翁 嘉

(福州英華職業(yè)學(xué)院 公共基礎(chǔ)部，福州 350018)

1 引言

數(shù)學(xué)是一門古老而又常新的學(xué)科。目前數(shù)學(xué)科學(xué)與計算機科學(xué)相互結(jié)合，相互滲透，發(fā)展迅速，使得其在整個科學(xué)技術(shù)中的基礎(chǔ)性地位得到進(jìn)一步鞏固。而且數(shù)學(xué)科學(xué)已經(jīng)突破了傳統(tǒng)理論框架和應(yīng)用范圍，滲透到人類知識的各個領(lǐng)域中，對人類的物質(zhì)生產(chǎn)和日常生活的貢獻(xiàn)越來越大?？茖W(xué)技術(shù)領(lǐng)域方面，不斷產(chǎn)生與數(shù)學(xué)相結(jié)合的新型交叉學(xué)科，如數(shù)學(xué)生物學(xué)、數(shù)學(xué)化學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等，即使是那些傳統(tǒng)上被認(rèn)為與數(shù)學(xué)無關(guān)的領(lǐng)域也與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，出現(xiàn)了新的科學(xué)，如數(shù)學(xué)社會學(xué)、數(shù)學(xué)心理學(xué)等。此外，數(shù)學(xué)是人類文明不斷向前進(jìn)步的標(biāo)志，可以說是一種人類文化，社會中不管其學(xué)歷層次和從事的職業(yè)的文化人都必須受到數(shù)學(xué)的熏陶和教育。由于數(shù)學(xué)對社會的發(fā)展具有重要推動作用，因此社會對他們的需求非常迫切。然而，目前世界各國對數(shù)學(xué)的認(rèn)識情況卻不容樂觀，存在較大問題。對于那些抽象的數(shù)學(xué)符號和高深莫測的理論等，很多人望而卻步，他們害怕學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，甚至不知道該怎么學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，還有一些人雖然心里認(rèn)同數(shù)學(xué)的作用，但無法真正理解數(shù)學(xué)，一些人干脆認(rèn)為數(shù)學(xué)是少數(shù)人能夠玩的神秘游戲，對他們沒有絲毫作用。究其本質(zhì)原因，認(rèn)為這種困境和問題很大程度上是由我國現(xiàn)行的學(xué)校教育方式造成的。

2 高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的弊端

現(xiàn)今大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)主要側(cè)重于介紹概念、定理、專業(yè)定義，以及講解證明定理的過程和推導(dǎo)計算的過程。通過這個方式來傳授知識是無可厚非的，但它也存在一些問題，造成了現(xiàn)如今的困境：數(shù)學(xué)的重要性學(xué)生從小就明白，而且我國小學(xué)到大學(xué)都要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也明白通過數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練自己的思維，培養(yǎng)自己嚴(yán)密的推導(dǎo)能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)、辦事態(tài)度，但是很多人根本不知道在生活中運用所學(xué)習(xí)到的這些數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對他們來說只是一個由一些符號、計算推導(dǎo)和推理的游戲而已。學(xué)生唯一的目標(biāo)就是上課認(rèn)真聽講，按時完成老師布置的任務(wù)，從而順利通過考試，根本沒有想過如何應(yīng)用這些數(shù)學(xué)知識。很多人對數(shù)學(xué)的實踐性和實用性認(rèn)識不夠，沒有完全領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識潛在的價值，缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力?！皵?shù)學(xué)無用”論和人們心中其他那些關(guān)于數(shù)學(xué)的不良意識和觀念日積月累，一直傳承，數(shù)學(xué)成了“空對空”導(dǎo)彈，給數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)帶來了嚴(yán)重的負(fù)面影響。此外，由于使用陳舊的教材、落后的教學(xué)方式、老師狹隘的知識修養(yǎng)等因素的影響，都在一定程度上影響著人們對數(shù)學(xué)的重要性、實用性等認(rèn)識和觀念。

3 數(shù)學(xué)模型案例教學(xué)的創(chuàng)新運用

面對大學(xué)高等數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和困境，必須加快改革數(shù)學(xué)理念和教學(xué)方式的步伐?？紤]到數(shù)學(xué)體系具有強烈的系統(tǒng)性和經(jīng)典性，不可能對大學(xué)高等數(shù)學(xué)進(jìn)行大刀闊斧的改革，但我們可以從小處入手，從局部進(jìn)行探討和改變，做出一些有益的嘗試。

激發(fā)和提高學(xué)生對數(shù)學(xué)在日常生活中的重要性和應(yīng)用性的認(rèn)識對改變他們目前的觀念、培養(yǎng)他們對高等數(shù)學(xué)的興趣、提升他們學(xué)以致用的能力和意識具有重要的意義，是改革目前大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵。老師應(yīng)當(dāng)改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，除了講清、講透書本中的基本概念、定理、方法和定義之外，還需要在教學(xué)過程中運用那些與課堂教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的合理簡單的“數(shù)學(xué)模型案例”，這是一種非常有效的措施。數(shù)學(xué)模型是運用數(shù)學(xué)知識、方法等解決日常生活實際問題的橋梁和手段，這種面向現(xiàn)實、走進(jìn)生活的案例教學(xué)能夠使學(xué)生產(chǎn)生直觀的、切身的認(rèn)同感，徹底明白和領(lǐng)悟到在解決日常實際問題過程中數(shù)學(xué)工具的巨大作用和強大威力。

