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(象山縣教育局 浙江象山 315700)

感悟“RMI原理”

●蔣亮

(象山縣教育局 浙江象山 315700)

“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，化歸方法是數(shù)學(xué)解決問題的基本方法．高中數(shù)學(xué)中有許多種化歸是通過尋找恰當(dāng)?shù)挠成鋪韺?shí)現(xiàn)的，徐利治教授把這類通過尋找恰當(dāng)映射實(shí)現(xiàn)化歸的策略進(jìn)一步形式化地抽象為關(guān)系映射反演原理，簡(jiǎn)稱RMI(relation ship mapping inversion)原理，此原理可以表述如下：

給定一個(gè)含有目標(biāo)原象x的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S，如果能找到一個(gè)定映映射φ，將S映入或映滿另一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S*，在S*中，通過一定的數(shù)學(xué)方法，將目標(biāo)映象x*=φ(x)確定出來，再通過反演，即逆映射φ-1，把目標(biāo)原象x=φ-1(x*)確定出來，從而使原問題獲解．

利用“RMI原理”解決問題的框圖如下：

“RMI原理”為我們探索和研究數(shù)學(xué)對(duì)象提供了一種較為有用的思想方法．用“RMI原理”審視高中數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者有幾點(diǎn)感悟，僅供一線教學(xué)的同行參考和啟迪．

1 感悟“RMI原理”與數(shù)學(xué)化歸

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們有時(shí)會(huì)通過“轉(zhuǎn)化”的途徑，將要解決的陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，將抽象深?yuàn)W的問題轉(zhuǎn)化為具體淺顯的問題．這種通過“轉(zhuǎn)化”來解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，就是我們通常所說的“數(shù)學(xué)化歸”．

“數(shù)學(xué)化歸”就其涉及到的學(xué)科知識(shí)論域而言，可以歸納為3類：

(1)同一個(gè)論域內(nèi)同一組對(duì)象之間的化歸．例如在幾何證明中，要證明某2條直線平行，可以化歸為證明同位角相等，或者化歸為某個(gè)三角形的中位線與底邊的關(guān)系等等．這類問題的化歸局限于同一課程同一研究對(duì)象內(nèi)部之間的轉(zhuǎn)化，屬于化歸的第一層次．

(2)同一個(gè)論域內(nèi)不同對(duì)象之間的化歸．例如在解析幾何中，通過換元的方法，將直線與橢圓的相交問題，轉(zhuǎn)化為直線與圓的相交問題．這類問題涉及同一課程不同研究對(duì)象之間的化歸，屬于化歸的第二層次．

(3)不同論域之間或不同學(xué)科之間的化歸．例如通過坐標(biāo)法可以將曲線的相交問題(幾何)化歸為方程組的求解問題(代數(shù))．這種涉及數(shù)學(xué)的不同分支之間，亦或不同學(xué)科之間的化歸，屬于化歸的第三層次．

感悟“RMI原理”與“數(shù)學(xué)化歸”，筆者認(rèn)為：“RMI原理”體現(xiàn)了化歸的較高層次，即“RMI原理”實(shí)現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)分支之間、不同數(shù)學(xué)對(duì)象之間的轉(zhuǎn)化．這種轉(zhuǎn)化能夠洞察原關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和新關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并通過關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，使得原問題的解決變得更加直觀、淺顯，解題的思維變得更加優(yōu)化、精深．因此，“RMI原理”是一種化歸，而且是化歸的較高層次．

分析考慮到直線與圓的位置關(guān)系為我們所熟知，因此，可以通過壓縮變換(選定映射φ)，將直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系(選定象集S*)．

aAx′+bBy′+C=0；

x′2+y′2=1．

圓τ′的圓心到直線l′的距離

當(dāng)(aA)2+(bB)2=C2時(shí)，直線l與橢圓τ相切；

當(dāng)(aA)2+(bB)2

當(dāng)(aA)2+(bB)2>C2時(shí)，直線l與橢圓τ相交．

例1解題的精髓是通過換元法將直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為我們熟知的直線與圓的位置關(guān)系，是解析幾何中不同對(duì)象之間的轉(zhuǎn)化，屬于化歸的第二層次．例1解法之簡(jiǎn)捷，得益于“RMI原理”的實(shí)踐，其結(jié)果完全可以作為一種判別式，用來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系． 務(wù)必指出，“RMI原理”作為一種化歸，其定映映射φ必須保持某種不變性，例如用割補(bǔ)法把平行四邊形面積化為矩形面積計(jì)算時(shí)，需要保證圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)面積不變．本例中的定映映射φ，保證了直線與橢圓的相交性和直線與圓的相交性不變．

