● (衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

看似平凡意蘊(yùn)不凡——2012年一道高考翻折題引發(fā)的思考與啟示

●傅建紅(衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

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A．存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AC與直線(xiàn)BD垂直

B．存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD垂直

C．存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC垂直

D．對(duì)任意位置，3對(duì)直線(xiàn)“AC與BD”、“AB與CD”、“AD與BC”均不垂直

這是2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題中的一道選擇題.初看，其背景樸實(shí)、平淡，是立體幾何中常見(jiàn)的翻折問(wèn)題.但細(xì)品之下你會(huì)發(fā)覺(jué)，此題雖題目簡(jiǎn)潔，但構(gòu)思新穎，可謂樸素中透著靈氣，脫俗中不失新穎，令人賞心悅目卻又回味悠長(zhǎng).題目借立體幾何中常規(guī)的矩形翻折問(wèn)題為載體，考查“動(dòng)態(tài)”變化過(guò)程中的線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系，入口“親切平和、似曾相識(shí)”，使不同層次的學(xué)生都會(huì)有一些思路，但要完全解決則需要一定的空間想象能力，尤其是應(yīng)具有思維的靈活性.本題作為選擇題最后一題，看似平淡卻意蘊(yùn)不凡，是試卷的一大亮點(diǎn).

1 預(yù)備知識(shí)

翻折問(wèn)題是立體幾何中的重要問(wèn)題.由于翻折使立體幾何由“靜態(tài)”轉(zhuǎn)化為“動(dòng)態(tài)”，因此，它能充分考查學(xué)生的抽象思維能力.由于翻折使得圖形中部分幾何元素的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，因此，如何捕捉這種變化過(guò)程中的不變性及相互關(guān)系是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.本文首先介紹翻折問(wèn)題中的有關(guān)性質(zhì)、公式，以便為下面的解答作一些鋪墊.

性質(zhì)1(平面翻折性質(zhì)Ⅰ)如圖1，將△ABC沿直線(xiàn)AB折起至△ABC1，則AB⊥CC1.

證明如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，聯(lián)結(jié)C1H，則C1H⊥AB(因?yàn)镃1H是CH經(jīng)平面翻折后的線(xiàn)段)，于是AB⊥平面C1HC，從而AB⊥CC1.

圖1

圖2

性質(zhì)2(平面翻折性質(zhì)Ⅱ)如圖2,將△ABC沿直線(xiàn)AB折起至△ABC1，設(shè)點(diǎn)C1在△ABC所在平面內(nèi)的射影為O，則OC⊥AB.

證明如圖2，因?yàn)镃1O⊥底面ABC，所以AB⊥C1O.又由性質(zhì)1知AB⊥CC1，于是AB⊥平面C1OC，從而AB⊥OC，即OC⊥AB.

說(shuō)明翻折問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是平面繞軸的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題.如圖1，在平面ABC繞軸AB旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，由于CH⊥AB，因此動(dòng)點(diǎn)C在空間運(yùn)動(dòng)的軌跡就是以點(diǎn)H為圓心、以CH為半徑的圓，顯然直線(xiàn)AB過(guò)圓心且垂直于這個(gè)圓，而C1C是該圓的一條弦，故AB⊥CC1.同理，由于C1O⊥底面ABC，可知C1O與OC也都在垂直于AB的這個(gè)圓內(nèi)，故AB⊥OC.

圖3

性質(zhì)3(三面角公式)如圖3，已知∠AOB=α,∠COB=β,∠AOC=γ,點(diǎn)B滿(mǎn)足AB⊥OB,CB⊥OB.設(shè)二面角A-OB-C的大小為θ，則

cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ.

AC2=b2tan2α+b2tan2β-2abtanαtanβcosθ,

從而在△AOC中，由余弦定理

將上述OA，OC，AC代入并整理即可得證.

說(shuō)明此性質(zhì)在立體幾何中稱(chēng)為三面角公式(也稱(chēng)三余弦公式)，它所刻畫(huà)的是由3條不共面的射線(xiàn)(此處即為OA，OB，OC)所構(gòu)成的3個(gè)平面(此處即為面AOB，BOC，AOC)中，已知某2個(gè)面內(nèi)2條射線(xiàn)所成的角以及這2個(gè)面的二面角，即可求出另一個(gè)面內(nèi)2條射線(xiàn)所成角.如上，已知α,β及θ即可求得γ.而且這種表示是任意的，如圖3，假設(shè)二面角B-OC-A的大小為φ，二面角C-OA-B的大小為δ，則同樣也有

cosα=cosγcosβ+sinγsinβcosφ,

cosβ=cosαcosγ+sinαsinγcosδ.

