趙 言，花向紅，尹志永

（1．武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢430079；2．天津測(cè)繪院，天津300381；3．武漢大學(xué) 災(zāi)害監(jiān)測(cè)與防治研究中心，湖北 武漢430079）

基于定權(quán)的多因子線性擬合方法研究

趙 言1，2，花向紅1，3，尹志永2

（1．武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢430079；2．天津測(cè)繪院，天津300381；3．武漢大學(xué) 災(zāi)害監(jiān)測(cè)與防治研究中心，湖北 武漢430079）

通過(guò)綜合曲線擬合與多因子線性擬合的特點(diǎn)，提出基于定權(quán)的多因子線性擬合方法用于多因子變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理，實(shí)現(xiàn)基于定權(quán)的多因子線性擬合模型的建模過(guò)程，并與多元線性回歸結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，同時(shí)對(duì)沉降變形監(jiān)測(cè)的沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，驗(yàn)證模型的可行性和實(shí)用性。

定權(quán)；多因子；線性擬合；變形監(jiān)測(cè)；變形預(yù)報(bào)

隨著現(xiàn)代測(cè)量數(shù)據(jù)處理技術(shù)的不斷發(fā)展進(jìn)步，適用于多因子變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理的方法逐漸增多，如多元線性回歸、逐步回歸、GM（1，n）等模型。這些多因子數(shù)據(jù)處理方法各有其特點(diǎn)和適用性，多元線性回歸是利用所有因子等權(quán)重建模，但實(shí)際情況則是各個(gè)因子對(duì)監(jiān)測(cè)變化量的影響程度不同，等權(quán)重對(duì)待不合理。本文通過(guò)多因子變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中權(quán)重分配方法的研究，提出基于定權(quán)的多因子線性擬合法，即通過(guò)單個(gè)因子變量建立監(jiān)測(cè)值的曲線擬合模型，利用擬合值與實(shí)際監(jiān)測(cè)值之間的差，確定每一個(gè)因子對(duì)監(jiān)測(cè)變化量的影響程度。根據(jù)每個(gè)因子對(duì)監(jiān)測(cè)變化量的影響程度和曲線擬合模型擬合值進(jìn)行多因子線性擬合，利用后驗(yàn)差方法檢驗(yàn)基于定權(quán)的多因子線性擬合模型的精度，并將基于定權(quán)的多因子線性擬合模型引入變形監(jiān)測(cè)中處理多因子沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)某城市整體下沉監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理，并與常規(guī)多元線性回歸結(jié)果進(jìn)行比較分析，驗(yàn)證其可行性與實(shí)用性。

1 基于定權(quán)的多因子線性擬合模型

基于定權(quán)的多因子擬合模型由兩部分組成，第一部分是利用每一個(gè)因子分別進(jìn)行曲線擬合和確定每一個(gè)因子對(duì)監(jiān)測(cè)變化量的影響程度；第二部分是利用第一部分求解得到的每個(gè)因子的擬合值和影響程度進(jìn)行多因子線性擬合。

1．1 曲線擬合與確定因子的影響程度

在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，假設(shè)某地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)變化量為y，y是隨變量因子x1，x2，x3，…，xk變化而變化的函數(shù)，分別針對(duì)每一個(gè)變量因子xi利用曲線擬合法建立相應(yīng)的yi函數(shù)。假設(shè)y＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，令

1．2 多因子線性擬合

根據(jù)式（2）求得的每個(gè)因子對(duì)應(yīng)的擬合值和式（7）求得的每個(gè)因子的影響程度，對(duì)監(jiān)測(cè)變化量進(jìn)行多因子線性擬合，擬合值為＾yi，如式（8）所示。

由式（8）計(jì)算得到的值即為基于定權(quán)的多因子線性擬合模型擬合值，根據(jù)建立的模型公式可以進(jìn)行監(jiān)測(cè)變化量的內(nèi)插及預(yù)測(cè)。

在進(jìn)行線性擬合過(guò)程中，如果某個(gè)因子或某些因子的權(quán)很小，以至于在擬合過(guò)程中可以忽略，那么可以考慮從擬合方程中刪除該因子，此外，如果某個(gè)因子的變化趨勢(shì)在過(guò)程中出現(xiàn)較多次突變，也可以考慮剔除該因子。在剔除時(shí)，把刪除因子的權(quán)按照剩余因子的權(quán)重比值加到其他因子的權(quán)上，如第i0個(gè)因子權(quán)值太小，需要?jiǎng)h除，Pi0的值分配如下：

根據(jù)式（9）求得的剩余各因子的權(quán)，那么刪除變量因子后的模型擬合預(yù)測(cè)方程變?yōu)?/p>

由式（10）計(jì)算得到的值即為刪除個(gè)別影響很小因子后的基于定權(quán)的多因子線性擬合值，可以根據(jù)該模型公式進(jìn)行監(jiān)測(cè)變化量的內(nèi)插及預(yù)測(cè)。