例2已知：a,b,c∈R+，求證：

分析此題若用代數(shù)方法證明，需要經(jīng)過多次平方，算式之復(fù)雜，計(jì)算之繁瑣，會(huì)讓學(xué)生碰得頭破血流．最后迫使他們改用三角形兩邊之和大于第三邊的幾何思考方法來解決此題，從而使原問題變得簡(jiǎn)易淺顯、一目了然．

圖1

構(gòu)造四邊形ABCD,如圖1所示.設(shè)E為AD的中點(diǎn)，且AE=DE=a，BE=b，CE=c，∠AEB=∠BEC=∠CED=60°,則

這樣，在代數(shù)與幾何之間便建立了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射φ)：

于是，要證的不等式就化歸為證明AB+BC>CD．因?yàn)锳B+BC>AC，而AC>CD，所以結(jié)論成立．

構(gòu)建一個(gè)合適的模型，通過對(duì)這個(gè)模型的考察研究來完成解題，是“RMI原理”建立定映映射φ的常見手段．例2解題的關(guān)鍵是構(gòu)建了四邊形ABCD(映射φ)，從而改變了原問題的外部形式和內(nèi)部結(jié)構(gòu)，使代數(shù)問題和幾何問題得以相互轉(zhuǎn)化，屬于化歸的第三層次．

特別強(qiáng)調(diào)的是，在高中數(shù)學(xué)中，有許多數(shù)學(xué)方法，如解析法、復(fù)數(shù)法、換元法、向量法、構(gòu)造模型法、幾何(代數(shù))變換法等，它們都是“RMI原理”的具體應(yīng)用．在平常的教學(xué)中，若能從“RMI原理”的高度來認(rèn)識(shí)和統(tǒng)一上面所提到的這些常見的數(shù)學(xué)思想方法，定能優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的思維水平．

2 感悟“RMI原理”與映射原則

“RMI原理”的核心思想是利用2個(gè)系統(tǒng)之間的聯(lián)系、關(guān)系與相似性來解決問題，因此，能否合理、巧妙地引進(jìn)定映映射φ，是運(yùn)用“RMI原理”解決問題的關(guān)鍵．感悟“RMI原理”與映射原則，筆者特別強(qiáng)調(diào)，在選取映射φ時(shí)應(yīng)該遵循的以下幾條原則：

(1)簡(jiǎn)單化原則．在選擇定映映射φ以及將原關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S映射至新關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S*時(shí)，必須堅(jiān)持S*較之S，問題的解決變得更容易、更簡(jiǎn)單、更具體、更直觀．即遵循由難變易、由繁變簡(jiǎn)、由非標(biāo)準(zhǔn)型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型的基本原則．

(2)可逆性原則．一般來說，選擇定映映射φ時(shí)，必須同時(shí)考慮到反演φ-1是否合乎問題需要，即是否可通過反演φ-1把原象目標(biāo)x確定出來．通常，在2個(gè)具有運(yùn)算關(guān)系的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S和S*中，選擇映射φ時(shí)，應(yīng)該考慮φ是否為同構(gòu)映射或同態(tài)映射．如果建立在2個(gè)系統(tǒng)間的定映映射φ不是一一對(duì)應(yīng)的，那么利用這樣的映射反演解題后，必須做一些必要的彌補(bǔ)工作．