圖4

特別地，當(dāng)某二面角為90°時(shí)，比如θ=90°時(shí)，cosγ=cosαcosβ(三余弦).另外，此公式應(yīng)用的前提是3條射線(xiàn)共點(diǎn)但不共面，而且它們之間所成的角都是指射線(xiàn)與射線(xiàn)的夾角(這一點(diǎn)非常重要).若3條射線(xiàn)不共點(diǎn)(或不完全共點(diǎn))，比如圖4中的OA,OB,O1C，則必須將它們平移到同一點(diǎn)，并重新考慮3條射線(xiàn)兩兩所成的角，方可使用此公式.

2 解法思考

圖5

圖6

因此存在θ=60°使得cosγ=0，即γ=90°，故選項(xiàng)B正確(即選項(xiàng)D錯(cuò)誤).最后考慮選項(xiàng)C，假設(shè)射線(xiàn)DA與BC所成角為φ，同樣經(jīng)過(guò)平移，由性質(zhì)3可得

顯然不論θ取何值，cosφ恒不為0，即φ恒不等于90°，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故本題答案是B.

點(diǎn)評(píng)本題的難點(diǎn)在于“動(dòng)”，而翻折是引起“動(dòng)”的根源，它使得問(wèn)題時(shí)刻處于動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中，讓人感覺(jué)空靈無(wú)助、捉摸不定，不知從何處尋找問(wèn)題突破口.但辯證法告訴我們，事物的變化是有規(guī)律的，本文上述的性質(zhì)、公式正是把握了這種變化過(guò)程中的不變性和相互聯(lián)系，揭示了翻折問(wèn)題的客觀規(guī)律，不僅對(duì)本題，而且在其他翻折問(wèn)題中同樣具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.本題中，選項(xiàng)A的判斷使用了性質(zhì)1和性質(zhì)2，通過(guò)反證法使問(wèn)題獲得解決；而選項(xiàng)B和選項(xiàng)C的判斷均使用了性質(zhì)3(性質(zhì)3是解決立體幾何中線(xiàn)線(xiàn)角、二面角問(wèn)題的“利器”)，但性質(zhì)3運(yùn)用的前提條件是3條射線(xiàn)共點(diǎn)，而本題環(huán)境并不具備此條件，因此首先需要經(jīng)過(guò)平移來(lái)實(shí)現(xiàn)三線(xiàn)共點(diǎn)(務(wù)必考慮平移前后角度的變化)，然后再使用性質(zhì)3即可使問(wèn)題獲解.

思考2(空間向量法)我們知道，空間向量是解決立體幾何問(wèn)題的“利器”，用它來(lái)判斷線(xiàn)線(xiàn)垂直，只需考察其數(shù)量積是否為0.但在此翻折問(wèn)題中能否用得上呢？

圖7

由AM⊥底面CBD，得A0H⊥BD，從而

∠BA0H=∠A0DB.

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，則

從而

故

這說(shuō)明無(wú)論θ如何變化，AC與BD以及AD與BC均不可能垂直；而當(dāng)θ=60°時(shí)，AB⊥CD.故選B.

點(diǎn)評(píng)上述解法表明在翻折問(wèn)題中仍可使用空間向量法.但關(guān)鍵在于能否求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(定點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)簡(jiǎn)單)，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一旦突破，則整個(gè)問(wèn)題就會(huì)豁然而解，比如本題中點(diǎn)A的坐標(biāo).如前所述，翻折是引起圖形中一切“動(dòng)”的根源，但這種“動(dòng)”的最本質(zhì)數(shù)字特征是什么呢？其實(shí)就是翻折前后2個(gè)平面所成的二面角，而二面角的大小用其平面角來(lái)刻畫(huà)，因此，一旦我們作出二面角的平面角，那么動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)也就迎刃而解了.而在翻折問(wèn)題中，要作出二面角的平面角只要運(yùn)用前面的性質(zhì)2即可輕松解決.

