● (杭州師范大學(xué)初等教育學(xué)院 浙江杭州 310018)

●王德勝 (鄒城市中心店中學(xué) 山東鄒城 273512)

數(shù)學(xué)史視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)探析

●李國(guó)強(qiáng)(杭州師范大學(xué)初等教育學(xué)院 浙江杭州 310018)

●王德勝(鄒城市中心店中學(xué) 山東鄒城 273512)

1 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位

數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)課堂上講解數(shù)學(xué)知識(shí)，可以有很多方式，如:通過(guò)數(shù)學(xué)新舊知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系引出新知識(shí)；利用學(xué)生生活中的實(shí)例使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化、形象化；利用數(shù)學(xué)史料激發(fā)學(xué)習(xí)熱情或感悟數(shù)學(xué)思想方法，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握；還可借助數(shù)學(xué)游戲，調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；也可通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)增加學(xué)生的親身體驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握；……具體如圖1所示：

圖1

2 數(shù)學(xué)史視角下的教學(xué)內(nèi)容重組及教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展

數(shù)學(xué)教科書(shū)為追求知識(shí)的系統(tǒng)性，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)邏輯關(guān)系的介紹，通常省略數(shù)學(xué)知識(shí)的形成背景和發(fā)展過(guò)程．教師在教學(xué)中若遵從教科書(shū)內(nèi)容，往往導(dǎo)致學(xué)生不理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈及其學(xué)習(xí)意義．?dāng)?shù)學(xué)家萊布尼茨曾說(shuō)：“沒(méi)有什么比看到發(fā)明的源泉更重要了，這比發(fā)明本身更重要．”教師運(yùn)用數(shù)學(xué)發(fā)展的順序來(lái)組織數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)概念、結(jié)構(gòu)、觀點(diǎn)是怎樣被‘發(fā)明’用來(lái)作為一種工具，組織物理社會(huì)和思維世界的現(xiàn)象”．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、結(jié)構(gòu)、觀點(diǎn)時(shí)，借助數(shù)學(xué)史能夠從它們?yōu)槭裁幢弧鞍l(fā)明”中獲得動(dòng)機(jī)．不僅如此，數(shù)學(xué)史還可以通過(guò)最少的邏輯代溝、最自然的方式描述數(shù)學(xué)．因此，利用數(shù)學(xué)史料重新組織教科書(shū)中的知識(shí)是教師組織教學(xué)內(nèi)容的重要方式．

例如，高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中一般先介紹指數(shù)再介紹對(duì)數(shù)，導(dǎo)致很多學(xué)生認(rèn)為對(duì)數(shù)的概念是人們通過(guò)指數(shù)的關(guān)系硬性規(guī)定的，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)也是由指數(shù)運(yùn)算法則推導(dǎo)而來(lái)的.對(duì)數(shù)的產(chǎn)生純屬于數(shù)學(xué)邏輯體系自身發(fā)展的結(jié)果，與社會(huì)生活無(wú)關(guān)．為此，在教學(xué)中，可以按照數(shù)學(xué)的歷史產(chǎn)生軌跡先學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)，再學(xué)習(xí)指數(shù)，這樣，學(xué)生不僅能夠了解對(duì)數(shù)、指數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，正確認(rèn)識(shí)指數(shù)、對(duì)數(shù)的概念，還有助于體會(huì)對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用和當(dāng)時(shí)的社會(huì)價(jià)值．

另外，教師可以運(yùn)用數(shù)學(xué)史料更好地組織課堂教學(xué)．例如，高中教科書(shū)中在推導(dǎo)自然數(shù)前n項(xiàng)求和公式時(shí)運(yùn)用了逆序相加的方法，這一方法雖然簡(jiǎn)捷，但是學(xué)生難以想到，而且較抽象．一位教師為了讓學(xué)生從“數(shù)”、“形”2個(gè)角度更全面地掌握自然數(shù)前n項(xiàng)求和公式的推導(dǎo)過(guò)程，在講解完教科書(shū)上的方法后，又運(yùn)用數(shù)學(xué)史上借助直觀、形象幾何圖形推導(dǎo)的方法進(jìn)一步解釋．教學(xué)過(guò)程如下：

首先，問(wèn)題情境．

教師引導(dǎo)學(xué)生探索下列問(wèn)題，這些是自然數(shù)的前n項(xiàng)和的特例．

1+2=

1+2+3=

1+2+3+4=

1+2+3+4+5=

…

1+2+3+4+5+…+n=

其次，歸納結(jié)論．

(1)引入古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”(如圖2).

