王懷光，張培林，張?jiān)茝?qiáng)，任國全

(軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003)

隨著圖像采集和計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，圖像數(shù)據(jù)廣泛用于機(jī)械故障診斷和狀態(tài)監(jiān)測(cè)。目前故障診斷與狀態(tài)監(jiān)測(cè)的發(fā)展方向是智能化、系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化和高速化，如何將大量圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲(chǔ)和傳輸成為亟待解決的“瓶頸”問題[1]。因此，為了使采集的圖像能夠?qū)崟r(shí)連續(xù)傳輸，并減小數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間，對(duì)圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮非常必要。

圖像壓縮的目的是通過一定的方式或手段用比原圖像少的數(shù)據(jù)來代替原始圖像信息。圖像壓縮可分為有損壓縮和無損壓縮兩類。無損壓縮利用數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)冗余進(jìn)行壓縮，可完全恢復(fù)圖像而不引起任何失真，但壓縮比有限。有損壓縮利用人類視覺對(duì)圖像中的某些頻率成分不敏感的特性，允許壓縮過程損失一定的信息，從而獲得較大的壓縮比，如離散余弦變換和小波變換等[2]。在有損壓縮算法中，小波變換壓縮算法效果較好，應(yīng)用領(lǐng)域最為廣泛。然而二維小波是一維小波的張量積，只有有限個(gè)方向，不能很好地表達(dá)圖像中的曲線奇異性特征[3]，從而導(dǎo)致壓縮后的圖像邊緣和紋理可能出現(xiàn)明顯失真。奇異值分解(SVD)是一種簡(jiǎn)單的矩陣變換方法。文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]將SVD分別應(yīng)用于儲(chǔ)糧害蟲和遙感圖像壓縮，取得了較好的壓縮效果。SVD壓縮具有圖像重建誤差小，無方塊效應(yīng)，以及計(jì)算復(fù)雜度和壓縮比有較好的折中等優(yōu)點(diǎn)。另外，圖像的奇異向量構(gòu)成的矩陣沒有明顯的曲線奇異性特征，如果進(jìn)行小波變換壓縮，可以避免小波變換在圖像壓縮方面的不足。

因此，為保證圖像重建質(zhì)量，同時(shí)提高圖像壓縮比，本文將SVD與小波變換相結(jié)合，提出一種基于奇異值分解和小波變換的圖像壓縮方法。首先利用SVD對(duì)圖像進(jìn)行初步壓縮，然后對(duì)保留的奇異向量構(gòu)成的矩陣通過小波變換進(jìn)一步壓縮，以提高圖像壓縮比。

1 基于奇異值分解和小波變換的圖像壓縮

1.1 圖像奇異值分解壓縮

矩陣的奇異值分解是矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容。假設(shè)矩陣Am×n∈Rm×n，Rank(A)=r，則存在兩個(gè)正交陣Um×m和Vn×n，使得

(1)

式中：U和V稱為核矩陣，且UUT=VVT=I；Σ=diag(λ1,λ2,…,λr)，λ1≥λ2≥…≥λr>0是A的非零奇異值。對(duì)于實(shí)矩陣A，它的奇異值分解結(jié)果具有唯一性。令U=[u1,u2,…,um]，V=[v1,v2,…,vn]，則ui和vi分別為第i個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量和右奇異向量。矩陣A可進(jìn)一步表示為向量積的線性組合，如公式(2)所示。由此可知，圖像完全可以由它的非零奇異值及對(duì)應(yīng)的奇異向量表示。

(2)

如果用矩陣的F-范數(shù)表示圖像的能量，則由公式(3)可知，圖像的能量可以由圖像的全部非零奇異值表示。

‖A‖F(xiàn)=‖USVT‖F(xiàn)=‖U‖F(xiàn)‖S‖F(xiàn)‖VT‖F(xiàn)=

(3)

有研究表明，如果用前k(k

圖像奇異值分解壓縮的關(guān)鍵在于k的選擇。如果k取的太大，所得到的壓縮比太?。环粗?，圖像重建質(zhì)量太差。本文從能量的角度自適應(yīng)地選擇參數(shù)k的大小，即通過設(shè)定能量比閾值，使算法自適應(yīng)地選取占圖像總能量一定比例的奇異值重建原始圖像。

1.2 圖像小波變換壓縮

小波變換具有多尺度分析能力，可以將圖像分解到不同分辨率上進(jìn)行處理。圖像經(jīng)小波變換后，每一分辨率下的小波系數(shù)均由一個(gè)低頻子代(LL)和水平(LH)、垂直(HL)和對(duì)角(HH)3個(gè)方向的高頻子代組成。小波分解只對(duì)低頻子代進(jìn)行再分解而保持高頻子代不變，因此圖像經(jīng)過J層小波分解后，會(huì)產(chǎn)生3J+1個(gè)子代，不同子代表示圖像不同頻率信息，如圖2(a)所示。

