楊 帆

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

K-迭代函數(shù)系的若干性質(zhì)

楊 帆

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

由一族Kannan映射可以構(gòu)成一個K-迭代函數(shù)系(KIFS),Sahu已經(jīng)證明了該KIFS有唯一的吸引子. 本文在此基礎(chǔ)上研究含參量KIFS吸引子在Hausdorff度量下關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性,并討論KIFS的拼貼性質(zhì).

K-迭代函數(shù)系; 參數(shù)的連續(xù)依賴性; KIFS拼貼性質(zhì)

0 引言

1969年Kannan定義了一個新的映射——Kannan映射[1],它與一般意義上的壓縮映射相比具有更寬廣的條件.Kannan映射的不動點具有一些特殊的性質(zhì),許多學(xué)者對此進行了研究.文[2]研究了Kannan映射和Lipschitz映射存在不動點的條件.文[3]研究了Lipschitz型和Kannan型映射的不動點及迭代逼近的性質(zhì).Sahu等[4]利用Kannan映射構(gòu)造了一個K-迭代函數(shù)系(KIFS),并證明了該KIFS在一定的條件下存在唯一的吸引子.本文將在此基礎(chǔ)上研究含參量KIFS的吸引子在Hausdorff度量下關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性,并討論KIFS的一個拼貼性質(zhì).

1 K-迭代函數(shù)系及其關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性

設(shè)(X;d)是一個完備的度量空間.對于映射f:X→X,若存在一個實數(shù)α(0lt;αlt;1/2),使得對所有x,y∈X,有

d(f(x),f(y))≤α[d(x,f(x))+d(y,f(y))]

(1)

則稱f為X上Kannan映射,稱α為Kannan映射f的K-壓縮因子.

設(shè)fn,n=1,2,…,N,是一族Kannan映射,αn為fn的K-壓縮因子,則稱{X;fn,n=1,2,…,N}是一個K-迭代函數(shù)系.

設(shè)H(X)是由X的所有非空緊子集構(gòu)成的集族,在H(X)上定義Hausdorff度量h如下:

引理1[4]設(shè)fn:X→X,n=1,2,…,N,是一族連續(xù)的Kannan映射,fn的K-壓縮因子分別為αn,n=1,2,…,N.則映射F:H(X)→H(X):

是完備度量空間(H(X);h)上的連續(xù)Kannan映射,且其K-壓縮因子為α=max{α1,α2,…,αN},它存在唯一的不動點(吸引子)A∈H(X),滿足:

(2)

根據(jù)引理1,我們得到一個類似于式(1)的不等式:

h(F(B),F(C))≤α[h(B,F(B))+h(C,F(C))],?B,C∈H(X)

(3)

設(shè)(Λ;dΛ)為度量空間,映射fn:X×Λ→X,n=1,2,…,N滿足下列條件:

1) 對每個固定的λ∈Λ,fn為X上的Kannan映射,其K-壓縮因子αn滿足0lt;αnlt;1/2;

2) 對于每個固定的x∈X,fn為Λ上的連續(xù)函數(shù).

(4)

引理2 設(shè)(X;d)是完備度量空間,(Λ;dΛ)是緊度量空間.若含參量Kannan映射fn:X×Λ→X,n=1,2,…,N,滿足條件1)和2),則對?B∈H(X),G(B,λ)在Hausdorff度量下關(guān)于λ是連續(xù)的.

證明首先討論N=1的情況.設(shè)B∈H(X),λ1,λ2∈Λ,則有

因為B×Λ是緊集,f1(x,λ)在其上連續(xù),因此一致連續(xù).于是對任給εgt;0,存在δgt;0,對?y∈B,只要dΛ(λ1,λ2)lt;δ,就有

3.3 ATG9和小泡膜蛋白1 在酵母細胞中，ATG9來源于高爾基體膜的單層囊泡，這些ATG9囊泡在胞質(zhì)快速運動，并整合到自噬囊泡外膜上[14]。形成成熟自噬體后，哺乳動物細胞ATG9并未整合到自噬體囊泡上，而是又游離進入胞質(zhì)，其對于酵母和哺乳動物自噬體膜的擴展起重要作用[15]。

d(f1(y,λ1),f1(y,λ2))lt;ε.

于是,

d(f1(B,λ1),f1(B,λ1))+ε=ε.

同理可證,當dΛ(λ1,λ2)lt;δ時,有d(f1(B,λ2),f1(B,λ1))≤ε.所以,當dΛ(λ1,λ2)lt;δ時,

h(f1(B,λ2),f1(B,λ1))≤ε.

