秦 進(jìn)，付茂臣，任澤民

（1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州 遵義563002；2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400030）

圖像分割是低層圖像處理的基本問(wèn)題之一，目的是把目標(biāo)從圖像背景中分離出來(lái)。目前，已提出很多圖像分割的方法，基于水平集的幾何活動(dòng)輪廓模型能較好地解決圖像中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變的分割問(wèn)題而被廣泛應(yīng)用[1-3]?；舅枷隱3-5]是：把演化曲線（活動(dòng)輪廓）隱含地表示為一個(gè)高一維函數(shù)（水平集函數(shù)）的零水平集，水平集函數(shù)在一個(gè)偏微分方程（組）的控制下進(jìn)行演化，直到零水平集演化到圖像的目標(biāo)邊緣為止。

幾何活動(dòng)輪廓模型通?？煞譃檫吘壞Ｐ秃蛥^(qū)域模型兩大類。它們?cè)趫D像分割應(yīng)用中各有千秋，分割效果的優(yōu)劣取決于圖像所具有的特征。本文討論邊緣模型。

邊緣模型[1-5]主要依賴邊緣停止函數(shù)使演化曲線停止在目標(biāo)邊界上，距離保持水平集方法[6]就屬于這種模型。該方法引入內(nèi)能量泛函來(lái)糾正水平集函數(shù)與符號(hào)距離函數(shù)的偏差，因此無(wú)需在演化過(guò)程中再周期性初始化水平集函數(shù)。同時(shí)，該方法可采用簡(jiǎn)單的有限差分法和較大的時(shí)間步長(zhǎng)求解相應(yīng)的偏微分方程，大大提高了水平集演化的速度。然而，這種方法仍然存在明顯的缺點(diǎn)：（1）模型以圖像的一階微分（梯度模）平滑度量為基礎(chǔ)，不能適應(yīng)仿射變換，可能會(huì)直接影響模型的實(shí)際應(yīng)用；（2）初始嵌入函數(shù)與被分割圖像無(wú)關(guān)，當(dāng)初始輪廓與目標(biāo)邊緣較遠(yuǎn)時(shí)，其位置將直接影響分割時(shí)間；（3）能量泛函的權(quán)系數(shù)不能根據(jù)圖像信息自適應(yīng)調(diào)整符號(hào)和大小，因此零水平

考察區(qū)域內(nèi)數(shù)據(jù)之和最小，則白色橢圓必須“演變”成楓葉的形狀，使考察區(qū)域的邊緣“停止”在區(qū)域交界的二階微分過(guò)“零點(diǎn)”處。這樣可利用圖像灰度值二階微分在“零點(diǎn)”附近，正負(fù)符號(hào)相反的效應(yīng)，構(gòu)造新的能量控制泛函。

順便指出，由于 B（x，y）=B（x）×B（y）的乘積可分的性質(zhì)，故可利用 B（x）和 B（y）兩個(gè)一維濾波器，分別在水平和垂直方向獨(dú)立卷積，來(lái)降低算法時(shí)間復(fù)雜度；另一方面，從式（6）也得到，二維算子 B（x，y）具有保持仿射變換的性質(zhì)。

2.2 結(jié)合擴(kuò)展LoB濾波的距離保持水平集演化

從2.1可知，改進(jìn)LoB邊緣檢測(cè)算子可以區(qū)分圖像邊緣區(qū)域和非邊緣區(qū)域，將圖像二階微分度量Le（g）作為嵌入函數(shù)的權(quán)值，求其加權(quán)面積，將得到一個(gè)代替式（1）等號(hào)右側(cè)的第三項(xiàng)新的能量泛函

其中，φ是嵌入函數(shù)。

利用梯度下降法極小化被式（7）替換后的式（1）這個(gè)泛函，得到新的控制水平集演化的偏微分方程

3 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

在數(shù)值實(shí)現(xiàn)（8）時(shí)，Dirac函數(shù) δ（x）采用了式（5）定義的正則化Dirac函數(shù)。本文實(shí)驗(yàn)選取ε=1.5。

