刀軸約束條件且無干涉。初始刀軸平移至圓錐頂點(diǎn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)三種情況:第一種是平移后的矢量l0在圓錐外部(圖4a);第二種是平移后的矢量l0在圓錐內(nèi)部(圖4b);第三種是平移后的矢量在圓錐表面S上，這種情況不需計(jì)算。下面計(jì)算平移后的初始刀軸在圓錐內(nèi)部和外部時(shí)向圓錐表面投影后得到的刀軸矢量。

圖4 初始刀軸投影示意圖

由幾何學(xué)知識(shí)可知，矢量l0在單位圓錐面S上投影的刀軸矢量即為過矢量l0與回轉(zhuǎn)軸R構(gòu)成的平面S0與單位圓錐面S的交線OP與OP'。由解析幾何知識(shí)可知:

且P點(diǎn)為單位圓錐圓周上的點(diǎn)，因此

假設(shè)OP 為(x，y，z)，矢量 l0為(l0x，l0y，l0z)，那么聯(lián)立式(2)～式(4)，得

其中，l0、α 已知，且 z∈ (0，sin2α)，由式(5)可求出兩個(gè)刀軸矢量(x1，y1，z1)和(x2，y2，z2)，記為l1、l2。如圖4所示，這種情況下得到兩個(gè)刀軸矢量l1和l2在數(shù)學(xué)上均滿足四軸加工的條件，而在實(shí)際加工中只有一個(gè)刀軸矢量是合理的，文獻(xiàn)［9］給出了如何在l1、l2中選取合理的刀軸矢量的判斷方法。

圖5 合理刀軸矢量的選取

選取的合理刀軸矢量雖滿足刀軸約束條件，但仍可能會(huì)與流道兩側(cè)葉片發(fā)生碰撞干涉，因此需對(duì)其進(jìn)行干涉檢查及修正。干涉檢查可采用基于距離監(jiān)視的方法［10］，而刀軸的修正可通過調(diào)整刀軸在單位圓錐面上的位置來實(shí)現(xiàn)(如圖5所示，若選取的合理刀軸矢量l1發(fā)生干涉，可以將l1繞單位圓錐回轉(zhuǎn)軸R朝向遠(yuǎn)離干涉曲面的方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度)。

3 流道加工刀軸的確定

在葉輪流道兩側(cè)清根刀軸確定的情況下，流道加工刀軸的計(jì)算可采用矢量插值的方法。為滿足非正交四軸機(jī)床的刀軸約束條件，本文采用在刀軸約束面上旋轉(zhuǎn)插值清根刀軸矢量的方法來計(jì)算流道加工刀軸矢量，并采用機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化方法對(duì)流道加工同一個(gè)切削行上的刀軸進(jìn)行了光順處理。

3.1 流道清根切觸軌跡的對(duì)應(yīng)處理

采用本文方法計(jì)算流道加工的刀軸時(shí)，首先要保證流道兩側(cè)清根軌跡上的切觸點(diǎn)數(shù)目是相等的，且序列號(hào)相同的切觸點(diǎn)應(yīng)該在同一個(gè)流道周向回轉(zhuǎn)圓周上，這樣兩條清根軌跡上的切觸點(diǎn)才是一一對(duì)應(yīng)的，才能使插值后的周向刀軸在同一個(gè)回轉(zhuǎn)圓周上連續(xù)變化。而在流道加工中，由于流道曲面不是規(guī)則曲面，因此流道兩側(cè)清根軌跡線上切觸點(diǎn)數(shù)目可能不相同。按照切觸點(diǎn)序列依次旋轉(zhuǎn)插值流道周向刀軸時(shí)，序列號(hào)相同的切觸點(diǎn)在流道曲面上的位置就可能不在同一個(gè)圓周上，而在數(shù)控加工中，不同切觸點(diǎn)處的刀軸矢量是不同的。在這種情況下，需對(duì)清根軌跡上的切觸點(diǎn)進(jìn)行對(duì)應(yīng)處理，使清根軌跡具有相同的切觸點(diǎn)數(shù)目，且序列號(hào)相同的切觸點(diǎn)位于同一個(gè)回轉(zhuǎn)圓周上。