圖2

生：第1個(gè)圖形表示的數(shù)是1；第2個(gè)圖形表示的是1+2；第3個(gè)圖形表示的是1+2+3；第4個(gè)圖形表示的是1+2+3+4．

師：用圖形表示數(shù)的方法在公元前6世紀(jì)就已經(jīng)出現(xiàn)．當(dāng)時(shí)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把自然數(shù)與小石子堆放的形狀相比擬．圖2中表示的數(shù)稱之為“三角形數(shù)”，它們正好表示從1開(kāi)始的多個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和．同學(xué)們想一想，能否用圖形來(lái)計(jì)算自然數(shù)的和？

(可提示學(xué)生將“三角形”補(bǔ)成平行四邊形．)

圖3

(2)運(yùn)用我國(guó)古代傳統(tǒng)的“垛積術(shù)”解決.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)展了中國(guó)傳統(tǒng)的“垛積術(shù)”，他把這一問(wèn)題中各項(xiàng)之間的結(jié)構(gòu)規(guī)律用相似結(jié)構(gòu)的“垛”來(lái)比擬(如圖4)．將“垛”補(bǔ)成方形(如圖5)，十分直觀、形象地化未知為己知，從而求得問(wèn)題的解．可讓學(xué)生累加長(zhǎng)方體木塊，找出規(guī)律．

把這一問(wèn)題進(jìn)一步推廣到一般的情形，即

圖4

圖5

最后，數(shù)學(xué)證明．

用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明(略)．

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊主張“科學(xué)史應(yīng)該是我們的指南”．同樣，數(shù)學(xué)史也應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南．由前面的闡述和教學(xué)案例可以看出，依托數(shù)學(xué)史開(kāi)展課堂教學(xué)可以看作是一種數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計(jì)理念和實(shí)施取向，它可以充分利用豐富的史料，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)發(fā)展的視角學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更全面、更深刻地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果．

3 數(shù)學(xué)史視角下的數(shù)學(xué)知識(shí)分類及其教學(xué)策略

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，有些新產(chǎn)生的知識(shí)是對(duì)原有知識(shí)的再精細(xì)和再深化.例如，相對(duì)于“角度制”，后出現(xiàn)的“弧度制”雖與“角度制”相通，但“弧度制”可極大簡(jiǎn)化原來(lái)感覺(jué)繁瑣的三角計(jì)算，這一新知識(shí)的出現(xiàn)為很多數(shù)學(xué)家所接受，這類知識(shí)稱之為常規(guī)時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)．但也有些知識(shí)，它們的產(chǎn)生對(duì)原有知識(shí)、原有思維觀念造成劇烈沖擊，甚至是顛覆性的．例如，無(wú)理數(shù)的出現(xiàn)使得畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條“萬(wàn)物皆數(shù)”陷入危機(jī)；非歐幾何的出現(xiàn)使得歐氏幾何的許多結(jié)論不再成立，等等，這類知識(shí)稱之為革命時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)．教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)采取不同的教學(xué)方法．

(1)在教學(xué)常規(guī)時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，引入數(shù)學(xué)史應(yīng)重在講授數(shù)學(xué)的研究方法.如前所述，常規(guī)時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)與原有知識(shí)在認(rèn)知觀念上變化不大．根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)時(shí)，可充分利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化新知識(shí)，而無(wú)需重新建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，這類知識(shí)的教學(xué)難點(diǎn)不是學(xué)生能不能理解新知識(shí)，而在于如何讓學(xué)生獲得建立在這些新概念、新結(jié)論上的研究方法．