假設(shè)Ω0是圖像區(qū)域Ω的一子集，?Ω0是Ω0的所有邊界點(diǎn)的集合，初始水平集函數(shù)φ0可以如下定義

式中，ρ＞0為常數(shù)，一般取值為ρ≥2ε，由于二階微分度量Le（g）的邊緣特征比較明顯，故初始嵌入函數(shù)的選擇可以很平坦，如ρ=1。

對(duì)于式（8）的第一項(xiàng)，拉普拉斯算子△φ的離散，可采用簡(jiǎn)單的4鄰點(diǎn)差分格式，即

而散度部分用中心差分法近似代替φx，φy為

進(jìn)一步單位化

故

對(duì)于新的項(xiàng)新增加的速度保持項(xiàng)目是常數(shù)，直接使用圖像的空間離散化，即

式（8）涉及第二項(xiàng)可采用具有二階精度的中心差分格式實(shí)現(xiàn)。采用“半點(diǎn)離散化”方案。

由于

上式中的每一項(xiàng)，可以用φ和g在整點(diǎn)的值近似表達(dá)。先離散化上式第一項(xiàng)有

所以

其他幾項(xiàng)處理方式類似，得到

采用迎風(fēng)方案，得到公式（8）的顯式方案

其中，

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文方法對(duì)有尖角、狹窄邊界的目標(biāo)分割效果較好，可按照人們的需求得到分割目標(biāo)的內(nèi)外輪廓，同時(shí)較原模型演化速度提高了近10倍。

在所有實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于兩個(gè)模型共有的參數(shù)（λ、ν、μ等），取值與文獻(xiàn)[9]一致。核函數(shù)參數(shù)σ與原文一致，按照n=σ2/pq的關(guān)系確定二項(xiàng)式濾波的參數(shù)。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是操作系統(tǒng)為Windows XP的PC（3.00GHz CPU/256MB內(nèi)存）,程序用MATLAB 7.1編寫。

在圖2中給出了本文方法和文獻(xiàn)[10]的分割對(duì)比結(jié)果。大量試驗(yàn)證明：本文方法提高了近10倍的演化速度。而在細(xì)節(jié)捕獲方面，本文方法分割的目標(biāo)邊緣精確度要高于文獻(xiàn)[10]。

圖2（1）給出了一幅帶有尖角特征的楓葉（128×128）圖像分割結(jié)果。本文方法，迭代20次（如圖2（a））后就較好的分割出目標(biāo)，特別是對(duì)楓葉的葉尖角細(xì)節(jié)捕獲較好；而文獻(xiàn)[10]方法迭代300次只可以粗略找到目標(biāo)邊界（如圖 2（b））。

圖2（2）是一幅典型的帶有深陷特征、狹窄縫隙的（128×128）圖像。經(jīng)過(guò)25次迭代本文方法就達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，精確捕獲到目標(biāo)的邊緣（如圖2（c））；而文獻(xiàn)[10]經(jīng)過(guò)300次迭代卻只是大致分割出目標(biāo)的外邊緣，而在具有較深凹陷的區(qū)域分割也不理想（如圖2（d））。

圖2 本文與文獻(xiàn)分割結(jié)果與演化次數(shù)

有些條件下，人們可能對(duì)目標(biāo)輪廓的需求不同。適當(dāng)調(diào)節(jié)本文方法加權(quán)面積的系數(shù)，就得到目標(biāo)內(nèi)外邊緣。圖3是83×65細(xì)胞圖像的分割結(jié)果，當(dāng)ν=2．7 時(shí)，細(xì)胞的內(nèi)外輪廓均被檢測(cè)到（如圖 3（a））；當(dāng)ν=0．9 時(shí)，得到的僅僅是細(xì)胞的外輪廓（如圖 3（b）），而文獻(xiàn)[10]方法無(wú)論系如何選取只能得到細(xì)胞圖像的外輪廓（如圖 3（c））。

圖3 兩種方法的細(xì)胞圖像分割結(jié)果與演化次數(shù)

5 結(jié)論

本文提出的擴(kuò)展LOB濾波的距離保持水平集方法很好地克服了原方法的上述缺點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)表明，這種改進(jìn)在快速、精確定位更豐富的目標(biāo)邊緣，分割目標(biāo)內(nèi)、外輪廓特征方面效果明顯。

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