圖8

思考3(三垂線(xiàn)定理法)回眸上述2種思路，均站在理性的高度上，從2個(gè)不同角度深入剖析問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，并逐漸揭開(kāi)了試題的“神秘面紗”.方法不可謂不巧妙，論證也不可謂不精到，對(duì)于數(shù)學(xué)探究而言確應(yīng)如此.但如果我們站在考生的立場(chǎng)上試想一下，作為一個(gè)選擇題，如此不計(jì)“成本”的“大動(dòng)干戈”值得嗎？筆者認(rèn)為，多數(shù)考生不會(huì)如此深入，這也有違命題者的初衷.那么，本題究竟要考查學(xué)生什么呢？其實(shí)，許多看似復(fù)雜問(wèn)題的背后往往隱藏著樸素的思想，本題實(shí)際考查的只是立體幾何中一個(gè)基本定理——三垂線(xiàn)定理.如圖8，過(guò)點(diǎn)C作CS⊥BD，則CS∥A0H.當(dāng)θ=180°時(shí)，點(diǎn)A在A0處；當(dāng)θ=0°時(shí)，點(diǎn)A在A1處，因此，當(dāng)θ從0°到180°的漸變過(guò)程中，動(dòng)點(diǎn)A在底面上的射影M的運(yùn)動(dòng)軌跡即為線(xiàn)段A1A0.設(shè)A1A0與BC的交點(diǎn)為P,先看選項(xiàng)A，由三垂線(xiàn)定理，如果AC⊥BD，則MC⊥BD，又CS⊥BD，從而點(diǎn)M,S重合，這是不可能的(因?yàn)镃S∥A1A0)；再看選項(xiàng)B，欲使AB⊥CD，只要MB⊥CD，而這一情形只要當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)即可實(shí)現(xiàn)(因?yàn)锽P⊥CD)；最后看選項(xiàng)C，欲使AD⊥BC，只要MD⊥BC，而CD⊥BC，故點(diǎn)M重合于點(diǎn)C，而這顯然也是不可能的(因?yàn)辄c(diǎn)M在有限的線(xiàn)段A1A0上運(yùn)動(dòng)).綜上可知，只有選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)評(píng)至此,終于完全掀起了題目的“蓋頭”，破譯了其中蘊(yùn)含的“神秘玄機(jī)”.原來(lái)本題真正考查的是翻折問(wèn)題中如何使用三垂線(xiàn)定理來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，但題目立意之深，內(nèi)涵之廣，背景之妙，使人感覺(jué)不露痕跡，不易識(shí)破.而且其“于平淡中見(jiàn)神奇，于常規(guī)中透奇意”的命題手法耐人尋味，真可謂是匠心獨(dú)具.為什么看似熟悉卻常常無(wú)從下手？為什么不能在第一時(shí)間運(yùn)用三垂線(xiàn)定理？究其原因是我們未能識(shí)破問(wèn)題背后蘊(yùn)含的玄機(jī)，具體來(lái)說(shuō)就是對(duì)翻折問(wèn)題的本質(zhì)(性質(zhì)1和性質(zhì)2)把握不夠，即使想到了三垂線(xiàn)定理，也似“霧里看花”難以真切.而如果我們了解翻折問(wèn)題的本質(zhì)，即知道動(dòng)點(diǎn)A在底面上的射影M的軌跡是一條垂直于“折痕”(二面角的棱)BD的線(xiàn)段A0A1，這時(shí)再利用三垂線(xiàn)定理那就顯而易見(jiàn)了.

3 教學(xué)啟示

3.1 高三復(fù)習(xí)要善于“借題發(fā)揮”

本題源于一類(lèi)常見(jiàn)的立體幾何翻折問(wèn)題，命題者將設(shè)問(wèn)進(jìn)行了巧妙地移植.經(jīng)過(guò)包裝的試題給人“似曾相識(shí)”的感覺(jué)，但又與平時(shí)的題目不一樣，使依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”的考生不占優(yōu)勢(shì)，因此，它能很好地考查學(xué)生的真實(shí)水平.為什么考生對(duì)此“似曾相識(shí)”卻往往又無(wú)從下手？根本原因是：雖然平時(shí)遇到過(guò)類(lèi)似問(wèn)題，但都未能從本質(zhì)上搞清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，即未能真正領(lǐng)會(huì)其精髓，一旦重新遇到，雖表面“似曾相識(shí)”而實(shí)際卻無(wú)可奈何，只能望題興嘆.那么針對(duì)這一現(xiàn)象，作為主導(dǎo)者的教師，應(yīng)如何應(yīng)對(duì)？《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn))指出：要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維淹沒(méi)在形式化的海洋中.因此，筆者認(rèn)為，教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中(尤其是在高三復(fù)習(xí)階段)，要引領(lǐng)學(xué)生借練習(xí)、試卷中出現(xiàn)的類(lèi)似“好題”(有探究?jī)r(jià)值的習(xí)題)為載體，進(jìn)行“借題發(fā)揮”多方演繹，充分挖掘問(wèn)題本質(zhì).具體地說(shuō)就是與學(xué)生一起對(duì)“好題”進(jìn)行深入地剖析、引申、類(lèi)比，讓學(xué)生“親歷”知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全部過(guò)程.在此過(guò)程中，教師要舍得花時(shí)間，切忌淺嘗輒止、就題論題.這種“借題發(fā)揮”看似浪費(fèi)了時(shí)間，實(shí)際觸及問(wèn)題的核心和思維的靈魂，使學(xué)生能真正領(lǐng)會(huì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，因此常可收到事半功倍的效果.