2 基于定權(quán)的多因子線性擬合模型精度檢驗(yàn)

對(duì)基于定權(quán)的多因子線性擬合模型精度（即模型擬合程度）評(píng)定的方法可以采用后驗(yàn)差方法進(jìn)行檢驗(yàn)，后驗(yàn)差檢驗(yàn)是對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)，它由后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P共同描述。

假 設(shè) 原 始 觀 測(cè) 數(shù) 據(jù) 序 列 x（0）＝ ｛y（0）（1），y（0）（2），…，y（0）（n）｝，由基于定權(quán)的多因子線性擬合模型得xˉ（0）＝｛＾y（0）（1），＾y（0）（2），…，＾y（0）（n）｝，計(jì)算殘差

Δ（k）＝y(tǒng)（0）（k）－＾y（0）（k），k ＝1，2，3，…，n．

記原始數(shù)列x（0）及其殘差數(shù)列Δ的方差分別為S21、S22，則

可得，后驗(yàn)差比值C＝S2／S1，小誤差概率P＝｛｜Δ（k）｜＜0．674 5 S1｝。

表1列出了根據(jù)C、P取值的模型精度等級(jí)。模型精度等級(jí)判別式為

模型精度等級(jí)＝max｛P所在的級(jí)別，C所在的級(jí)別｝。

表1 模型精度等級(jí)

3 實(shí)例分析

3．1 基于定權(quán)的多因子線性擬合模型與多元線性回歸模型精度比較

根據(jù)以上基于定權(quán)的多因子線性擬合模型建模原理，利用某城市41年的地表沉降數(shù)據(jù)和與之相關(guān)的3個(gè)因子（時(shí)間因子、地下水采用量與回灌累積差、降雨量與蒸發(fā)量累積差）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)（見(jiàn)文獻(xiàn)［2］），取其中連續(xù)的25期（見(jiàn)表2，（前20期用于建模，后5期用于模型預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)））進(jìn)行建模分析。從表2中可以看出，地表沉降累積量逐漸增大，時(shí)間因子、地下水采用量與回灌累積差也是不斷增大的，而降雨量與蒸發(fā)量累積差在監(jiān)測(cè)期間呈現(xiàn)升降變化，有時(shí)出現(xiàn)突變。因此，考慮連續(xù)性變化的要求，不選用第三個(gè)因子。對(duì)基于定權(quán)的多因子線性擬合模型經(jīng)計(jì)算求得P1＝0．498 9，P2＝0．501 2，即線性擬合表達(dá)式可寫(xiě)為式（11）中，y′ik為單因子曲線擬合值，＾yi為基于定權(quán)的多因子線性擬合模型擬合值。

為比較逐步回歸模型的擬合精度，同時(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做多元線性回歸建模分析，得到多元線性回歸擬合模型方程

利用式（11）和式（12）建立的模型方程，對(duì)用于建模的前20期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，具體結(jié)果如表2所示。（T為觀測(cè)時(shí)間，即時(shí)間因子，C1、C2分別對(duì)應(yīng)其他2個(gè)變量因子（地下水采用量與回灌累積差和降雨量與蒸發(fā)量累積差），Δh為沉降監(jiān)測(cè)值，Δh′為基于定權(quán)的多因子線性模型擬合值，Δh″為多元線性回歸模型擬合值）

對(duì)以上建立的基于定權(quán)的多因子線性擬合模型和多元線性回歸模型進(jìn)行模型精度檢驗(yàn)，驗(yàn)證其與實(shí)際監(jiān)測(cè)值擬合程度的效果。根據(jù)后驗(yàn)差法［1］模型檢驗(yàn)原理，分別計(jì)算S21、S′22和S″22。

表2 沉降監(jiān)測(cè)值與2種擬合模型比較

根據(jù)后驗(yàn)差法模型精度等級(jí)表［1］可知，基于定權(quán)的多因子線性擬合模型C′＜0．35且P′＞0．95，即模型等級(jí)為1級(jí)（好）；多元線性回歸模型，C″＜0．35且P″＞0．95，即模型等級(jí)為1級(jí)（好）。結(jié)果表明，處理監(jiān)測(cè)變化量和因子變化量都呈線性變化的數(shù)據(jù)時(shí)，基于定權(quán)的多因子線性擬合模型精度要比多元線性回歸模型精度高或者二者精度相當(dāng)。

因此，在處理呈線性連續(xù)變化的多因子監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，除了選擇多元線性回歸外，可以考慮采用基于定權(quán)的多因子線性擬合模型。

