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        從加權(quán)Bloch空間到Qk(p,q)空間上的復(fù)合算子

        2012-11-14 08:48:14龍見仁伍鵬程
        關(guān)鍵詞:鵬程測度算子

        龍見仁,伍鵬程

        (貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州貴陽 550001)

        從加權(quán)Bloch空間到Qk(p,q)空間上的復(fù)合算子

        龍見仁,伍鵬程*

        (貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州貴陽 550001)

        復(fù)合算子; 加權(quán)Bloch空間;Qk(p,q)空間; K-Carleson測度; 緊性; 有界性

        1 引言及主要結(jié)果

        D上廣義加權(quán)Bloch空間和廣義加權(quán)小Bloch空間,其定義分別為:

        文獻(xiàn)[5]研究了一類M?bius不變的函數(shù)空間,被稱為QK(p,q)空間.其定義是,設(shè)0

        (a)K為非減函數(shù);

        (b)K在(0,1)上二階可微;

        (d)K(t)=K(1) (t≥1);

        (e)K(t)≈K(2t) (t≥0);

        則稱dμ為緊K-Carlerson測度.

        本文中C表示正常數(shù),且在不同的地方可以不同,A≈B意味著存在正常數(shù)C,C′,使得CA≤B≤C′A.

        本文主要證明以下結(jié)果.

        K(g(z,a))dA(z)<∞.

        (1)

        定理3 令K(r)在[0,∞)上非負(fù)非減,1≤p<∞,-2

        戶名:中國氣象局氣象探測中心,賬號:4043200001819900025525, 開戶行:華夏銀行北京紫竹橋支行

        K(g(z,a))dA(z)=0.

        (2)

        2 引理

        為證明上述定理,需要以下一些引理.

        引理3[13]假設(shè)權(quán)函數(shù)K滿足條件(f),則

        (1)D上的正測度dν為K-Carlerson測度當(dāng)且僅當(dāng)

        (2)D上的正測度dν為緊K-Carlerson測度當(dāng)且僅當(dāng)

        引理4 假設(shè)K滿足條件(a)和(e),則

        等價(jià).

        其中C是正常數(shù).

        引理6[3]令K(r)在[0,∞)上非負(fù)非減,0

        K(g(z,a))dA(z)<∞;

        K(g(z,a))dA(z)=0.

        利用緊算子的定義及Montel定理,容易證明引理7.

        3 定理的證明

        定理1的證明利用引理6知(1)?(3).

        (1)?(2)是顯然的.

        令s→1,于是條件(3)成立.

        (3)?(4),假設(shè)條件(3)成立.欲證條件(4)成立,由引理3,則只需證

        K(g(z,a))dA(z)<∞.

        于是條件(4)成立.

        于是條件(1)成立.從而定理1證畢.

        K(g(z,a))dA(z)≤

        K(g(z,a))dA(z)<∞.

        K(g(z,a))dA(z)=M<∞.

        因此

        K(g(z,a))dA(z)≤

        K(g(z,a))dA(z)

        K(g(z,a))dA(z)≤

        結(jié)合以上兩方面知

        定理3的證明(2)?(1),這是顯然的.

        K(g(z,a))dA(z)=0.

        于是條件(3)成立.

        (3)?(4),假設(shè)條件(3)成立.由引理3欲證

        為D上的緊K-Carleson測度,則需證

        K(g(z,a))dA(z).

        利用條件(3)得

        于是條件(4)成立.

        (4)?(1),假設(shè)

        為D上的緊K-Carleson測度,則由引理3得

        (4)?(2),假設(shè)

        因?yàn)?/p>

        為D上的緊K-Carleson測度,則由引理3得

        K(g(z,a))dA(z)≤

        K(g(z,a))dA(z),

        K(g(z,a))dA(z)<ε.

        由引理1及引理4得

        于是當(dāng)n≥N時(shí),

        K(g(z,a))dA(z)

        又fn(φ(0))→0 (n→∞).因此

        于是條件(2)成立.

        K(g(z,a))dA(z)≤

        K(g(z,a))dA(z)<ε.

        因此,

        K(g(z,a))dA(z)

        另一方面,

        結(jié)合上面兩方面,有

        (2)?(5)是顯然的.

        [1] ATTLE K. Toeplitz and Hankel on Bergman one space[J].Hokkaido Math,1992, 21:279-293.

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        [14] LI Songxiao,WULAN Hasi. Composition operators onQkspaces[J]. J Math Anal Appl,2007,327(2):103-122.

        Keywords: composition operator; weighted Bloch space;Qk(p,q) space; K-Carleson measure; compactness; boundedness

        CompositionOperatorsfromWeightedBlochSpacetoQk(p,q)Space

        LONG Jianren, WU Pengcheng*

        (Shool of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

        2011-01-11

        國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171080);貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目(LKS[2010]07)

        *通訊作者,wupc@gznu.edu.cn

        1000-5463(2012)01-0048-06

        O174.5

        A

        【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

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