案例1：在高數(shù)微積分的學(xué)習(xí)中，筆者列舉出一個綜合性較強的案例：美國深海處理核廢料是否安全。具體問題是：美國政府將核廢料密裝于鉛桶后沉入海中，如果海水較深，鉛桶到達(dá)海底的速度過大，與堅硬的海底巖石碰撞破裂。如何論證鉛桶的安全性?由于背景新穎，能夠吸引學(xué)生的眼球，提高興致，激發(fā)他們的熱情。此問題可以直接轉(zhuǎn)化為求解日落速度，學(xué)生可以運用微積分的知識來考慮和求解。

(1)首先引導(dǎo)學(xué)生自主思考，明確這已不是初中學(xué)習(xí)熟知的自由落體運動，而是一種阻尼落體運動。這對于學(xué)生來說是一個全新的問題，該如何去描述下降過程中的運動規(guī)律，能激發(fā)他們探索新知的欲望。

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，結(jié)合牛頓第二運動定律，建立下落運動方程：

式中：k表示空阻尼系數(shù)。老師告訴學(xué)生這是一種新的方程即常微分方程。

(4)問題進(jìn)行到這步還沒結(jié)束，教師可引導(dǎo)學(xué)生明白兩個事實：

若已知海底的深度h，就能夠求解得到v。

(6)很難求出上述代數(shù)方程的解析解，與學(xué)生過去習(xí)題求解的教育相違背，有助于他們逐步體會到實際問題的求解過程中，其中任何一個環(huán)節(jié)不能參照理想化的普通習(xí)題求解，需要創(chuàng)新地運用特殊方法。這時可以順便給學(xué)生介紹下二分法怎么求解函數(shù)方程的數(shù)值解，同時也復(fù)習(xí)了零點存在定理。

這是一個綜合性非常強的例子，不僅能夠引發(fā)學(xué)生的興趣和注意力，還能使學(xué)生體會到高等數(shù)學(xué)可以解決實際問題。求解方程的過程中要求學(xué)生結(jié)合已熟悉的物理學(xué)意義還要努力學(xué)習(xí)積分、極限、符合函數(shù)求導(dǎo)甚至數(shù)值計算等相關(guān)知識。該方式有助于提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，起到事半功倍的效果。

案例2：在講解如何判別無窮級數(shù)的斂散性時，筆者設(shè)計了一個有趣的游戲(如圖1所示)。

將相同木板按圖疊起來，是否存在木堆中的最上面一塊木板向右無限水平伸長而木堆不會倒塌的可能。感覺似乎不能做到，但需要我們運用簡單的物理知識建立模型進(jìn)行論證：

根據(jù)圖中建立的坐標(biāo)系，假設(shè)木堆不會倒塌時從上到下第n塊木板的重心橫坐標(biāo)的表達(dá)式為：

4 運用數(shù)學(xué)模型案例教學(xué)的原則

“數(shù)學(xué)模型”案例在大學(xué)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中的運用一般應(yīng)遵循以下幾個原則：

(1)最好設(shè)計和選用那些貼近日常生活實際的模型。使運用的這些模型符合實際，同時賦予給它們更多的趣味性和應(yīng)用性。模型不應(yīng)當(dāng)過分專業(yè)，學(xué)生比較熟悉上課模型的背景知識，能夠更好地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。如果能夠和其他專業(yè)的知識背景聯(lián)系起來，產(chǎn)生的教學(xué)效果就會更好，如給理工科學(xué)生上課時刻選擇那些與物理工程、化學(xué)工程相關(guān)的模型。

(2)數(shù)學(xué)模型在教學(xué)過程中是作為插件來運用的，其必須簡單，能夠在較短時間內(nèi)就講解完。占用的時間不超過20～30分鐘為宜。

(3)模型建模和求解使用的方法最好是能聯(lián)系和結(jié)合本課程中的知識。通過該數(shù)學(xué)模型還能使學(xué)生加深和理解所學(xué)課程中知識的應(yīng)用價值，消除他們心中的消極被動的學(xué)習(xí)情緒，激勵他們一步步學(xué)好該課程。

(4)教師須合理安排好習(xí)題課的進(jìn)程，因為習(xí)題課中安排講解模型會取得更好的效果?；ㄙM足夠的時間來推導(dǎo)一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型對教學(xué)具有重要價值，起到拋磚引玉的作用。

(5)教師須精心處理模型的講解過程。數(shù)學(xué)案例模型不僅能夠起到推廣數(shù)學(xué)知識應(yīng)用價值的作用，還在一定程度上附帶了人文藝術(shù)價值。安排得體、講解通俗，同時上課語言充滿幽默和風(fēng)趣，內(nèi)容充滿生活性和文化性，會給學(xué)生帶來耳目一新的感覺；老師講課時充滿親切感和輕松感，能夠緩解課堂原本相對沉悶的氣氛，調(diào)動學(xué)生的情緒，提高其學(xué)習(xí)興趣。

5 數(shù)學(xué)案例模型教學(xué)的積極作用

數(shù)學(xué)科學(xué)是一門關(guān)鍵、運用普遍并能授予人們能力和技術(shù)的學(xué)科，對經(jīng)濟競爭十分重要。面對著我國目前大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題和困境，必須改革數(shù)學(xué)教學(xué)方式，而樹立正確的數(shù)學(xué)觀是改革數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵因素。高校數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師要融入模型化的思想，給學(xué)生一種比較直觀的感受，同時更要引導(dǎo)學(xué)生自主去思考問題，能夠運用學(xué)過的建立模型方法解決實際問題，逐步培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)分析、計算、推理的能力，發(fā)展他們的創(chuàng)造力、觀察力等，提升學(xué)習(xí)熟練運用計算機和其他數(shù)學(xué)軟件的能力，這樣學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識才能真正變成他們的一個有力工具。此外，學(xué)校應(yīng)倡導(dǎo)建模的理念，組織建?；顒樱龑?dǎo)學(xué)生發(fā)揮出他們的聰明才智，享受學(xué)以致用的快樂。

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