李正耀，何先平

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

《數(shù)理統(tǒng)計》中假設(shè)檢驗知識點的教學(xué)探討

李正耀，何先平

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

分析了《數(shù)理統(tǒng)計》課程中假設(shè)檢驗知識點教學(xué)過程中學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的一些問題，提出在實際教學(xué)中采用直觀、聯(lián)想與類比的教學(xué)方法，讓學(xué)生正確理解假設(shè)檢驗的原理與方法，并給出了假設(shè)檢驗中假設(shè)選取的2條原則。

假設(shè)檢驗；假設(shè)選?。活惐冉虒W(xué)法

假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的2大核心任務(wù)之一，在統(tǒng)計中具有非常重要的意義。讓學(xué)生理解假設(shè)檢驗的基本原理，學(xué)會在實際中正確使用假設(shè)檢驗法，對于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)及培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力是非常重要的。但一般而言，工科《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程[1]的假設(shè)檢驗部分在實際教學(xué)中，往往過于程式化，學(xué)生對假設(shè)檢驗的原理不清楚，只知道有若干個難記的公式，遇到實際假設(shè)檢驗問題時，卻不知道如何正確使用；檢驗之初不知如何選擇適當?shù)拿}作為原假設(shè)與備擇假設(shè)；由樣本觀測值作出檢驗結(jié)論時，對于“拒絕原假設(shè)”與“接受原假設(shè)”的準確含義不能真正理解。下面，筆者在實踐教學(xué)中就上述問題進行了探討?。

1 以生動直觀的例子理解假設(shè)檢驗的基本思想

例1一南北交通干線全長10km，公路穿過一隧道，隧道南面3.5km，北面6.5km，在剛通車的一個月中，隧道南發(fā)生了3起互不相關(guān)的交通事故，而北面沒有發(fā)生交通事故，據(jù)此能否認為隧道南面的公路更容易發(fā)生交通事故[2]？

分析隧道將公路分為2段：隧道南3.5km，北面6.5km，記p表示一起交通事故發(fā)生在隧道南面的概率，如果每起交通事故在這段公路上每一點等可能發(fā)生，則p=0.35(視為原假設(shè)H0)；而p>0.35(視為備擇假設(shè)H1)表示隧道南面的公路更容易發(fā)生交通事故。用W表示3起交通事故發(fā)生在隧道南，假定每起交通事故在這段公路上每一點確實是等可能發(fā)生(H0為真)，則每一起事故發(fā)生在隧道南的概率都是0.35，由于3起事故是相互獨立的，則P(W)=0.353≈0.05，W是一個小概率事件，一般不會發(fā)生，既然它發(fā)生了，就有充足的理由否定該假定(拒絕H0)，認為隧道南面的公路更容易發(fā)生交通事故。

從上述例子中，容易理解假設(shè)檢驗的過程中包含2個重要思想：①反證法思想。為了檢驗原假設(shè)H0是否正確，首先假設(shè)H0為真，看由此能推出什么結(jié)果，如果導(dǎo)致一個不合理的結(jié)果出現(xiàn)，則表明“假設(shè)H0為真”是錯誤的，由此應(yīng)當拒絕原假設(shè)H0；如果沒有導(dǎo)致不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)，則不能認為“假設(shè)H0為真”是錯誤的，只好選擇接受H0。②小概率原理。數(shù)理統(tǒng)計中的小概率原理是指“一次試驗中，小概率事件是幾乎不會發(fā)生的”，在原假設(shè)H0成立的條件下，樣本觀測值(x1,x2,…,x2)落入拒絕域W是一小概率事件，P{(x1,x2,…,x2)∈W}=α，應(yīng)當是“不容易發(fā)生的”，如果該事件發(fā)生了，則有充分的理由認為原假設(shè)H0不正確。

2 假設(shè)檢驗中注意假設(shè)的選取原則

2.1原則1

原則1如果想強烈地支持某一命題，則應(yīng)將這一命題作為備擇假設(shè)，而將它的否命題作為原假設(shè)。

分析這是一個剛建成投產(chǎn)的工廠，人們對它生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量狀況沒有任何認識，工廠也希望以自己產(chǎn)品的優(yōu)良品質(zhì)贏得用戶對它的充分信賴，為了能以充足的理由說明該廠的質(zhì)量可靠，因此，應(yīng)作如下假設(shè)：H0:μ≤225?H1:μ>225。

