尚朝陽

(南京財經大學 應用數(shù)學學院， 江蘇 南京 210046)

關于上(下)半連續(xù)函數(shù)的討論

尚朝陽

(南京財經大學 應用數(shù)學學院， 江蘇 南京 210046)

給出了拓撲空間上的上(下)半連續(xù)函數(shù)的概念及其等價命題,證明了上(下)半連續(xù)函數(shù)的一些基本性質, 最后介紹常用的Hardy-Littlewood極大函數(shù)的下半連續(xù)性以及弱下半連續(xù)泛函.

拓撲空間; 上(下)半連續(xù); 極大函數(shù); 泛函

0 引言

函數(shù)的連續(xù)性在分析學中有著重要的理論意義和應用價值,而如今人們對函數(shù)的連續(xù)性已經了解得較為透徹.在連續(xù)函數(shù)的理論及其應用的推動下,一些學者紛紛將連續(xù)的條件進行減弱,并且在此基礎上得出了許多漂亮和有用的結果,如函數(shù)的上(下)半連續(xù)性和泛函的弱上(下)半連續(xù)性等等. 函數(shù)的上(下)半連續(xù)性在廣義函數(shù)理論、積分理論以及凸分析等很多研究領域有著廣泛的應用[1,2]. 然而泛函的弱上(下)半連續(xù)性在極值理論中也有許多應用[3], 尤其重要的是在著名的Ekeland變分原理[3]及Caristi不動點定理[3]等方面的應用. 本文在文獻[4,5]的基礎上討論一般拓撲空間中上(下)半連續(xù)函數(shù)的幾個等價命題、四則運算性質、有界性、保半連續(xù)性以及半連續(xù)函數(shù)都可以用一致連續(xù)函數(shù)進行單調逐點逼近. 最后我們還介紹常用的Hardy-Littlewood極大函數(shù)的下半連續(xù)性和弱下半連續(xù)泛函,以及上(下)半連續(xù)函數(shù)的例子.

1 上(下)半連續(xù)性的概念和等價命題

定義1 設X是一個拓撲空間,f:X→R是定義在X上的一個實值函數(shù),x0∈X,稱f(x)在x0處上半連續(xù),如果?εgt;0,存在x0的一個鄰域U(x0),使得當x∈U(x0)時,恒有f(x)lt;f(x0)+ε.又稱f(x)在x0處下半連續(xù),如果?εgt;0,存在x0的一個鄰域U(x0),使得當x∈U(x0)時,恒有f(x)gt;f(x0)-ε.當且僅當f(x)在?x∈X處上(下)半連續(xù)時,稱f(x)在X中上(下)半連續(xù).

注1f(x)在x0處連續(xù)當且僅當f(x)在x0處既上半連續(xù)又下半連續(xù).

定理1 設f(x)是在度量空間X上的一個實值函數(shù),x0∈X. 則下列命題等價:

1)f(x)在x0處上半連續(xù);

3)?α∈R,集合{x∈X:f(x)lt;α}是開集.

3)?1) ?εgt;0,取α=f(x0)+ε,因為集合E={x∈E:f(x)lt;α}是開集且f(x0)lt;f(x0)+ε,故x0∈E,于是存在x0的一個鄰域U(x0),使得當x∈U(x0)時,有f(x)lt;f(x0)+ε.

注2 上半連續(xù)性與下半連續(xù)性是對偶概念. 以上只證明了上半連續(xù)的結果,同理可證明關于下半連續(xù)的相應結論.

推論1 1) 開集上的特征函數(shù)是下半連續(xù)的.

2) 閉集上的特征函數(shù)是上半連續(xù)的.

下證對?α∈R,A={x:χE(x)gt;α}是開集.當α≥1時,A=?是開集.當0≤αlt;1時,A=E是開集,當αlt;0時,A=X是開集.故?α∈R,A是開集.

要證明對?α∈R,A={x:χE(x)lt;α}是開集. 當αgt;1時,A=X是開集. 當0lt;α≤1時,A=EC是開集. 當α≤0時,A=?是開集. 因此?α∈R,A都是開集. 因此,由定理1可知1)和2)均成立.

推論2 1) 設{fn:n∈I}是X上的任意一族下半連續(xù)函數(shù),則其上確界也是下半連續(xù)的.

2) 設{fn:n∈I}是X上的任意一族上半連續(xù)函數(shù),則其下確界也是上半連續(xù)的.

2 上(下)半連續(xù)函數(shù)的一些基本性質

定理1(四則運算性質) 設f(x),g(x)均定義在拓撲空間X上的實值函數(shù),則有下列命題成立:

1) 若f(x),g(x)都上(下)半連續(xù),則f(x)+g(x)上(下)半連續(xù).

2) 若f(x)上(下)半連續(xù),則-f(x)為下(上)半連續(xù).

3) 若f(x)gt;0及g(x)gt;0且都上半連續(xù)(或f(x)lt;0及g(x)lt;0,且都下半連續(xù)),則它們的積f(x)g(x)為上半連續(xù).

4) 若f(x)gt;0上(下)半連續(xù),g(x)lt;0為下(上)半連續(xù),則f(x)g(x)下(上)半連續(xù).

證明1)和2)可通過上(下)半連續(xù)的定義直接得出.

3) 如果f(x)及g(x)gt;0且上半連續(xù),那么?εgt;0,?x0∈X,取

存在x0的一個鄰域U(x0),使得當x∈U(x0)時有0lt;f(x)lt;f(x0)+ε0,0lt;g(x)lt;g(x0)+ε0.

