● (揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225000)

談幾種換元法在一道高考題中的應(yīng)用

●孟偉業(yè)束榮盛(揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225000)

面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接求解有困難，或不易下手，或由問(wèn)題的條件難以直接得出結(jié)論時(shí)，往往需要引入一個(gè)或幾個(gè)新“元”代換原問(wèn)題中的“元”，使得以新元為基礎(chǔ)的問(wèn)題求解比較簡(jiǎn)單，解決以后將結(jié)果倒回去恢復(fù)原來(lái)的元，即可得原問(wèn)題的結(jié)果.這種解決問(wèn)題的方法稱為換元法,又稱變量代換法.換元法的基本思想是通過(guò)變量代換，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，使問(wèn)題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解題目的[1].本文以一道高考試題為例，談?wù)剮追N換元法在解題中的應(yīng)用.

題目設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

1 目標(biāo)換元

在處理最值時(shí)，有時(shí)需要將要求的代數(shù)式自身看作一個(gè)未知變?cè)髂繕?biāo)換元，然后通過(guò)它建立關(guān)系式(等或不等)，并進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算，從而得出未知變?cè)闹?

解法1令t=2x+y，則

y=t-2x，

代入4x2+y2+xy=1，得方程

6x2-3tx+t2-1=0.

關(guān)于x的方程有根，故Δ≥0，即

9t2-4×6(t2-1)≥0，

解得

解法2由4x2+y2+xy=1，得

(2x+y)2-3xy=1，

即

而

即

令t=2x+y，則

評(píng)注解法1是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的一元二次方程問(wèn)題，然后用判別式法加以解決.判別式法是解決二次問(wèn)題的重要方法之一，但要注意檢驗(yàn).解法2是借助不等關(guān)系將所有的量都用目標(biāo)表示，從而使問(wèn)題得以解決.

2 比值換元

如果已知條件為比例式子或者可以看作比例，那么用比值代入可使其簡(jiǎn)化[1].本題中雖然y和x的關(guān)系并不是以比例式呈現(xiàn)的，但是考慮到條件是二元齊次式，故可以考慮用正比例函數(shù)(比值關(guān)系)將2個(gè)變量的依存關(guān)系揭示出來(lái)，進(jìn)而將二元條件最值問(wèn)題化歸為一元最值來(lái)求解.

解法3令y=kx，代入4x2+y2+xy=1并整理得

當(dāng)k=0時(shí)，(2x+y)2=1.

(2x+y)2∈[0,1).

3 三角換元

解法4將4x2+y2+xy=1配方得

令

即

從而

即

從而 (2x+y)2=4x2+y2+4xy=sin2θ+4cos2θ=

即

從而(2x+y)2=4x2+y2+4xy=sec2θ-4tan2θ=

4 均值換元

所以

即

即

5 和差換元

若x,y∈R，則可設(shè)x=a+b，y=a-b，這種變換稱為和差換元法.

整理得

6 常數(shù)換元

很多題目的條件中會(huì)出現(xiàn)等于常數(shù)(通常為1，若不為1可左右2側(cè)同時(shí)除以這一常數(shù)，即可化為1)的等式條件.若能有效地、創(chuàng)造性地處理常數(shù)，往往會(huì)給解題帶來(lái)意想不到的方便.

解法9(2x+y)2=4x2+4xy+y2=

下面的過(guò)程與解法3相似，在此不再贅述.

評(píng)注條件是齊二次式，而目標(biāo)是一次式，故考慮將目標(biāo)平方，湊出二次式，然后再靈活運(yùn)用常數(shù)“1”進(jìn)行代換.

7 極坐標(biāo)換元

方程4x2+y2+xy=1所表示的曲線方程是建立在直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)上的，若將其置于極坐標(biāo)系下來(lái)考慮，則會(huì)展現(xiàn)另一片精彩天地.

從而

t=2x+y=ρ(2cosθ+sinθ)，

即

t2=ρ2(sin2θ+4cos2θ+4sinθcosθ),

亦即

下面的過(guò)程也與解法3相似，此處略.

評(píng)注這里轉(zhuǎn)換了看問(wèn)題的視角，將問(wèn)題置于不同的坐標(biāo)系下考慮，給出了一種頗具創(chuàng)意的解法.這樣的解法之所以有效，還是得益于條件、結(jié)論均為齊次式，否則處理的難度將變大.

至此，筆者以一道高考題為例，給出了7種換元法在這道試題中的應(yīng)用.盡管換元法沒(méi)有固定模式，但在分析時(shí)，若能關(guān)注條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，探索條件與結(jié)論之間的聯(lián)系等，往往可以找到問(wèn)題解決的突破口.當(dāng)然對(duì)于這道題目的解決還有其他一些方法，有興趣的讀者可以查閱文獻(xiàn)[3]、[4].

[1] 李明振.數(shù)學(xué)方法與解題研究[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?2002:235-255.

[2] 陳向陽(yáng),周超.全國(guó)重點(diǎn)大學(xué)自主招生通用教程(數(shù)學(xué))[M].南京：南京大學(xué)出版社,2011:16-22.

[3] 傅建紅.從一道高考題看二元條件最值問(wèn)題的求解策略[J].數(shù)學(xué)教育研究,2011(5):55-56.

[4] 韓天禧,張昌盛.一道高考二元條件最值問(wèn)題的解法探究[J].新高考：高三數(shù)學(xué),2012(2):28-32.