邢志勇

(廈門(mén)海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，福建 廈門(mén) 361100)

分割法在Riemann可積中的應(yīng)用

邢志勇

(廈門(mén)海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，福建 廈門(mén) 361100)

Riemann可積是實(shí)分析理論中的重要內(nèi)容，其核心思想就是試圖通過(guò)無(wú)限逼近來(lái)確定函數(shù)的積分值。對(duì)有限空間上的函數(shù)利用區(qū)間分割的方法對(duì)幾個(gè)Riemann可積的定理進(jìn)行推導(dǎo)、證明，證明了這幾個(gè)定理之間的等價(jià)關(guān)系。

Riemann可積;分割法;等價(jià)關(guān)系

定義1對(duì)于［a,b］上的一個(gè)分割Δ:a=x0

定義2對(duì)于［a,b］的2個(gè)分割Δ0，Δ,Δ0?Δ表示Δ0的分點(diǎn)都是Δ的分點(diǎn)，Δ0∪Δ表示將Δ0的分點(diǎn)與Δ的分點(diǎn)全部拿來(lái)作為分點(diǎn)的分割，Δ/Δ0={［α,β］|［α,β］是Δ的一分段但不是Δ0的分段}，qΔ/Δ0為Δ/Δ0所含分段數(shù)目。

引理1［1］Δ0,Δ是［a,b］上的2個(gè)分割，n0是Δ0的分點(diǎn)個(gè)數(shù)，則：

qΔ/(Δ∪Δ0)≤n0-2

對(duì)有界函數(shù)f(x)：［a,b］→R，記：

式中，inf，sup都是對(duì)Δ跑遍［a,b］的所有分割而言的。

故當(dāng)|Δ|<δ，有：

定理3有界函數(shù)f(x)：［a,b］→R在［a,b］上Riemann可積的充分必要條件是：?ε>0及σ>0，?δ>0，使得當(dāng)［a,b］上的分割Δ的模|Δ|<δ時(shí)，必有∑ωi(f;Δ)≥εΔxi<σ。

證明充分性。?ε>0及σ>0，?δ>0，當(dāng)分割Δ的模|Δ|<δ時(shí)，∑ωi(f;Δ)≥εΔxi<σ。從而：

+ε·(b-a)=Mσ+ε(b-a) (M為常數(shù)，σ，ε為任意小的正數(shù))

由定理2可知f(x)在［a,b］上Riemann可積。

式中，M為有限數(shù)。從而：

由于ε為任意的，故σ也為任意的。即?ε>0及σ>0，?δ>0，當(dāng)［a,b］上的分割Δ的模|Δ|<δ時(shí)，必有∑ωi(f;Δ)≥εΔxi<σ。

［1］李容錄.泛函分析基礎(chǔ)［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003:1-96.

［2］麥結(jié)華，曾素行.黎曼積分的幾個(gè)等價(jià)定義(英文)［J］.數(shù)學(xué)研究,2005(1): 38-44.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.07.005

O172.1

A

1673-1409(2012)07-N010-02

2012-04-25

邢志勇(1980-)，男，2002年大學(xué)畢業(yè)，碩士，講師，現(xiàn)主要從事泛函分析、數(shù)學(xué)物理方程方面的教學(xué)與研究工作。

［編輯］ 洪云飛