則有

f(x)g(x)lt;(f(x0)+ε0)(g(x0)+ε0)=f(x0)g(x0)+ε,故f(x)g(x)在X上上半連續(xù).

4) 當f(x)gt;0上半連續(xù),g(x)lt;0為下半連續(xù)時,有-g(x)gt;0為上半連續(xù),由3)知-f(x)g(x)為上半連續(xù),得f(x)g(x)為下半連續(xù)

注3 如果把上述推論中的下半連續(xù)函數(shù)換成上半連續(xù)函數(shù),則相應的結論不成立. 反例如下:

定理2 (有界性)設X是拓撲空間,如果f:E→R為上(下)半連續(xù)函數(shù),E?X且E是緊集,那么f在E上必有上(下)界,并且達到上(下)確界,即若f(x)在緊集E上上(下)半連續(xù),則

1)f(x)在E上有上(下)界,即?Mgt;0,使f(x)≤M,?x∈E(或?mlt;0,使m≤f(x), ?x∈E).

同理證明下半連續(xù)的有界性.

定理3 (保半連續(xù)性)設函數(shù)列fn(x)(n=1,2,…)在拓撲空間X上上半連續(xù),且fn(x)單調遞減趨于f(x),即f1(x)≥f2(x)≥…fn(x)≥fn+1(x)≥…,?x∈X

又因為fn(x)單調遞減趨于f(x),故有f(x)≤fn(x), 從而當x∈U(x0)時有f(x)lt;f(x0)+ε,于是f(x)在X上上半連續(xù).

類似地證明關于下半連續(xù)函數(shù)的保下半連續(xù)性結果.

下面給出上半連續(xù)函數(shù)的一種刻畫,即它可以作為單調一致連續(xù)函數(shù)序列的極限.

證明應用定理3可知充分性,下面證明必要性.

定義函數(shù)fn(x)=sup{f(p)-nd(x,p):p∈X},x∈X,則fn(x)(n=1,2,…)都是X上的有限函數(shù)并且由定義知函數(shù)序列{fn(x)}是單調遞減的.

由上確界的定義知,?εgt;0,存在p1∈X使得

fn(y)-εlt;f(p1)-nd(y,p1)

(1)

由函數(shù)的定義知

fn(x)≥f(p)-nd(x,p),?p∈X

(2)

當p取p1時,有

fn(x)≥f(p1)-nd(x,p1)

(3)

通過1)和3)且令ε→0+,有fn(x)-fn(y)≥nd(y,p1)-nd(x,p1)≥-nd(x,y),

再互換x,y,有fn(y)-fn(x)≥-nd(x,y),故有|fn(x)-fn(y)|≤nd(x,y),

注4 由上述定理可知,上半連續(xù)函數(shù)可用一致連續(xù)函數(shù)從上方來逼近,關于下半連續(xù)函數(shù)也有類似的結論,即下半連續(xù)函數(shù)也可用一致連續(xù)函數(shù)從下方來逼近.

3 上(下)半連續(xù)函數(shù)的一些常見的例子及應用

3.1 應用上(下)半連續(xù)的性質和等價刻畫判定常見函數(shù)的半連續(xù)性

1)D(x)在有理點處上半連續(xù),但不下半連續(xù).

2)D(x)在無理點的情況恰恰相反.

例2 Riemann函數(shù)

則有:1)R(x)在無理點處既上半連續(xù)又下半連續(xù).

2)R(x)在有理點處上半連續(xù),但不下半連續(xù).

由此可知Riemann函數(shù)在無理點處連續(xù),在有理點處不連續(xù).

3.2 半連續(xù)函數(shù)的兩個應用

利用半連續(xù)函數(shù)的相關性質來證明常用的Hardy-Littlewood極大函數(shù)是下半連續(xù)的可測函數(shù).

在Banach空間中,如果將上(下)半連續(xù)的條件適當減弱,可以得到泛函的弱上(下)半連續(xù)性及其相關性質.最后我們以泛函弱下半連續(xù)性的一個有趣例子來結束本文,而對于弱上半連續(xù)的泛函也有類似的結果.

[1] 黃金瑩,趙宇. 關于半連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的注記[J]. 高等數(shù)學研究,2010,32(2):91-92.

[2] 韋麗蘭. 預擬不變凸函數(shù)與半連續(xù)函數(shù)的關系[J]. 江西師范大學學報：自然科學版,2009,33(2):242-244.

[3] 孫經先. 非線性泛函分析及其應用[M]. 北京:科學出版社,2008.

[4] 盧天秀,朱培勇. 拓撲空間上半連續(xù)函數(shù)的一些性質[J]. 西南民族大學學報：自然科學版,2008,34(6):1133-1137.

[5] Walter Rudin. Real and Complex Analysis (Third Edition)[M]. Beijing: China Machine Press,2004.

[6] 華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析(上冊)[M]. 3版. 北京:高等教育出版社,2001.

[責任編輯：李春紅]

DiscussionsontheUpper(Lower)SemicontinuousFunctions

SHANG Zhao-yang

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing Jiangsu 210046)

In this paper, first we give the concepts of the upper(lower) semicontinuous functions on a topological space and their equivalent propositions, and then show a few basic properties of the upper(lower) semicontinuous functions, finally present the lower semicontinuity of common Hardy-Littlewood maximal functions and weakly semicontinuous functionals.

topological space; upper (lower) semicontinuous function; maximal function; functional

O29

A

1671-6876(2012)02-0137-05

2012-03-02

尚朝陽(1988-), 男, 江蘇無錫人, 碩士研究生, 研究方向為非線性泛函分析及其應用.