李 光，隨陽軼，劉麗敏，林 君

（吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130026）

0 引言

根據(jù)磁場(chǎng)的疊加原理，磁偶極子作為最基本的磁單元，目前已被廣泛應(yīng)用于磁性目標(biāo)的建模及定位當(dāng)中［1－6］。Wynn于1971年提出了利用磁張量對(duì)磁偶極子進(jìn)行定位跟蹤的算法［2］。磁張量方法具有很多磁總場(chǎng)、磁矢量方法所沒有的優(yōu)點(diǎn)如受磁化方向影響小、具有較多的細(xì)節(jié)能夠用于三維定量反演解釋等，在軍事、環(huán)境、資源勘探等方面有著廣闊的應(yīng)用前景［7］。常規(guī)采用單點(diǎn)測(cè)量的磁場(chǎng)矢量及磁張量數(shù)據(jù)對(duì)磁偶極子進(jìn)行定位的方法，由文獻(xiàn)［8—10］分別得出，與其他定位方法相比只需要單點(diǎn)觀測(cè)即可達(dá)到定位的目的，能夠減少解的非唯一性，不需要增加更多的觀測(cè)量［11］，卻受地磁場(chǎng)干擾大，極大地限制了其應(yīng)用范圍［5］。基于此，本文提出了基于差分的消除地磁場(chǎng)干擾的磁偶極子單點(diǎn)張量定位方法。

1 單點(diǎn)磁張量定位

磁場(chǎng)的三個(gè)分量 （Bx，By，Bz）在空間xyz三個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成了磁張量，共包括九個(gè)要素［2］，記為G，表示如下：

在現(xiàn)實(shí)測(cè)量中，可以利用差分來替代微分：

由Maxwell方程可知，B場(chǎng)的散度及旋度為零，即張量矩陣具有無跡性與對(duì)稱性，得：

由文獻(xiàn)［8—10］推導(dǎo)出磁偶極子的位置信息與單點(diǎn)處所測(cè)量的磁場(chǎng)矢量及磁張量之間的線性關(guān)系。通過設(shè)計(jì)出相應(yīng)的磁張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，坐標(biāo)系采用大地坐標(biāo)系即x向?yàn)檎狈较?，y向?yàn)檎龞|方向，z向?yàn)榇怪毕蛳?，在未考慮地磁場(chǎng)干擾的情況下驗(yàn)證了其可行性［4］。

圖1 磁張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of magnetic tensor system

由式（4）可知，在已知某點(diǎn)處磁張量的九個(gè)要素及相應(yīng)的磁偶極子所產(chǎn)生的三分量磁場(chǎng)值Bx，By，Bz就可得到磁偶極子的位置信息，如式（5）所示。

式（5）即為原方法的定位理論，但是由于Bx，By，Bz為磁偶極子在某一點(diǎn)處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)矢量，在地磁場(chǎng)存在的情況下，很難獲得其測(cè)量值，極大地限制了其應(yīng)用范圍，本文通過采用差分的方法，能夠消除地磁場(chǎng)及其他共模干擾，增加了其在現(xiàn)實(shí)探測(cè)中的實(shí)用性。

2 基于差分的單點(diǎn)磁張量定位

為了能夠消除地磁場(chǎng)及其他共模干擾的影響，則必須消除式（5）中磁場(chǎng)矢量項(xiàng)，本文采用差分的方法并設(shè)計(jì)出相應(yīng)的磁張量測(cè)量系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)這一想法。

2.1 磁張量測(cè)量系統(tǒng)

為了便于闡述，本文先給出所設(shè)計(jì)的磁張量系統(tǒng)（如圖2所示），它是由6個(gè)高精度矢量傳感器構(gòu)成，且處于同一平面內(nèi)，相鄰傳感器的間距為d，圖2所示M為磁偶極子的磁矩矢量，r中的rx，ry，rz為定位所要求取的參數(shù)值，所示坐標(biāo)系為大地坐標(biāo)系。