圖像進(jìn)行小波變換后，并沒有實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮，而只是對(duì)整個(gè)圖像的信息進(jìn)行重新分配。如圖2(b)和(c)所示，圖像低頻子代包含了圖像大部分信息，因此，一幅圖像最主要的信息是低頻信息；圖像高頻子代僅包含圖像少量信息，且大部分系數(shù)都接近0。基于小波變換的圖像壓縮充分利用這一變換特性，將輸入的原始圖像進(jìn)行小波變換，保持低頻系數(shù)不變，并對(duì)各分辨率下的高頻系數(shù)都進(jìn)行閾值量化處理，將絕對(duì)值低于閾值的高頻系數(shù)置零，使保留下來的低頻系數(shù)和少量高頻系數(shù)不但包含了原始圖像中的主要信息，而且大大減少了存儲(chǔ)空間，從而實(shí)現(xiàn)圖像信息的有效壓縮[7]。

1.3 基于SVD和小波變換的圖像壓縮算法

為了確保壓縮后的圖像質(zhì)量，同時(shí)提高壓縮比。本文結(jié)合圖像奇異值分解和小波變換，對(duì)圖像進(jìn)行兩級(jí)壓縮，具體壓縮算法如圖3所示。

首先對(duì)圖像進(jìn)行奇異值分解，得到圖像的左奇異向量矩陣U、右奇異向量矩陣V和奇異值矩陣S。通過設(shè)定能量比閾值，自適應(yīng)地選擇k個(gè)較大的奇異值，而舍棄圖像其余奇異值，實(shí)現(xiàn)圖像的第1級(jí)壓縮。圖像第1級(jí)壓縮之后，數(shù)據(jù)變?yōu)閗個(gè)奇異值和2k個(gè)奇異向量。然后，將k個(gè)左奇異向量和k個(gè)右奇異向量分別看作兩個(gè)圖像矩陣，并進(jìn)行小波變換。保持低頻系數(shù)不變，通過閾值量化的方法對(duì)各分辨率下的高頻系數(shù)進(jìn)行處理，將絕對(duì)值低于閾值的高頻系數(shù)置零，實(shí)現(xiàn)圖像的進(jìn)一步壓縮。編碼方法采用采用熵編碼中應(yīng)用效果較好的的Hufman編碼方法[2]。

基于奇異值分解和小波變換的圖像數(shù)據(jù)重建過程如圖4所示，在對(duì)壓縮結(jié)果進(jìn)行Hufman解碼和小波逆變換之后，利用公式即可獲得重建后的圖像。

(4)

2 試驗(yàn)與結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文圖像壓縮算法的有效性，選擇采集的某型火炮炮膛疵病圖像進(jìn)行圖像壓縮試驗(yàn)，并引入圖像奇異值分解壓縮方法和小波壓縮方法作為對(duì)比試驗(yàn)。試驗(yàn)中選擇“db4”小波對(duì)圖像進(jìn)行3層分解，小波高頻子代系數(shù)采用全局硬閾值進(jìn)行量化處理[8]。由于圖像的能量主要集中在少數(shù)較大的奇異值上，兼顧圖像重建質(zhì)量和壓縮比，選擇能量比閾值為99.9%。

試驗(yàn)通過重建圖像的視覺效果和量化評(píng)價(jià)指標(biāo)兩個(gè)方面對(duì)圖像壓縮算法進(jìn)行比較。在量化評(píng)價(jià)方面，選擇圖像壓縮比CR、壓縮編碼時(shí)間T、Erms均方根誤差和峰值性噪比PSNR4個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。其中Erms和PSNR定義如下:

(5)

(6)

圖5和圖6分別為脫落疵病圖像和裂紋疵病圖像壓縮后的重建結(jié)果。表1和表2給出了不同壓縮方法的量化評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中表1為脫落疵病圖像的結(jié)果，表2為裂紋疵病圖像的結(jié)果。從視覺角度觀察，3種不同壓縮算法都能夠很好地重建原始圖像，圖像重建質(zhì)量差別不大。但是由表1和表2看出，奇異值分解算法速度最快，小波變換算法的圖像重建質(zhì)量最好，本文算法的壓縮比最高。由于奇異值分解壓縮和小波變換壓縮算法都屬于有損壓縮，本文壓縮算法是兩級(jí)壓縮，所以圖像重建質(zhì)量有所降低，但是本文算法在圖像重建質(zhì)量稍有下降的情況下，顯著提高了圖像壓縮比。

