孫慧玲

(淮陰師范學(xué)院 人事處, 江蘇 淮安 223300)

基于時(shí)域偽譜法的二維光子帶隙結(jié)構(gòu)的能帶研究

孫慧玲

(淮陰師范學(xué)院 人事處, 江蘇 淮安 223300)

根據(jù)Bloth定理推導(dǎo)了偽周期電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程,采用時(shí)域偽譜(PSTD)法分析二維光子帶隙結(jié)構(gòu)(PBG)的能帶,對(duì)空間的微分進(jìn)行付里葉變換離散而不作差分近似離散,使空域變換成偽譜域．計(jì)算結(jié)果與平面波展開(kāi)法的結(jié)論相一致．分析了不同截面形狀在不同的典型點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中的物理特性．

二維光子晶體; 能帶結(jié)構(gòu); 時(shí)域偽譜法

0 引言

光子晶體是一種介電常數(shù)或磁導(dǎo)率(也即折射率)為空間場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù)并且在空間上為周期性分布的電磁材料體系,其周期結(jié)構(gòu)的大小往往可以與波長(zhǎng)相比擬．對(duì)于非磁性的光子晶體材料,該材料中介電常數(shù)呈周期性分布,可以發(fā)現(xiàn)光子在其中的行為和電子在晶體中的行為非常的相似．在光子晶體中,周期性折射率調(diào)制的存在導(dǎo)致光子在介質(zhì)的分界面上發(fā)生Bragg共振散射,形成相應(yīng)的Bloch波和由頻率決定的能帶結(jié)構(gòu)ω(k)．能帶ω(k)之間存在著一些頻率間隙,頻率處在這一范圍的各種極化光子在各個(gè)方向上的傳播都是被禁止的．光子頻率ω和bloch波矢k之間存在的色散關(guān)系ω(k),決定著光子晶體的能帶間隙(光子禁帶),因而是光子晶體最重要的特征．如何準(zhǔn)確高效的計(jì)算光子帶隙結(jié)構(gòu)的能帶的顯示出了尤為重要[1-5]．

自20世紀(jì)八十年代末人們開(kāi)始關(guān)注EBG結(jié)構(gòu)以來(lái),就發(fā)展了一些用來(lái)研究EBG結(jié)構(gòu)的帶阻特性和色散特性的方法,如:平面波展開(kāi)法(Plane Wave Expansion Method,簡(jiǎn)稱PWM)、轉(zhuǎn)移矩陣法(Transfer Matrix Method,簡(jiǎn)稱TMM)、時(shí)域有限差分法(Finite Difference Time Domain,簡(jiǎn)稱FDTD法)、有限元法(FEM)、多散射矩陣法等．本文采用時(shí)域偽譜(PSTD)法[6-9],它對(duì)空間的微分進(jìn)行付里葉變換而不作差分近似,使空域變換成偽譜域．由于該方法不受色散條件的限制,使單元網(wǎng)格可選取得比傳統(tǒng)的FDTD大,從而減小計(jì)算規(guī)模;另一方面,PSTD法在劃分空間網(wǎng)格時(shí),將其磁場(chǎng)及電場(chǎng)的各個(gè)分量都定義在網(wǎng)格的中心點(diǎn)上,差分格式比較簡(jiǎn)單,適合于建立復(fù)雜媒質(zhì)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型．

(a) 方柱實(shí)空間 (b) 圓柱實(shí)空間 (c) 倒空間及最小布里淵區(qū)

1 基本原理

1.1 二維光子晶體的TM模的分析

無(wú)源、線性各向同性媒質(zhì)中的Maxwell方程:

(1)

(2)

如果計(jì)算區(qū)域空間結(jié)構(gòu)是周期變化的,則電場(chǎng)、磁場(chǎng)也是偽周期的,即有:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

對(duì)于TE波有:

(10)

(11)

(12)

1.2 偽譜法計(jì)算空間導(dǎo)數(shù)

在Fourier PSTD中,電磁場(chǎng)量的空間導(dǎo)數(shù)是用三角函數(shù)來(lái)近似的．考慮這樣一個(gè)1D函數(shù)u(x,t),它在0≤x≤L中是周期性的(L即周期)．若x=L/N為元胞的大小,且xj=jx,j=1,2,…,N-1,那么該函數(shù)對(duì)空間的導(dǎo)數(shù)可一般性地寫(xiě)為:

(13)

其中的Dx算符在偽譜法中寫(xiě)為:

Dx(f(x))=IFFTx(ikxFFTxf(x))

(14)

FFT和IFFT,分別表示正向、反向Fourier變換．在Fourier PSTD中,采用三角函數(shù)來(lái)近似空間導(dǎo)數(shù):

(15)

(16)

2 數(shù)值計(jì)算及分析

為驗(yàn)證用PSTD 法分析PBG結(jié)構(gòu)色散特性的可行性及正確性,本文計(jì)算了各向同性PBG 結(jié)構(gòu)的色散曲線,其結(jié)果與平面波展開(kāi)法(PWE)有較好的一致性,得出有實(shí)用價(jià)值的結(jié)果(圖2～圖5)．