假設(shè)流道清根切觸軌跡分別為C1、C2，在C1、C2中選取切觸點(diǎn)較多的那條作為基準(zhǔn)線，并計(jì)算與之一一對(duì)應(yīng)的另一條清根切觸軌跡。若C1為基準(zhǔn)線，延長(zhǎng)C2。計(jì)算C1上某一點(diǎn)C1i到葉輪回轉(zhuǎn)軸R 的距離為 di，建立 di、nt、C2、R 與曲線 C2對(duì)應(yīng)的參數(shù)ui的映射關(guān)系:

其中，nt是C2的切觸點(diǎn)數(shù)目，R是葉輪回轉(zhuǎn)軸。得到ui后可以在C2中找到一個(gè)與C1i具有相同回轉(zhuǎn)半徑di的切觸點(diǎn)C2i，依次重新計(jì)算出一條與C1一一對(duì)應(yīng)的清根軌跡C2，如圖6所示。則由對(duì)應(yīng)處理后的C1、C2計(jì)算的清根刀軸，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)插值后得到的流道周向刀軸是在同一個(gè)流道回轉(zhuǎn)圓周上連續(xù)變化的。

圖6 對(duì)應(yīng)清根軌跡計(jì)算示意圖

3.2 旋轉(zhuǎn)插值方法

為滿足非正交四軸機(jī)床的刀軸約束條件，可采用旋轉(zhuǎn)插值的方法根據(jù)清跟刀軸和流道加工軌跡線確定流道加工的刀軸分布。旋轉(zhuǎn)插值方法的原理是將刀軸矢量繞單位圓錐回轉(zhuǎn)軸R沿插值方向旋轉(zhuǎn)，插值區(qū)域是清根刀軸在圓錐面上確定的扇形曲面區(qū)域，旋轉(zhuǎn)插值的方向和角度根據(jù)清根軌跡上對(duì)應(yīng)切觸點(diǎn)處的刀軸矢量在單位圓錐面上的位置來計(jì)算。因此，旋轉(zhuǎn)插值方法可以保證插值后的矢量都位于刀軸約束面上，且均勻變化。

由上述方法計(jì)算出的清根刀軸矢量滿足刀軸約束條件，平移到單位圓錐頂點(diǎn)后仍位于圓錐表面上，相當(dāng)于一條圓錐母線。平移后的刀軸繞圓錐回轉(zhuǎn)軸R的旋轉(zhuǎn)過程，可看作矢量繞過原點(diǎn)的空間任意軸線的旋轉(zhuǎn)過程。如圖2所示，根據(jù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的旋轉(zhuǎn)變換方法，矢量l繞R軸旋轉(zhuǎn)θ角后的矢量為

這種插值方法不僅保證了流道加工的刀軸矢量位于非正交四軸機(jī)床的刀軸控制面上，而且能保證插值后的刀軸完全位于流道壓力面、吸力面清根刀軸所圍成的空間內(nèi)。因此，只要流道兩側(cè)清根刀軸無干涉，就能保證插值獲得的流道加工刀軸不會(huì)與相鄰葉片發(fā)生碰撞干涉，從而避免了對(duì)流道加工刀具碰撞干涉的檢查及修正。

3.3 旋轉(zhuǎn)角度及插值方向的確定

如圖 7 所示，Ti，1、Ti，n分別為流道兩側(cè)清根軌跡C1、Cn上第i個(gè)切觸點(diǎn)對(duì)應(yīng)的清根刀軸，M、N分別為 Ti，1、Ti，n與單位圓錐圓周線的交點(diǎn)。清根刀軸Ti，1與Ti，n在單位圓錐面S上確定的曲面區(qū)域?yàn)镾1，曲面S1在圓錐圓周線上對(duì)應(yīng)的曲線段為MN，MN在圓錐頂面上確定了一個(gè)圓心角θi，θi就是 Ti，1和 Ti，n在圓錐上確定的圓心角，也就是清根刀軸 Ti，1和Ti，n之間旋轉(zhuǎn)插值的總角度。