從以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)可以看出，基于定權(quán)的多因子線性擬合模型是在曲線擬合模型的基礎(chǔ)上，分別就單一因子變量建立曲線擬合模型，然后再根據(jù)擬合模型差值求出各個(gè)因子對(duì)監(jiān)測(cè)變化量的影響程度，進(jìn)而確定各因子線性擬合方程的系數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)多因子監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的建模和擬合過(guò)程，在處理呈線性連續(xù)變化的多因子數(shù)據(jù)時(shí)表現(xiàn)出比多元線性回歸模型更高的精度?；诙?quán)的多因子線性擬合模型與多元線性回歸模型擬合效果對(duì)比如圖1所示。

圖1 實(shí)際沉降監(jiān)測(cè)值與基于定權(quán)的多因子線性擬合值及多元線性回歸擬合值比較

從圖1中可以看出，基于定權(quán)的多因子線性擬合模型擬合效果比多元線性回歸的擬合效果好一些，且同實(shí)際沉降變化線的擬合程度很高。

3．2 基于定權(quán)的多因子線性擬合模型預(yù)測(cè)分析

根據(jù)建立的基于定權(quán)的多因子沉降監(jiān)測(cè)線性擬合模型，對(duì)未來(lái)5期沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，如表3（T為觀測(cè)周期，Δh為實(shí)際沉降監(jiān)測(cè)值，Δh′為多基于定權(quán)的多因子線性擬合模型預(yù)測(cè)值）所示。

表3 基于定權(quán)的多因子線性擬合模型預(yù)測(cè)值

由表3可以看出，95年沉降預(yù)測(cè)值誤差為0．010 4 m，96年沉降預(yù)測(cè)值誤差為 0．025 7 m，97年沉降預(yù)測(cè)值誤差為0．003 53 m，模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際測(cè)量沉降值相差較小，誤差率低，但是，隨著預(yù)測(cè)期數(shù)的增加誤差率逐漸增大，當(dāng)誤差率增大到一定值（一般為10%）則建立的擬合模型不再適用于預(yù)測(cè)。因此，在實(shí)際預(yù)測(cè)分析中要控制預(yù)測(cè)的周期數(shù)（一般控制在3期內(nèi)），進(jìn)行短周期預(yù)報(bào)分析。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)曲線擬合與多因子線性擬合模型的研究，提出基于定權(quán)的多因子線性擬合模型，給出模型的建模原理，用后驗(yàn)差方法檢驗(yàn)其模型精度，并以分析處理沉降變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，利用沉降變化數(shù)據(jù)建立基于定權(quán)的多因子線性擬合模型，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析處理并與常規(guī)多元線性回歸模型擬合值相比較。結(jié)果表明，基于定權(quán)的多因子線性擬合模型具有較好的預(yù)測(cè)分析效果，可用于處理變形監(jiān)測(cè)中與多個(gè)因子相關(guān)且呈線性連續(xù)變化的測(cè)量數(shù)據(jù)。

［1］黃聲享，尹暉，蔣征．變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理［M］．武漢：武漢大學(xué)出版社，2010．

［2］陳正松．上海地區(qū)地面沉降的分析與預(yù)測(cè)［D］．武漢：武漢大學(xué)，2008：30－31．

［3］陶本藻，藍(lán)悅明．?dāng)?shù)字化曲線的最佳擬合［J］．工程勘察，2004（3）：46－47．

［4］葛朝霞，薛梅，宋穎玲．多因子逐步回歸周期分析在中長(zhǎng)期水文預(yù)報(bào)中的應(yīng)用［J］．河海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，37（3）：255－257．

［5］楊敏，盧俊義．上海地區(qū)深基坑周圍地面沉降特點(diǎn)及其預(yù)測(cè)［J］．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，38（2）：194－198．

［6］丁克良，歐吉坤，趙春梅．正交最小二乘曲線擬合法［J］．測(cè)繪科學(xué)，2007，32（3）：18－21．

Study on the multiple factors linear fitting methods based on weights－making

ZHAO Yan1，2，HUA Xiang－h(huán)ong1，3，YIN Zhi－yong2
（1．School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079，China；2．Tianjin Institute of Surveying and Mapping，Tianjin 300381，China；3．Hazard Monitoring and Prevention Research Center，Wuhan University，Wuhan 430079，China）

By synthesizing the characteristics of curve fitting and multiple factors linear fitting，the multiple factors linear fitting model was presented to dispose the displacement monitoring data，realized the modeling process，and compared with the result of multivariate linear regression．Then by analysing the model of displacement monitoring data to verify the feasibility of the application of multiple factors linear fitting model to subsidence monitoring．

weights－making；multiple factors；linear fitting；deformation monitoring；deformation predicting

TU196

A

1006－7949（2012）04－0005－04

2011－07－09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41074025）

趙 言（1988－），男，碩士研究生．

［責(zé)任編輯劉文霞］