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(樂清中學(xué) 浙江樂清 325600)

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試壓軸題的源流

●錢從新

(樂清中學(xué) 浙江樂清 325600)

圖1 圖2

(1)證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；

(2)若∠APB=60°，求△PAB的面積．

本題根源在于橢圓的一個性質(zhì)：對于標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓，當(dāng)橢圓上過點P的切線的斜率與弦AB所在的直線的斜率為相反數(shù)時，直線PA與PB的斜率也必為相反數(shù)，從而內(nèi)切圓圓心在過點P垂直于一條坐標(biāo)軸的直線上．此性質(zhì)非橢圓獨有，而是圓錐曲線的通性，其逆命題也成立．下面試為其進行拓廣證明．

性質(zhì)1設(shè)P與P′是圓錐曲線上關(guān)于其一條對稱軸對稱的任意一對對稱點，過點P,P′作該曲線的2條切線分別為lP與lP′，如果該曲線的弦AB所在的直線lAB與lP′平行，則直線PA,PB與該對稱軸所成的夾角相等(如圖2)．

(A+Ck2)x2+(2Ckb+D+Ek)x+(Cb2+Eb+F)=0，

可知

(1)

(2)

欲證直線PA，PB與該對稱軸所成的夾角相等,即證kPA+kPB=0,即

(y1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0.

將y1=kx1+b,y2=kx2+b代入上式，整理得

將式(1)，式(2)代入式(3)，整理化簡得

(2Cx0y0+Ex0)k2+(Eb+2F+2Cby0+Ey0+Dx0)k+(y0-b)(2Ax0+D)=0,

當(dāng)lP斜率不存在時，P與P′應(yīng)是曲線水平方向?qū)ΨQ軸上的2個頂點，由圖形的對稱性可直接得知直線PA,PB與該對稱軸所成的夾角相等．

由于方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0包含了圓的情形，因此性質(zhì)1對于圓也成立．

性質(zhì)2設(shè)P與P′是圓錐曲線上關(guān)于其一條對稱軸對稱的任意一對對稱點，如果過點P的2條弦PA,PB所在的直線與該對稱軸所成的夾角相等，那么弦AB所在的直線lAB與過P′的切線lP′平行．

證明同上所設(shè)．由直線PA，PB與該對稱軸所成的夾角相等得

由式(4)，式(5)可得

同理可得 (x1-x0)[A(x2+x0)+D]=(y1-y0)[C(y2+y0)+E],

(7)

式(6)-式(7)，化簡得

(x2-x1)(2Ax0+D)=(y2-y1)(2Cy0+E).

性質(zhì)2對于圓同樣成立．利用性質(zhì)1，可以得到原題的如下拓廣．

圖3

又設(shè)∠APB=α，則當(dāng)∠APB的平分線垂直于x軸時，

當(dāng)∠APB的平分線垂直于y軸時，

同理可得

從而

當(dāng)∠APB的平分線垂直于y軸時，則以∠APB的補角π-α替換上式中的α，即得