● (溫州市第二中學(xué) 浙江溫州 325000)

數(shù)形結(jié)合速解離心率取值范圍問題

●李芳奇(溫州市第二中學(xué) 浙江溫州 325000)

0 引言

著名數(shù)學(xué)家拉格朗日曾經(jīng)說過：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄．但當(dāng)這2門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸收新鮮的活力，從而以快捷的步伐走向完美．”《浙江省普通高考考試說明》在對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查中明確指出：在考試中要有反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的試題．在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，有很多求圓錐曲線離心率取值范圍的問題，其中求離心率的值、求取值范圍的問題由于涉及到不等式與函數(shù)等綜合知識(shí)，方法靈活多變，難度相對(duì)較大．解決這類問題，可以通過代數(shù)分析運(yùn)算得出，可謂是通法，然而對(duì)于學(xué)困生甚至中等生，在處理過程中往往會(huì)顧此失彼，造成丟分．離心率具有明確的幾何意義，如果由“數(shù)”到“形”加以轉(zhuǎn)化，解題的過程相對(duì)會(huì)便捷很多，能大大地提高解題速度和正確率．那么，如何通過數(shù)形結(jié)合來巧解離心率取值范圍的問題呢？這就需要我們認(rèn)真分析題目，從題目中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，通過臨界情況的控制求解．

1 典型例題解讀

1.1 以漸近線為臨界位置的變化

漸近線控制著雙曲線的形狀，而雙曲線的形狀又與離心率相關(guān)，因此與雙曲線離心率有關(guān)的問題，可以考慮漸近線的位置．

例1已知雙曲線mx2-y2=1(m>0)的右頂點(diǎn)為A，若該雙曲線右支上存在點(diǎn)B,C使得△ABC為等腰直角三角形(如圖1)，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________.

(2011年溫州市高三數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性測(cè)試?yán)砜圃囶})

圖1

圖2

解法1根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可知A為△ABC的直角頂點(diǎn)，要求雙曲線右支上存在點(diǎn)B,C使得△ABC為等腰直角三角形，則過點(diǎn)A作傾斜角為45°的直線與雙曲線的交點(diǎn)即為點(diǎn)B.由

得

因?yàn)?/p>

且

所以

得

0

從而

e2=1+m∈(1,2),

得

點(diǎn)評(píng)解法1根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系，聯(lián)立并采用韋達(dá)定理求根，通過根的范圍加以限制，進(jìn)而求出m的取值范圍．而解法2是對(duì)雙曲線漸近線加以控制，無需聯(lián)立求根，雖然對(duì)思維的要求相對(duì)要高一些，但運(yùn)算量很小，經(jīng)過這樣的訓(xùn)練后，學(xué)生也較容易掌握．

(浙江省東陽(yáng)中學(xué)2012屆高三10月階段性數(shù)學(xué)考試?yán)砜圃囶})

得

點(diǎn)評(píng)根據(jù)例1的啟發(fā)，研究雙曲線的漸近線可控制雙曲線的形狀．此題需注意右焦點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)在y軸，則直線OP方程為y=x，不存在點(diǎn)P，即直線與雙曲線無交點(diǎn)．看似繁難的問題，實(shí)則解答步驟很簡(jiǎn)捷．在答題時(shí)應(yīng)注意分析題意，抓住解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)．

1.2 角度、長(zhǎng)度的變化控制

圖3

解法1設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n，由橢圓第一定義知，m+n=2a．由余弦定理可得

4c2=m2+n2-2mncos120°,

于是

(m+n)2-mn=4c2,

從而

得

3a2≤4c2，

即

解法2由直觀經(jīng)驗(yàn)可知，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)A處時(shí)，∠F1PF2最大(過程可以證明，思路參照解法1，設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n，根據(jù)余弦定理的變形公式

可知當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，∠F1PF2最大)．橢圓上恒存在一點(diǎn)P，使得∠F1PF2=120°，則∠F1AO≥60°，即

于是

即

點(diǎn)評(píng)解法1根據(jù)橢圓的第一定義，采用基本不等式求取值范圍，過程嚴(yán)謹(jǐn)而周密．解法2由直觀經(jīng)驗(yàn)可知，在短軸端點(diǎn)處取到最值，而當(dāng)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，∠F1PF2越來越小.大量的解題經(jīng)驗(yàn)和扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)會(huì)使我們?cè)诮忸}過程中產(chǎn)生直覺思維，直覺思維的產(chǎn)生需要細(xì)致入微的觀察力，它幫助我們尋找到解題的最快途徑．但直觀經(jīng)驗(yàn)有可能得出錯(cuò)誤的結(jié)論，與嚴(yán)密的推理相結(jié)合才能相得益彰．例3的變式題由于∠F1PF2=90°，可以通過作圓快速求解．

圖4

(2010年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解由題意得

且

a-c<|PF|≤a+c，

因此

得

a2-ac-2c2≤0,

從而

2e2+e-1≥0,

于是

點(diǎn)評(píng)充分挖掘題目中的幾何性質(zhì)，緊抓橢圓中線段長(zhǎng)度的有界性，摒棄繁瑣的代數(shù)運(yùn)算．求離心率的取值范圍的問題，要保留a,c這2個(gè)基本量．

2 精題集萃

2．斜率為2的直線過中心在原點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線的2個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上，求雙曲線離心率的取值范圍．

參考答案

[1] 王曉青.用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)探求圓錐曲線離心率的取值范圍[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011(6):40-41.

[2] 武增明.走進(jìn)圓錐曲線離心率的取值范圍的思維途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2009(11):3-5.