當Ngt;1時,根據(jù)Hausdorff度量的性質(zhì),對于Ai,Bi∈H(X),i=1,2,…,N,有

從而得知,G(B,λ)在Hausdorff度量下關(guān)于λ是連續(xù)的.

定理1 在引理2的條件下,含參量KIFS{X×Λ;fn,n=1,2,…,N}的吸引子A(λ)在Hausdorff度量下關(guān)于參數(shù)λ是連續(xù)的.

證明首先根據(jù)式(3)可得,對于?B,C∈H(X),λ∈Λ,有

h(G(B,λ),G(C,λ))≤α[h(B,G(B,λ))+h(C,G(C,λ))].

故?λ0,λ∈Λ,我們有

h(A(λ0),A(λ))=h(G(A(λ0),λ0),G(A(λ),λ))≤

h(G(A(λ0),λ0),G(A(λ0),λ))+h(G(A(λ0),λ),G(A(λ),λ))

(5)

由引理2,對任意εgt;0,存在δgt;0,當dΛ(λ0,λ)lt;δ時,有

h(G(A(λ0),λ0),G(A(λ0),λ))lt;ε

(6)

h(G(A(λ0),λ),G(A(λ),λ))≤α[h(A(λ0),G(A(λ0),λ))+h(A(λ),G(A(λ),λ))]

(7)

因此由式(5)-(7),并注意到(4),我們有

h(A(λ0),A(λ))≤ε+α[h(A(λ0),G(A(λ0),λ))+h(A(λ),G(A(λ),λ))]=

ε+αh(A(λ0),G(A(λ0),λ))=ε+αh(G(A(λ0),λ0),G(A(λ0),λ))≤(1+α)ε.

即A(λ)在Hausdorff度量下關(guān)于λ是連續(xù)的.

2 KIFS的拼貼性質(zhì)

Sahu等[4]人基于Kannan映射不動點的一個度量公式,給出了KIFS的一個拼貼定理.本文則從Hausdorff度量的性質(zhì)出發(fā),證明了KIFS的吸引子與任一集合之間的Hausdorff距離的一個誤差上界公式(KIFS拼貼性質(zhì)).所得結(jié)果改進了Sahu[4]得到的結(jié)論,縮小了誤差,提高了精度.

定理2 (KIFS拼貼性質(zhì))設(shè){X;f1,f2,…,fN}是一個KIFS,K-壓縮因子為0lt;αlt;1/2.A是該KIFS的吸引子,?E∈H(X),則有

證明利用Hausdorff距離h滿足的三角形不等式,并注意到式(2)和式(3),我們有

使用類似于文[5]中證明推論4.1的方法,我們可以證明關(guān)于KIFS的下列結(jié)論.

推論1 設(shè)E∈H(X),εgt;0是任意給定的常數(shù),則存在KIFS{X;f1,f2,…,fN},使得h(A,E)lt;ε,其中A是該KIFS的吸引子.

下面我們給出用一個KIFS的吸引子逼近一個給定緊集的例子.

所以,

通過計算可得,

因此,

致謝作者衷心感謝導(dǎo)師王宏勇教授的指導(dǎo)與幫助.

[1] Kannan R. Some results on fixed points-II[J]. Amer Math Mon, 1969, 76: 405-408.

[2] Gillespie A A, Williams B B. Some theorems on fixed points in Lipschitz and Kannan type mappings[J]. J Math Anal Appl，1980, 74(2): 382-387.

[3] 趙曉全. Lipschitz和Kannan型映射的不動點及迭代逼近[J]. 哈爾濱電工學(xué)院學(xué)報, 1989, 12(4): 396-402.

[4] Sahu D R, Chakraborty A, Dubey R P.K-iterated function system[J]. Fractals, 2010, 18(1): 139-144.

[5] 沙震,阮火軍. 分形與擬合[M]. 杭州: 浙江大學(xué)出版社,2005.

[責(zé)任編輯：李春紅]

SomePropertiesofK-IteratedFunctionSystem

YANG Fan

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing Jiangsu 210046, China)

K-iterated function system (KIFS), which is constituted by a class of Kannan mappings, has been proved to have a unique attractor by Sahu etc. This paper is concerned with the continuous dependence on the parameter of the attractor of KIFS with a parameter in Hausdorff measure, and the collage property for the KIFS is discussed.

K-iterated function system; continuous dependence on a parameter; KIFS collage property

O184

A

1671-6876(2012)02-0142-04

2012-03-10

楊帆(1988-), 男, 江蘇揚州人, 碩士研究生, 研究方向為分形理論及應(yīng)用.