如果提出的是另外一種形式的假設(shè)，即H0:μ≥225?H1:μ<225,還是使用t檢驗統(tǒng)計量，在顯著性水平α=0.05時，拒絕域為{t<-1.753}，檢驗統(tǒng)計量的觀測值是相同的，即t=2.05，樣本觀測值落入接受域中，將由此作出接受原假設(shè)的判斷。值得注意的是，這時雖然作出了“該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品符合國家標準”的判斷，但理由是不充分的！

2.2原則2

由于在假設(shè)檢驗中，當原假設(shè)為真時，拒絕原假設(shè)是如此的不易(必須要有充足的理由)，因此，假設(shè)檢驗具有一種強烈的保護原假設(shè)的傾向。

原則2將久已存在的、不能輕易被否定的命題或成見作為原假設(shè)。

對這一實際問題，分別提出2種不同形式的假設(shè)，考察它們的結(jié)論有何差異。

2)假設(shè)Ⅱ 考慮作假設(shè)II：H0:μ≥0.12?H1:μ<0.12。還是使用t檢驗統(tǒng)計量，在顯著性水平α=0.05時，拒絕域為{t<-1.711}，檢驗統(tǒng)計量的觀測值還是t=0.091，樣本觀測值落入接受域中，將由此作出判斷：“該廠生產(chǎn)的微波爐輻射量指標不符合標準”(準確的說法是：“沒有理由認為該廠生產(chǎn)的微波爐輻射量指標符合標準”) 。

對這同一組樣本觀測值，2種形式的假設(shè)檢驗卻得到了完全相反的結(jié)論，這在實際中并不少見，采信何種判斷就必須要依賴于人們對該對象的經(jīng)驗與成見。如果該廠生產(chǎn)的微波爐質(zhì)量一向良好，根據(jù)選取假設(shè)的第2條原則，應(yīng)充分保護這種經(jīng)驗與成見，將“質(zhì)量良好”作為原假設(shè)，即應(yīng)采用假設(shè)Ⅰ，樣本觀測值顯示：沒有充分理由認為該廠生產(chǎn)的微波爐輻射量指標不符合標準。因此，最終的結(jié)論是該廠生產(chǎn)的微波爐輻射量指標符合標準；反之，如果該廠一向質(zhì)量不可靠或是剛建成投產(chǎn)的新廠，則應(yīng)采用假設(shè)Ⅱ，最終的結(jié)論是：該廠生產(chǎn)的微波爐輻射量指標不符合標準。

3 聯(lián)想與類比：假設(shè)檢驗與司法判決

司法判決在某種意義上也是一種假設(shè)檢驗，結(jié)合司法實踐中的一些案例，可以非常形象直觀地幫助學(xué)生正確理解假設(shè)檢驗中的基本原理。以刑事訴訟為例，有罪推定是指先將一個人的行為定為有罪(即原假設(shè)為：此人有罪)，然后圍繞其犯罪不可否認的定論去尋找法律和事實依據(jù)；無罪推定是與有罪推定相對而言的(該檢驗的原假設(shè)為：此人無罪)，犯罪嫌疑人，被告人在未經(jīng)法院判定有罪的情況下，應(yīng)推定其無罪。對于某一犯罪嫌疑人或被告人，使用同樣的證據(jù)，采用“有罪推定原則”進行判決與采用“無罪推定原則”進行判決，結(jié)果可能是完全不同的，可以把這一點完全讓學(xué)生對照例3中的假設(shè)檢驗問題細細體味，進而得出結(jié)論：現(xiàn)代文明社會的司法制度采用“無罪推定”，就是要充分保護“無罪”這個原假設(shè)，起到保障人的自由、生命、榮譽與權(quán)利，所以說“無罪推定”是偉大的政治文明，是最符合人性的偉大法律原則。另一方面，由假設(shè)檢驗可以知道，如果作出拒絕原假設(shè)的判斷，理由是充分的，而作出接受原假設(shè)的判斷，理由是不充分的，將該原理應(yīng)用于刑事訴訟，在無罪推定原則下，如果某人被判為“有罪”(拒絕原假設(shè))，則該嫌疑人一定是罪有應(yīng)得；如果某人被判為“無罪”(接受原假設(shè))，則該嫌疑人未必沒有犯案。

在假設(shè)檢驗的教學(xué)中，通過上述這種聯(lián)想與類比，可以使得看似枯燥單調(diào)的公式與規(guī)則，變得更直觀、更生動有趣，起到開闊學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生在別人看不到數(shù)學(xué)的地方用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。類似這樣的訓(xùn)練，對提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力將發(fā)揮重要作用。

[1]盛驟，謝士千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]何書元.數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2012.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.059

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1673-1409(2012)12-N175-03