● (浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院 浙江金華 321004)

中美初中教科書中“全等三角形”的比較

●施倩倩邵媛媛周丹清(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院 浙江金華 321004)

1 背景

幾何在生產生活中的廣泛應用及在人類文明發(fā)展進程中的重要作用，使得該領域在數(shù)學教育中備受關注.我國新課程改革對初中階段的幾何課程作了較大變革，但也引起了許多爭議.筆者以國外幾何課程為鑒，反思我國當前的幾何課程改革.

美國教育歷來重視學生數(shù)學思維特別是創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，而這恰恰是中國教育的薄弱之處.基于此，筆者對中國和美國的數(shù)學教材進行了比較.《發(fā)現(xiàn)幾何——一種歸納的方法》[1](以下簡稱《發(fā)現(xiàn)幾何》)在編寫上有關青少年幾何思維的發(fā)展的指導思想與范希爾理論[2]提出的思維發(fā)展水平極為相似.我國人教版《數(shù)學》[3](以下簡稱《數(shù)學》)編寫歷史悠久、使用廣泛，因此在我國多套數(shù)學教科書中也更具代表性.本文選取《發(fā)現(xiàn)幾何》與《數(shù)學》進行比較，并從教科書的內容及其培養(yǎng)目標這2個維度進行分析.

為討論的方便與深入，本文僅對其中“全等三角形”一章進行比較.這是因為，全等三角形作為平面幾何的基礎，對于學習相似三角形、其他平面幾何圖形的性質定理以及幾何證明等具有指導意義.學習掌握全等三角形的相關知識對于提高學生的觀察能力、科學探究能力、分類思想、辯證思維等具有重要的作用.

2 教科書內容的比較

2.1 內容的編排與銜接

中美教科書關于“全等”知識的編排如表1所示.

表1 關于“全等三角形”的編排

總體看來，《發(fā)現(xiàn)幾何》與《數(shù)學》的知識點大致相同，均按照“全等三角形”、“三角形全等的條件”、“角平分線的性質”的路線，即按照“定義”、“探究”、“應用”的脈絡編排.

從細節(jié)來看，《發(fā)現(xiàn)幾何》除了定義全等圖形，對全等線段、全等角、全等多邊形也有定義，但不再定義全等三角形.在三角形全等條件的探索中，先討論了1個或2個元素對應相等的條件，由此得出需要第3個元素，此時羅列出所有可能的情況.在探討3個元素對應相等條件時，按照3個元素都是邊或都是角、3個元素中有1個是角或1條邊(按是否為夾角或夾邊討論).在等腰三角形的再探索中，通過角平分線研究了等腰三角形的“三線合一”.在證明全等三角形對應部分的全等時，分2步：第1步按一般的證明思路證明；第2步采用框圖的證明方法，將條件和結果清晰地展現(xiàn)出來.

《數(shù)學》先定義全等形，再定義全等三角形.在全等三角形條件的探索中要求學生用尺規(guī)作全等三角形，探索2個元素相等時的情況.在探討3個元素的情況時，先按3條邊相等探究，再按改變其中1個元素(討論是否為夾角)、改變其中2個元素(討論是否為夾角)、改變3個元素探究.全等三角形的證明方法緊跟各個探究條件之后，用大括號表示全等條件，思路清晰.《數(shù)學》還探索了直角三角形這個特殊三角形的全等條件，這就融入了“由一般到特殊”的思想.

2.2 內容的呈現(xiàn)

2.2.1 知識的引入

《發(fā)現(xiàn)幾何》的章首開門見山，直接給出“全等”的定義，繼而明確本章的主要任務是發(fā)現(xiàn)三角形全等的條件，最后以裝配線生產汽車部件為例，闡明數(shù)學知識在現(xiàn)代化生產中的應用.章首給出了核心概念，能與新課緊密連接，發(fā)揮了章首的作用.在第1節(jié)中通過找全等圖形的練習加深理解,該習題的圖形饒有趣味、富有吸引力.在初步形成全等概念的基礎上，引出全等線段、全等角全等多邊形的定義并作解釋，并自然推出三角形的全等，但不再定義全等三角形.接著以“承包商想知道娛樂場用于支撐屋頂?shù)?個三角架是否全等”為情境(配有插圖)，通過探索三角形全等的條件幫助承包商解決問題，以此激發(fā)學生的求知欲，融入了“助人為樂”的品德教育.

《數(shù)學》的章首提出一系列需要通過本章學習來解決的問題，并提示本章內容的幾大重點，相比之下，提出了更明確的學習任務.另外，章首還配有2張現(xiàn)代工業(yè)工藝圖片，比《發(fā)現(xiàn)幾何》文本化描述更形象直觀，也使學生感受到數(shù)學的應用價值.在第1節(jié)中也呈現(xiàn)一些圖片，先請學生找出其中形狀和大小相同的圖形，這個活動隱含了全等的概念，使學生獲得“全等”的視覺體驗；再根據(jù)樣板裁剪出來的圖形與樣板是否重合引入全等形的定義，并由此推得全等三角形的定義；接著通過“思考”欄目中平移、翻折、旋轉等變換得到全等三角形，幫助學生多角度把握全等的含義.