3.2 立體幾何教學(xué)應(yīng)注重“雙管齊下”

立體幾何是新課程教材中變化最大的一塊內(nèi)容，其考查內(nèi)容兼顧傳統(tǒng)幾何法和空間向量法.但隨著空間向量的引入，它以其在求空間角、空間距離方面的巨大優(yōu)勢(shì)而越來(lái)越受到師生的關(guān)注和喜愛(ài)，成為了解決立體幾何問(wèn)題的首選方法，大有后來(lái)居上取代傳統(tǒng)幾何法地位之勢(shì)，這使得有些傳統(tǒng)的幾何方法被逐漸地淡化，有些甚至被打入“冷宮”不再提及(比如三面角公式).針對(duì)這一現(xiàn)象，筆者認(rèn)為此舉頗不可取，傳統(tǒng)幾何在中學(xué)教材中由來(lái)已久，它的存在必定有其合理性和價(jià)值，誠(chéng)然，向量法因關(guān)注計(jì)算淡化技巧，?？山档蛦?wèn)題的思維難度，使學(xué)生容易上手.但是在有些問(wèn)題中，尤其是在證明題中，使用傳統(tǒng)幾何法的定理來(lái)證明常顯得十分簡(jiǎn)捷明快，而使用向量法則顯得異常繁瑣、笨重，況且空間向量法的前提是建系并標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，而在某些“惡劣”環(huán)境下，建系標(biāo)點(diǎn)將是十分困難的(比如本題的翻折環(huán)境)，這時(shí)利用向量法不僅沒(méi)有優(yōu)勢(shì)，而且增加了問(wèn)題的難度，使簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化.因此，筆者認(rèn)為，幾何法和向量法在立體幾何教學(xué)中應(yīng)兩者兼顧，雙管齊下，不能厚此薄彼，甚至顧此失彼.

3.3 臨場(chǎng)應(yīng)試仍需要策略指導(dǎo)

筆者對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有部分成績(jī)好的學(xué)生沒(méi)有答對(duì)本題，而一些平時(shí)成績(jī)一般的學(xué)生反而答對(duì)(如：高考成績(jī)?yōu)?31的學(xué)生甲答錯(cuò)問(wèn)題，而高考成績(jī)?yōu)?2分的學(xué)生乙答對(duì)問(wèn)題).筆者經(jīng)了解后得知，生甲一開(kāi)始就從正面突破，但沒(méi)算出來(lái)，之后就放著先做下面的題目，到后來(lái)就沒(méi)時(shí)間了，只能胡亂猜一個(gè)，結(jié)果猜錯(cuò)了；而生乙根本沒(méi)有去計(jì)算(其實(shí)不會(huì))，只是用一張矩形的草稿紙折了一下，通過(guò)直觀操作大致猜了一個(gè)最有可能的答案，結(jié)果剛好猜對(duì)了.這一現(xiàn)象說(shuō)明：立體幾何中動(dòng)手操作、直觀感受有時(shí)也是一種有效方法.生甲采取的是“小題大做”，而生乙采取的是“小題小做”，解答的不同策略導(dǎo)致了不同的結(jié)果.回想新課程中立體幾何的許多性質(zhì)、結(jié)論并不要求學(xué)生嚴(yán)格證明，而只需直觀感受、操作確認(rèn)，因此筆者認(rèn)為命題者是鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用猜想的方法解決該題的，生乙的解法正與這種思想不謀而合.由此可見(jiàn)，高考應(yīng)試的策略也是極為重要的，教師應(yīng)根據(jù)不同程度的學(xué)生給予不同的指導(dǎo)，做到有的放矢、對(duì)癥下藥.

[1] 沈良.例談空間幾何中翻折問(wèn)題的解決策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2011(7)：33-36.

[2] 莊豐.貌似平淡 內(nèi)涵豐富[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2011(10)：13-15.