圖2 磁張量系統(tǒng)定位示意圖Fig.2 Positioning Diagram of Magnetic Tensor System

2.2 基于差分的單點(diǎn)張量定位原理

Bxi，Byi，Bzi：第i探頭處磁場(chǎng)分量值，i＝0，…，5。

Bxxi，Bxyi，Bxzi，Byxi，Byyi，Byzi，Bzxi，Bzyi，Bzzi：第i探頭處的9個(gè)張量值，i＝0，…，5。

Bxxxi，Bxyxi，Bxzxi，Byxyi，Byyyi，Byzyi，Bzxzi，Bzyzi，Bzzzi：第i探頭處磁場(chǎng)的三階導(dǎo)數(shù)值，i＝0，…，5。

rx，ry，rz：磁偶極子位置的三個(gè)分量。

式（4）兩邊分別對(duì)x，y，z求導(dǎo)，得：

由方程組（3）可知，Bxyx＝Byxx，Bxzx＝Bzxx，Byxy＝Bxyy，Byzy＝Bzyy，因此可以通過0探頭、1探頭及3探頭得到Bxxx0，Bxyx0，Bxzx0，Bxx0。同理，由0探頭、2探頭及4探頭得到Byxy0，Byyy0，Byzy0，Byy0。以下以0探頭、1探頭及3探頭的x軸分量Bx0，Bx1，Bx3求取Bxxx0，Bxx0為例進(jìn)行說明。

已知0探頭、1探頭及3探頭測(cè)得的磁場(chǎng)x軸分量Bx0＝Bx（x0），Bx1＝Bx（x0－d），Bx3＝Bx（x0＋d）得：

由于Bxx＋Byy＋Bzz＝0可知，式（6）中只有2個(gè)是有效的，取：

由0探頭，1探頭及5探頭所測(cè)得的x軸分量得1探頭處的Bxxx1，Bxyx1，Bxzx1，Bxx1，可知下式成立：Bxxx1rx＋Bxyx1ry＋Bxzx1ry＝－4Bxx1＋Bxxx1d （13）

綜合式（11）、式（12）、式（13），我們能夠得到rx、ry、rz的值：

可以看出式（14）對(duì)式（5）進(jìn)行了改進(jìn)，在式（14）中消除了磁場(chǎng)矢量項(xiàng)，利用差分的方法將式（14）右邊所有的量均轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)矢量的相應(yīng)磁場(chǎng)分量之差，故在大程度上消除了地磁場(chǎng)以及其他共模干擾。

3 仿真及誤差分析

將磁異常體等效成磁偶極子，并放置于坐標(biāo)原點(diǎn)處，磁張量系統(tǒng)處于（10，10，－10）點(diǎn)處，取基線長(zhǎng)度為d＝0.2m。假設(shè)地磁場(chǎng)的總場(chǎng)為50 000nT，取長(zhǎng)春地區(qū)磁傾角、磁偏角分別為I＝60°，D＝－9°。不失一般性，取磁偶極子磁傾角、磁偏角分別為I＝45°，D＝45°。通過分析在不消除地磁場(chǎng)；利用基站消除地磁場(chǎng)，考慮距離的影響；利用基站消除地磁場(chǎng)，考慮系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)造成的影響，對(duì)比原方法與本文方法的定位結(jié)果，并以所得到的rx、ry、rz與理想rx、ry、rz的絕對(duì)誤差進(jìn)行分析。

3.1 不消除地磁場(chǎng)

在不消除地磁場(chǎng)的情況下，認(rèn)為系統(tǒng)中間點(diǎn)處矢量傳感器測(cè)得的磁場(chǎng)為磁偶極子所產(chǎn)生的磁場(chǎng)。磁偶極子的磁矩大小由M＝2×102A·m2到M＝2×104A·m2變化，兩種方法的定位誤差如圖3所示。

圖3 磁矩改變，兩種定位方法的定位誤差Fig.3 Changes in magnetic moment，the positioning error of two positioning methods

由圖3可知，本文提出的定位方法能夠有效地消除地磁場(chǎng)，不受磁矩大小變化的影響，且具有較高的定位精度，rx，ry，rz的定位誤差分別為0.000 4 m，0.000 4m，0.002 2m。原方法的定位誤差會(huì)隨著磁矩的增大而減小，而當(dāng)磁矩大小為M＝2×104A·m2時(shí)，定位誤差也達(dá)到上千米，可見在不消除地磁場(chǎng)的情況下，利用原方法進(jìn)行定位是不可行的。

3.2 消除地磁場(chǎng)，考慮距離的影響

將與磁張量系統(tǒng)相距一定距離的基站測(cè)得的磁場(chǎng)矢量作為地磁場(chǎng)的測(cè)量值，系統(tǒng)中間點(diǎn)處測(cè)得的磁場(chǎng)矢量減去基站所測(cè)得的磁場(chǎng)矢量作為測(cè)得的磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)矢量值，取地磁場(chǎng)總場(chǎng)梯度為0.02nT／m。