2.2.2 概念表述

根據(jù)概念生成方式的不同，《發(fā)現(xiàn)幾何》與《數(shù)學》在全等形的表述上也存在差異.《發(fā)現(xiàn)幾何》直接定義形狀和大小都相同的圖形為全等圖形.由此得到，長度相等的線段為全等線段，角度相等的角為全等角.接著說明2個邊數(shù)相同的多邊形存在對應關系，由字母的順序可以知道哪些是對應邊、哪些是對應角，然后推出對應邊和對應角“全等”的多邊形的全等多邊形.

《數(shù)學》在引入全等形時通過2個活動得出形狀和大小相同的圖形能完全重合，于是得到能完全重合的的圖形為全等形，進而推得能完全重合的2個三角形叫做全等三角形.并且得出，把2個全等的三角形重合在一起，能重合的頂點叫做對應點，能重合的邊叫做對應邊，能重合的角叫做對應角，從重合的角度更好地詮釋了全等多邊形中的對應關系.

2.3 內容的豐富程度

《發(fā)現(xiàn)幾何》特有的模塊包括“提高直覺思維”、“特殊作業(yè)”、“合作解題”、“計算機活動”、“名言名句”等.“提高直覺思維”設置在課后練習之后，雖是與本章內容的相關性不大的數(shù)學“小插曲”(即數(shù)學趣題)，但對發(fā)展學生的靈活性思維非常有利.“特殊作業(yè)”與“合作學習”欄目，內容豐富，設計精巧，題目兼顧知識點與趣味性，圍繞學生感興趣的話題展開，并由學生課后合作完成，在相對輕松的氛圍中激發(fā)學生學習的積極性，從而提高學習效率.“全等”這一章的“計算機活動”是用Logo作正多邊形與星形.學生可根據(jù)課本介紹進行上機操作，作出許多全等圖形及正多邊形，切實感受計算機作圖的便捷性，提高信息素養(yǎng).《發(fā)現(xiàn)幾何》幾乎每一小節(jié)都有與學習內容相關的名言名句，如在探索三角形全等的條件時引用安德魯?shù)摹爸挥凶钣薮赖暮淖硬艜氵M貓的耳朵里，但是，只有最聰明的貓才會想起往那里看看”，向學生傳遞“善于發(fā)現(xiàn)”的信息.

《數(shù)學》中設有“閱讀與證明”、“數(shù)學活動”欄目.本章的“閱讀與證明”安排在三角形全等判定定理后，向學生陳述證明的重要性.如果先得到“證明作用”的解釋，再學生先學習證明方法，則更合乎一般的認知過程.“全等三角形”的“數(shù)學活動”共有2個，活動1是在簡單的平面幾何中尋找全等形與全等三角形，活動2是運用全等三角形知識測量旗高.2個活動從理論的幾何知識過渡到了實踐體驗，使學生切身體會到全等三角形在生活中的實際應用.

綜上所述，中美教科書的內容均比較豐富，《發(fā)現(xiàn)幾何》的涉及面更為寬廣，關注學生直覺思維、合作能力、信息素養(yǎng)等多方面的提升；而《數(shù)學》則主要側重合作、應用能力的培養(yǎng).

3 教科書培養(yǎng)目標的比較

3.1 探究能力的培養(yǎng)

《發(fā)現(xiàn)幾何》先探討1個或2個元素對應相等時能否判斷2個三角形全等，從而作出猜想：判斷2個三角形是否全等需要3個元素；再請其對各種可能的情況作出假設，提升思維的廣度與嚴密性；然后要求學生根據(jù)已知條件獨立作圖來驗證，并相互比較、探討；最后總結自己的猜想.整個過程將自主探究、動手實踐、合作交流落到實處，并且注重科學探索方法的掌握.

《數(shù)學》探索步驟上省去了1個元素對應相等的探索(見表1)，顯得不夠全面.探索2個元素對應相等的探索時，不予條件提示，由學生自主探究.而這種情況并不復雜，給了學生較大的探索空間.當難度上升，探討3個元素對應相等時，則采用尺規(guī)作出全等三角形的方法得出全等條件，并引導學生進行分類討論，通過改變條件，發(fā)現(xiàn)新的知識，同時也學會了用尺規(guī)作全等三角形的多種方法.

3.2 數(shù)學思維的發(fā)展

通過解決數(shù)學問題，學生的思維能力往往會得到提高，下面從書本的例題與習題出發(fā)，比較兩國教科書對思維的過程性、嚴密性與靈活性的重視程度.

(1)例題中展現(xiàn)的思維

《發(fā)現(xiàn)幾何》的例題是在三角形全等的條件都探索后出現(xiàn)的，這樣的處理可以引導學生運用所學知識通過自己的判斷來選用合適的證明方法.這就需要學生通過自己構建的知識體系去思考解決問題的方法，并在解決問題的過程中，進一步完善知識的架構，但這樣的模式需要熟練掌握各個定理的基礎上才可.如果定理的運用沒有及時訓練，基礎沒有落實，在最后思維靈活性的鍛煉可能作用不大.其例題按照“題目”加“解答過程”的模式，證明方法按照“框圖證明”，即“用框圖的形式表示邏輯論證”(如圖1所示)，思路清晰、邏輯嚴密，簡潔方便.