圖2 四方點(diǎn)陣中圓柱介質(zhì)柱的TM波能帶曲線圖

圖3 四方點(diǎn)陣中方形介質(zhì)柱的TM波能帶曲線圖

圖4 三角點(diǎn)陣中圓形介質(zhì)柱的TM波能帶曲線圖

圖5 三角點(diǎn)陣中方形介質(zhì)柱的TM波能帶曲線圖

算例1 在TM波情形下,二維各向同性電介質(zhì)柱的PBG結(jié)構(gòu),晶格常數(shù)為12mm,介質(zhì)圓柱半徑為3mm,介質(zhì)填充比為0.196,介質(zhì)柱的介電常數(shù)為10.2,相對(duì)磁導(dǎo)率為1.襯底材料為真空．

算例2 在TM波情形下,二維各向同性電介質(zhì)柱的PBG結(jié)構(gòu),晶格常數(shù)為12mm,介質(zhì)方柱邊長(zhǎng)為5.32mm,介質(zhì)填充比為0.196,介質(zhì)柱的介電常數(shù)為10.2,相對(duì)磁導(dǎo)率為1.襯底材料為真空．

算例1在四方晶格點(diǎn)陣下的計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu)如圖2所示,可以看出存在較為明顯的兩條阻帶,分別為頻率范圍分別為(0.5117～0.5627)(2πc/a)和(0.2804～0.3735)(2πc/a)．與平面波展開(kāi)法的結(jié)果有較好的一致性．證明了本文算法的正確性．

算例1在三角晶格點(diǎn)陣下的計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu)如圖3所示,同樣看出存在較為明顯的兩條阻帶,分別為頻率范圍分別為(0.4975～0.5634)(2πc/a)和(0.2779～0.3737)(2πc/a)．

通過(guò)圖2與圖3的比較,我們發(fā)現(xiàn):在四方晶格點(diǎn)陣中,相同的晶格常數(shù)及相同介質(zhì)填充比的條件下,不同截面形狀的PBG結(jié)構(gòu)具有十分相近的色散曲線,即介質(zhì)柱的截面形狀對(duì)阻帶的中心頻率及寬度都不敏感．

圖4是算例2在四方晶格點(diǎn)陣下的計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu),可以看出存在較為明顯的兩條阻帶,分別為頻率范圍分別為(0.2612～0.3767)(2πc/a)和(0.5104～0.5671)(2πc/a),與平面波展開(kāi)法的結(jié)果有較好的一致性．

圖5是算例2在三角晶格點(diǎn)陣下的計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu),同樣看出存在較為明顯的兩條阻帶,分別為頻率范圍分別為(0.2526～0.3615)(2πc/a)和(0.4987～0.5669)(2πc/a)．

通過(guò)對(duì)圖4與圖5的比較,我們發(fā)現(xiàn):在三角晶格點(diǎn)陣中,正方形截面形狀阻帶的中心頻率向低頻稍稍移動(dòng),寬度稍稍變大．比較相同截面不同的晶格點(diǎn)陣可以發(fā)現(xiàn)三角晶格點(diǎn)陣中的第一條帶隙要比四方晶格點(diǎn)陣中的第一條帶隙要略寬．

3 結(jié)論

本文采用時(shí)域偽譜(PSTD)法,它對(duì)空間的微分進(jìn)行付里葉變換而不作差分近似,使空域變換成偽譜域．該方法不受色散條件的限制,分析二維光子帶隙結(jié)構(gòu)的能帶計(jì)算的有效方法．通過(guò)對(duì)二維光子帶隙結(jié)構(gòu)分析計(jì)算,和平面波展開(kāi)法的結(jié)論吻合得較好,證明了本文對(duì)基于時(shí)域偽譜(PSTD)法的二維磁帶隙結(jié)構(gòu)的能帶研究的基本原理、主要的數(shù)值理論進(jìn)行研究的正確性．并且分析了不同截面形狀在不同的典型晶格點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中的物理特性,為PBG結(jié)構(gòu)的工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供了依據(jù)．

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[責(zé)任編輯：蔣海龍]

APseudospectralTime-DomainAlgorithmforCalculatingtheBandStructureofTwoDimensionalPhotonicCrystal

SUN Hui-ling

(department of personnel, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

In this Letter,we develop Maxwell’s equations of the pseudo-periodic electric and magnetic fields.we calculate the band structure of a two-dimensional(2D) photonic crystal by using the PSTD method. It uses the fast Fourier transform(FFT), instead of finite differences, to represent spatial derivatives. We analyse the physical characteristics in the different cross section shape in different typical lattice structure.

two-dimensional photonic crystals; energy band diagram; pseudospectral time-domain method

O413.1

A

1671-6876(2012)04-0358-04

2012-06-06

孫慧玲 (1981-), 女, 江蘇淮安人, 助理研究員, 碩士, 研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)計(jì)算、微波電路仿真．