表1 脫落疵病圖像不同壓縮算法性能比較

表2 裂紋疵病圖像不同壓縮算法性能比較

為進(jìn)一步比較不同壓縮算法的性能，試驗(yàn)中對(duì)10幅炮膛疵病圖像進(jìn)行壓縮，通過改變能量比閾值和小波系數(shù)量化閾值得到不同壓縮比條件下的重建圖像，計(jì)算圖像的均方根誤差Erms和峰值信噪比PSNR，平均結(jié)果如圖7和圖8所示。從圖7和圖8可以看出，在相同壓縮比的條件下，奇異值分解算法的Erms最大，而PSNR最小，圖像重建質(zhì)量最差，其次是小波變換壓縮算法，本文設(shè)計(jì)的壓縮算法具有較小的Erms和較大的PSNR值，圖像重建質(zhì)量最好。

綜上所述，本文有效結(jié)合了奇異值分解算法和小波變換算法兩者的優(yōu)點(diǎn)，在保證圖像重建質(zhì)量的條件下，可有效提高圖像壓縮比和壓縮編碼時(shí)間。

3 結(jié) 論

本文在研究圖像奇異值分解壓縮和小波變換壓縮的基礎(chǔ)上，將二者有機(jī)結(jié)合，提出了基于奇異值分解和小波變換的圖像壓縮方法。該方法結(jié)合了奇異值分解和小波變換的優(yōu)點(diǎn)，在保證圖像重建質(zhì)量情況下，能有效提高圖像壓縮比，并節(jié)省了壓縮編碼時(shí)間。如何更好地選擇圖像能量比閾值和小波變換系數(shù)量化閾值，從而改善圖像重建質(zhì)量的同時(shí)提高圖像壓縮效率，將是進(jìn)一步研究的重點(diǎn)。

[1] 唐貴基, 張杏娟, 杜必強(qiáng). 旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中的振動(dòng)信號(hào)自適應(yīng)分形壓縮算法[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2009, 29(3): 278-281.

TANG Gui-ji, ZHANG Xing-juan, Du Bi-qiang. Adaptive fractal data compression algorithm for vibration signal of rotating machinery[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2009, 29(3): 278-281. (in Chinese)

[2] RAFAEL C G, RICHARD E W, STEVEN L E. Digital image processing using MATLAB[M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2005.

[3] 焦李成, 譚山. 圖像的多尺度幾何分析：回顧和展望[J]. 電子學(xué)報(bào), 2003, 31(12): 1975-1981.

JIAO Li-cheng, TAN Shan. Development and prospect of image multiscale geometric analysis[J]. Acta Electronica Sinica, 2003, 31(12): 1975-1981. (in Chinese)

[4] 周龍, 黃凌霄, 牟懌. 奇異值分解在儲(chǔ)糧害蟲圖像壓縮中的應(yīng)用[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2009, 37(1): 46-48.

ZHOU Long, HUANG Ling-xiao, MOU Yi. Application of singular value decomposition to compressing pets images from stored grain[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology：Nature Science Edition, 2009, 37(1): 46-48. (in Chinese)

[5] 黃長(zhǎng)春, 徐抒巖, 胡君. 奇異值分解遙感圖像壓縮算法研究[J]. 計(jì)算機(jī)仿真, 2011, 28(8): 226-229.

HUANG Chang-chun, XU Shu-yan, HU Jun. Research on compression algorithm of remote sensing image based on improved singular value decomposition[J]. Computer Simulation, 2011, 28(8): 226-229. (in Chinese)

[6] 曹新容, 黃聯(lián)芬, 趙毅峰. 一種最小二乘/奇異值分解算法[J]. 計(jì)算機(jī)工程, 2009, 35(16): 278-279.

CAO Xin-rong, HUANG Lian-fen, ZHAO Yi-feng. Least square /singular value decomposition algorithm[J]. Computer Engineering, 2009, 35(16): 278-279.(in Chinese)

[7] 馮巖. 基于小波變換的圖像壓縮研究進(jìn)展[J]. 中州大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 23(3): 110-113.

FENG Yan. Image procession of advances in research based on wavelet transform[J]. Journal of Zhongzhou University, 2006, 23(3): 110-113. (in Chinese)

[8] 董長(zhǎng)虹, 高志, 余嘯海. Matlab 小波分析工具箱原理與應(yīng)用[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2004.

DONG Chang-hong, GAO Zhi, YU Xiao-hai. The theory and application of Matlab wavelet analyzing toolbox[M]. Beijing:National Defense Industry Press,2004. (in Chinese)