圖7 插值方向示意圖

第i行第j列的葉輪周向刀軸Ti，j對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)插值角度為

其中，sign(θ)是與刀軸旋轉(zhuǎn)方向有關(guān)的系數(shù)，n是流道加工切削行數(shù)目，m是一條切削行軌跡上的切觸點(diǎn)數(shù)目。

在葉輪流道加工中，本文定義清根刀軸Ti，1、Ti，n之間的插值方向?yàn)橛?Ti，1變換到 Ti，n時(shí)的旋轉(zhuǎn)方向。因此，如果(Ti，1× Ti，n)·R ＞ 0，說明 Ti，1在 Ti，n左側(cè)(圖 7a)，插值方向?yàn)橛?Ti，1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 Ti，n;如果(Ti，1× Ti，n)·R ＜ 0，說明 Ti，1在Ti，n右側(cè)(圖 7b)，插值方向?yàn)橛?Ti，1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 Ti，n。

因此，在確定旋轉(zhuǎn)角度及插值方向后，流道第i 行第 j列的刀軸矢量 Ti，j可以由 Ti，1、Ti，n、θi，j代入式(10)來計(jì)算。由于流道周向的旋轉(zhuǎn)插值角度θi，j是均勻變化的，所以對(duì)應(yīng)切觸點(diǎn)處的刀軸旋轉(zhuǎn)插值后得到的周向刀軸矢量 Ti，j也是連續(xù)變化的。

3.4 流道加工切削行內(nèi)相鄰刀軸的光順

采用上述方法計(jì)算的刀軸矢量，只能保證在每一個(gè)切觸點(diǎn)處流道周向刀軸是無干涉且連續(xù)變化的，而不能保證同一個(gè)切削行內(nèi)相鄰刀軸矢量之間是光滑過渡的。因此，需要對(duì)同一個(gè)切削行內(nèi)的刀軸再進(jìn)行光順處理。

對(duì)于圖1所示非正交四軸機(jī)床，刀軸只有一個(gè)繞回轉(zhuǎn)軸R的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，當(dāng)?shù)遁S繞R相對(duì)初始刀軸位置(如圖1所示，在該四軸機(jī)床中，初始刀軸位置為主軸位置(0，0，1)，其在工件坐標(biāo)系下為(1，0，0))轉(zhuǎn)動(dòng)θ后，就與初始刀軸在約束刀軸的圓錐上確定一個(gè)圓心角θ，因此對(duì)相鄰刀軸的光順可以通過約束相鄰刀軸之間的圓心角來實(shí)現(xiàn)，即

其中，δθ表示刀具由切觸點(diǎn)Ci運(yùn)動(dòng)到切觸點(diǎn)Ci+1時(shí)，刀軸由Ti(θi)變換到Ti+1(θi+1)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，λθ為圖1所示機(jī)床工作臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的速度約束值，vi為當(dāng)前切觸點(diǎn)的進(jìn)給速度，本文中假定加工時(shí)刀具的進(jìn)給速度恒定。

4 算例分析

為驗(yàn)證本文方法的正確性與有效性，以圖8所示自由曲面葉輪為研究對(duì)象進(jìn)行了驗(yàn)證。該葉輪高度為 250mm，內(nèi)徑為 372mm，外徑為1130mm，具有22個(gè)等長(zhǎng)葉片，流道最窄處寬度為49.775mm，葉片型面為空間扭曲自由曲面且最大高度為275mm。與直紋面三元葉輪相比，自由曲面葉輪沿葉片高度方向扭曲更為嚴(yán)重，且在葉片壓力面?zhèn)却嬖趦?nèi)凹現(xiàn)象，導(dǎo)致刀軸控制更加困難。

圖9、圖10分別為采用本文方法生成的清根軌跡與流道一條切削軌跡上的刀軸分布圖，圖11所示為流道周向插值的刀軸分布。由圖9～圖11可知，本文方法獲得的流道加工切削行軌跡上的刀軸及其周向插值的刀軸都是連續(xù)變化的。