例1已知AR=ER,EC=AC,求證：∠E=∠A.

框圖證明：

圖1

《數(shù)學》中的例題則在各個“探究目標”和“探究結果”(定理)后出現(xiàn)，是對新定理的舉例運用，及時鞏固了所學知識.例題遵循“題目”加“分析”加“解答過程”的模式，在展現(xiàn)解題思路的同時，也反映了題目的設計意圖，幫助學生形成良好的思維邏輯.

中美教科書的例題數(shù)量相當，但在分布上有所差異，具體如表2所示.

表2 《發(fā)現(xiàn)幾何》和《數(shù)學》例題的數(shù)量與分布

表2顯示，《發(fā)現(xiàn)幾何》的例題在定理探索與綜合運用上分布均衡，而《數(shù)學》較重視定理的鞏固與運用.除了示范作用，《發(fā)現(xiàn)幾何》的例題注重在綜合運用中鍛煉學生思維的靈活性.

(2)習題中展現(xiàn)的思維

中美教科書在課后習題的安排上均分層次，具體見表3和表4.

表3 《發(fā)現(xiàn)幾何》習題的數(shù)量與分布

《發(fā)現(xiàn)幾何》的習題分A、B、C、D這4個層次，前3個層次的習題會給出幾何圖形，D層習題則是數(shù)學語言結合文字表述.其中，A層習題包含一系列的小題，以判斷、說理為主，以填空形式居多，涵蓋的知識點較廣.學生通過練習一些相似的、易混淆的題目，能更好地理解掌握知識.B、C層習題給出“框圖證明”的框架，輔助學生形成解題思路.D層習題不提供圖形和框圖證明的框架，由學生自己解題，從數(shù)量上看，每一小節(jié)D層習題至多1題.可見，美國初等教育作業(yè)題量也比較多，部分題目分層也不明顯.其中，在框圖學習之前的學習中沒有例題，所對應的習題僅要求根據(jù)字母順序及圖寫出對應三角形即可，難度較低.

表4 《數(shù)學》習題的數(shù)量與分布

《數(shù)學》中的課堂練習與復習鞏固的形式是判斷說理結合證明.其中的證明題，但學生完全可以參照例題解法，難度因此下降.復習鞏固亦可參照例題解答，但從“綜合運用”開始，習題難度上升，難度加大，需要熟練運用新知識并用規(guī)范的數(shù)學語言解答.“拓廣探索”需要更高層次的運用新知識解題的能力，在每小節(jié)中均占1～2題.總之，題目難度分層明確，數(shù)量合理，能滿足基礎不同的學生的需求.

3.3 學習習慣的養(yǎng)成

《發(fā)現(xiàn)幾何》要求學生將每個探索發(fā)現(xiàn)的結果整理到自己的調查報告中，作為小結論，引導學生養(yǎng)成及時總結的良好習慣.《數(shù)學》的歸納總結分為“課堂歸納”和“章末小節(jié)”.其中，2處課堂歸納一是對解題方法的總結，二是要求學生總結所有的探究結果.章末小節(jié)由“本章知識結構圖”和“回顧與思考”構成.“本章知識結構圖”是已歸納的知識網絡，“回顧與思考”是一系列基礎性問題.現(xiàn)成的知識結構圖與基礎知識問題便于學生回憶鞏固所學知識，構建更好的“知識網絡”,但未留給學生自主完善知識網絡的機會，注重“回顧”淡化“思考”.

4 總結

通過比較，可以發(fā)現(xiàn)，中美2國教材總體內容上大同小異，在培養(yǎng)目標上略有不同，在編寫上也各有亮點與不足之處.美國側重學生的多方面的素質，其中的信息素養(yǎng)、人文素養(yǎng)、學習習慣與品質等是在“全等三角形”中未能體現(xiàn)的，其在探究上展現(xiàn)了思維的廣度與嚴謹性，也值得我們參考.但其不足之處在于基礎不如我國扎實，各定理對應的例題不夠，而在最后要求學生根據(jù)題目自己思考選用所學定理來解答，這在訓練思維上有一定的難度跨度.其不足之處正是我國教材的特色與與優(yōu)勢.值得一提的是，美國在引入全等三角形條件的探索時設置了問題情境，告訴給學生探索全等三角形的必要性，激發(fā)了學習興趣.總之，通過研究國外教材可以完善教材、提升教學質量.

[1] 塞拉.發(fā)現(xiàn)幾何——一種歸納的方法[M].李翼忠，劉仁蘇，蔡上鶴,等譯.北京:人民教育出版社,2000.

[2] 唐恒鈞，張維忠.中美初中幾何教材“相似”內容的比較[J].數(shù)學教育學報,2005(11):55-58.

[3] 林群.數(shù)學(八年級上)[M].北京:人民教育出版社,2004.