當(dāng)磁偶極子磁矩大小為M＝2×103A·m2時(shí)，兩種方法定位誤差受距離變化的影響，如圖4所示。

圖4 距離改變，兩種定位方法的定位誤差Fig.4 Changes in distance，the positioning error of two positioning methods

當(dāng)系統(tǒng)與基站相距1km時(shí)，磁偶極子的磁矩大小由M＝2×102A·m2到 M＝2×104A·m2變化，兩種方法的定位誤差，如圖5所示。

圖5 磁矩改變，兩種定位方法的定位誤差Fig.5 Changes in magnetic moment，the positioning error of two positioning methods

由圖4、圖5可知，本文提出的定位方法不需要利用基站來消除地磁場(chǎng)，不受磁矩大小變化的影響，且具有較高的定位精度，rx，ry，rz的定位誤差分別為0.000 4m，0.000 4m，0.002 2m。而原方法由于受地磁場(chǎng)梯度的影響，在地磁場(chǎng)梯度一定時(shí)，其定位誤差與基站的距離成正比，受磁矩的影響較大，當(dāng)距離為1km，磁偶極子的磁矩大小為M＝2×103A·m2時(shí)，rx，ry，rz的定位誤差分別為－19.965 7 m，10.501 9m，4.297 7m，因此利用基站來消除原方法中地磁場(chǎng)的干擾也是不可行的。

3.3 消除地磁場(chǎng)，考慮系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響

在假設(shè)地磁場(chǎng)梯度為0，利用基站能夠消除地磁場(chǎng)的情況下，考慮系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，姿態(tài)發(fā)生變化，下面以橫滾角的變化為例進(jìn)行說明。

磁偶極子的磁矩大小為M＝2×103A·m2時(shí)，兩種方法的定位誤差受橫滾角的影響，如圖6所示。

圖6 橫滾角變化，兩種定位方法的定位誤差Fig.6 Changes in roll angle，the positioning error of two positioning methods

當(dāng)系統(tǒng)橫滾角為0.05°時(shí)，磁偶極子磁矩大小由M＝2×102A·m2到M＝2×104A·m2變化，兩種方法的定位誤差，如圖7所示。

圖7 磁矩改變，兩種定位方法的定位誤差Fig.7 Changes in magnetic moment，the positioning error of two positioning methods

由圖6、圖7可知，本文提出的定位方法具有較高的定位精度，且不受磁矩大小的影響。系統(tǒng)在地磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，橫滾角變化較小時(shí)，兩種方法的定位誤差均與橫滾角成正比，而原方法的定位誤差受橫滾角及磁矩的影響較大。當(dāng)橫滾角為0.05°，磁偶極子的磁矩大小為M＝2×103A·m2時(shí)，原方法求取的rx，ry，rz定位誤差分別為54.201 5m，－46.415 1 m，13.802 0m，而本文方法求取的rx，ry，rz定位誤差分別為0.418 2m，－0.596 6m，－0.428 4m，可見原方法在地磁場(chǎng)存在的情況下，基本無法在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上應(yīng)用。

4 結(jié)論

本文通過對(duì)原單點(diǎn)磁張量定位中利用磁場(chǎng)矢量及磁張量數(shù)據(jù)進(jìn)行磁偶極子定位的方法進(jìn)行改進(jìn)，提出基于差分消除地磁場(chǎng)干擾的磁偶極子單點(diǎn)磁張量定位方法，進(jìn)而設(shè)計(jì)出基于該定位方法的磁張量測(cè)量系統(tǒng)。通過仿真可知，在地磁場(chǎng)存在的情況下原方法基本無法實(shí)現(xiàn)磁偶極子的定位，而本文的定位方法由于采用差分方式，有效地消除了地磁場(chǎng)及其他共模干擾，具有較高的定位精度。本文方法也存在一些不足，需要進(jìn)一步的完善，由其定位原理可知，系統(tǒng)的定位精度受非共模干擾，如磁矢量傳感器之間的不一致性，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的安裝誤差等影響大，因此需要對(duì)它們進(jìn)行校正，國(guó)內(nèi)外在這方面已經(jīng)有一些很好的嘗試［12－13］，這些工作正是以后的研究重點(diǎn)。

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