圖8 葉輪示意圖

圖9 流道清根刀軸示意圖

圖10 流道一條切削軌跡刀軸示意圖

圖11 流道周向刀軸示意圖

對(duì)于非正交四軸加工來說，每個(gè)切觸點(diǎn)處的刀軸矢量唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)繞單位圓錐回轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角度。如果切削行軌跡上刀軸矢量是平滑變化的，那么它繞回轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)該是連續(xù)變化的。由此可知，流道加工中刀軸對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度在一個(gè)切削行內(nèi)是連續(xù)變化的。在非正交四軸機(jī)床實(shí)際加工過程中，刀軸矢量繞回轉(zhuǎn)軸R的旋轉(zhuǎn)是通過機(jī)床工作臺(tái)的旋轉(zhuǎn)來完成的。相鄰刀軸矢量之間旋轉(zhuǎn)角度的增量變化情況會(huì)影響機(jī)床工作臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的平穩(wěn)性。在一個(gè)切削行軌跡上刀軸的旋轉(zhuǎn)角度連續(xù)變化并不能說明相鄰刀軸的旋轉(zhuǎn)角度就不會(huì)產(chǎn)生劇烈變化。

圖12、圖13分別為清根刀軸和流道一條切削軌跡上相鄰刀軸之間的旋轉(zhuǎn)角度增量變化圖。由圖可知，這兩條切削行軌跡上相鄰刀軸對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度最大變化量分別為3.512°和1.569°。由此可見，流道切削行軌跡上相鄰刀軸的旋轉(zhuǎn)角度無劇烈變化，這意味著在流道加工過程中機(jī)床工作臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)較為平穩(wěn)，在一定程度上確保了機(jī)床運(yùn)行的穩(wěn)定性，從而保證了加工的精度。

圖12 流道壓力面清根刀軸旋轉(zhuǎn)角度增量變化圖

圖13 流道一條切削軌跡上刀軸旋轉(zhuǎn)角度增量變化圖

本文方法適用于流道開敞性相對(duì)較好的自由曲面、直紋面類型的三元離心葉輪的加工，包括長(zhǎng)葉片和長(zhǎng)短葉片兩種形式。對(duì)于流道開敞性較差的離心葉輪，可通過旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)傾斜角度的優(yōu)化和調(diào)整實(shí)現(xiàn)其四軸加工，也可通過增加分度機(jī)構(gòu)進(jìn)一步增強(qiáng)四軸機(jī)床加工離心葉輪的能力。對(duì)于葉片稠度大且扭曲嚴(yán)重的離心葉輪，仍然需要五軸聯(lián)動(dòng)加工設(shè)備進(jìn)行加工。

5 結(jié)論

(1)依據(jù)非正交四軸機(jī)床特性，建立滿足刀軸約束條件的單位圓錐，在該單位圓錐面上旋轉(zhuǎn)插值刀軸的控制方法簡(jiǎn)單易行。

(2)本文通過對(duì)一個(gè)等長(zhǎng)葉片形式的自由曲面葉輪流道加工的刀軸控制進(jìn)行具體計(jì)算，算例分析結(jié)果表明，本文方法可以獲得葉輪流道非正交四軸加工既無干涉又較為均勻變化的刀軸矢量，并且能夠保證加工過程中機(jī)床的運(yùn)行較為平穩(wěn)。

(3)本文方法可以準(zhǔn)確、有效地解決等長(zhǎng)葉片形式的自由曲面葉輪流道非正交四軸加工中刀軸矢量的控制問題，同樣也適用于長(zhǎng)短葉片形式的自由曲面葉輪加工。與五軸加工相比，本文方法更具實(shí)用性和經(jīng)濟(jì)性。

(4)通過對(duì)工作臺(tái)傾斜角度的優(yōu)化選取，可以進(jìn)一步發(fā)掘四軸機(jī)床加工自由曲面葉輪的能力。

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