例如，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)的重要研究分支．從歷史上看，解析幾何的出現(xiàn)雖然極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)發(fā)展，特別是代數(shù)與幾何的融合，但是它與原有的幾何知識(shí)、方程知識(shí)聯(lián)系密切，且是一脈相通，因此它屬于常規(guī)時(shí)期數(shù)學(xué)知識(shí)的范疇．教學(xué)解析幾何時(shí)，學(xué)生對(duì)新概念的理解問(wèn)題不大，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法和掌握“任何問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程求解”的解決問(wèn)題的思維方法．在數(shù)學(xué)發(fā)展中，數(shù)學(xué)家為探索或研究解析幾何，留下了許多的有價(jià)值的經(jīng)典問(wèn)題，教師對(duì)數(shù)學(xué)史中的經(jīng)典問(wèn)題或題目加以改編并運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)學(xué)生領(lǐng)會(huì)“數(shù)形結(jié)合”思想方法的實(shí)質(zhì)、感悟解析幾何在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)及其在數(shù)學(xué)發(fā)展中的價(jià)值都是非常有用的．借助史料，學(xué)生還可以透過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)和真理“冰冷的外表”，了解隱含在其背后的數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)“火熱的思考”，學(xué)到“活”的、“有生機(jī)”的數(shù)學(xué).這有助于營(yíng)造出一個(gè)渴望認(rèn)知、不斷探索且極富吸引力的學(xué)習(xí)情境，并易進(jìn)入學(xué)生的心靈，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動(dòng)力．

(2)在學(xué)習(xí)革命時(shí)期的數(shù)學(xué)概念時(shí)，引入數(shù)學(xué)史介紹概念的來(lái)龍去脈.在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)家們理解革命時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)，尚需改變認(rèn)識(shí)論和方法論，改變其科學(xué)觀念．對(duì)于學(xué)生而言，要了解這些知識(shí)更是談何容易．在教學(xué)中，教師要想方設(shè)法改變學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或創(chuàng)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，采用順應(yīng)學(xué)習(xí)的方式獲得新知識(shí)．最可行的方法就是：在講授這些新概念時(shí)，引入數(shù)學(xué)史，講清楚新概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程.目前的教材對(duì)這方面內(nèi)容的介紹非常欠缺，因此，在講解革命時(shí)期的數(shù)學(xué)概念時(shí)，引入相關(guān)數(shù)學(xué)史是十分必要的．

通過(guò)介紹虛數(shù)的發(fā)展過(guò)程，學(xué)生將會(huì)了解到虛數(shù)概念的來(lái)龍去脈，認(rèn)識(shí)到虛數(shù)發(fā)展的歷程．特別是這些數(shù)學(xué)史對(duì)于學(xué)生理解虛數(shù)概念、掌握虛數(shù)的運(yùn)算法將是有益的補(bǔ)充和重要的調(diào)和劑．

數(shù)學(xué)史有助于教師區(qū)分不同類型的數(shù)學(xué)知識(shí)．上面針對(duì)2類不同的數(shù)學(xué)知識(shí)提出的2種結(jié)合數(shù)學(xué)史的教學(xué)方法，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有益參考．但要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，2類數(shù)學(xué)知識(shí)不是完全割裂開(kāi)來(lái)的，2種教學(xué)方法的區(qū)分不是絕對(duì)的．在教學(xué)中，應(yīng)做到針對(duì)某類數(shù)學(xué)知識(shí)，采用有針對(duì)性的教學(xué)方法，而不能過(guò)于偏廢．概念教學(xué)與數(shù)學(xué)解題應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)之中．

綜上所述，從數(shù)學(xué)史的視角探析數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的重要方面，而且對(duì)于優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，都有著積極的現(xiàn)實(shí)意義．

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杭州師范大學(xué)科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目2011QDW215)