(3)高觀點(diǎn)原則．“RMI原理”是高層次的化歸，因此，我們?cè)谶x擇映射φ時(shí)，應(yīng)該堅(jiān)持視角獨(dú)特、構(gòu)思新穎、方法巧妙等高觀點(diǎn)原則．從而使得在映射φ下，從S到S*的過程是原始計(jì)算向創(chuàng)新算法的優(yōu)化過程(例如2個(gè)數(shù)的乘除運(yùn)算可化歸為對(duì)數(shù)的加減運(yùn)算)；是低級(jí)思維向高級(jí)思維的發(fā)展過程(例如函數(shù)在[a,b]上的單調(diào)性關(guān)系可化歸為導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)值關(guān)系)．

(4)和諧性原則．“RMI原理”涉及的系統(tǒng)可大可小，情況多種多樣．關(guān)鍵在于通過映射φ，使得2個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)間的某類問題建立對(duì)應(yīng)，以利于指導(dǎo)解題．

例3對(duì)數(shù)與同構(gòu).

我們知道，全體正實(shí)數(shù)集R+關(guān)于乘法運(yùn)算來說構(gòu)成一個(gè)群，全體實(shí)數(shù)集R關(guān)于加法運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)群．在R+與R之間我們選定定映映射φ=logc(其中c>0且c≠1)，在φ下，對(duì)于任意的a,b∈R+，都有a→logca,b→logcb.當(dāng)a≠b時(shí)，有l(wèi)ogca≠logcb．于是，定映映射φ就是R+到R上的一一映射．又因?yàn)閍b→logc(ab)=logca+logcb，所以，對(duì)于R+上的乘法運(yùn)算和R上的加法運(yùn)算來說，定映映射φ=logc是一個(gè)同構(gòu)映射．

若要求出a·b(a>0,b>0)，不妨設(shè)x=a·b，乘法是原象間的關(guān)系，在同構(gòu)映射φ下，要找映象x*，只需根據(jù)映象間的關(guān)系——加法來寫出：

x*=logca+logcb,

再作反演(反對(duì)數(shù))，即得原象x．

一個(gè)同構(gòu)映射，能將繁難的乘法關(guān)系映成簡(jiǎn)易的加法關(guān)系，這正是對(duì)數(shù)的價(jià)值所在．學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的主要之點(diǎn)，正是關(guān)系的轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)φ=logc是R+到R上的同構(gòu)映射．

3 感悟“RMI原理”與數(shù)形結(jié)合

由于在平面上建立了直角坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間便建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(定映映射φ)，這樣，函數(shù)與圖像、方程與曲線、復(fù)數(shù)與向量等不同結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之間便構(gòu)建了一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這便是我們常說的“數(shù)形結(jié)合思想”．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法是“RMI原理”最集中的體現(xiàn)，它能給抽象的數(shù)量關(guān)系以形象的幾何直觀，也能把粗獷的幾何問題轉(zhuǎn)化為細(xì)膩的數(shù)量關(guān)系．

在高中數(shù)學(xué)中，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行研究的典范是解析幾何，通過幾何直觀來注釋代數(shù)關(guān)系的經(jīng)典內(nèi)容則是矩陣與變換[1]．在平常的教學(xué)中，教師過多地從“數(shù)”的角度去理解“形”的特征，卻淡化了給抽象的數(shù)量關(guān)系尋找形象的幾何直觀．事實(shí)上，數(shù)學(xué)是有“形”的，因?yàn)閿?shù)學(xué)中的基本元素、概念等都是從現(xiàn)實(shí)世界中提煉和抽象出來的．感悟“RMI原理”與數(shù)形結(jié)合思想，筆者認(rèn)為：要抓住矩陣和變換的教學(xué)機(jī)遇，給學(xué)生補(bǔ)上“以形助數(shù)”這一課，讓抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，讓抽象思維與形象思維統(tǒng)一起來．

例4利用矩陣的幾何意義直觀認(rèn)識(shí)矩陣的運(yùn)算和運(yùn)算律.

圖2

圖3

將一個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的正方形，先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將靠近y軸的方向壓縮一半得到的結(jié)果(圖2)，與先將靠近y軸的方向壓縮一半，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的結(jié)果(圖3)作比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到交換變換順序得到的結(jié)果一般是不同的，即

因此，矩陣的乘法不滿足交換律．

圖4

圖5

根據(jù)投影變換的特點(diǎn)，把一個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的正方形先作關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱變換，再向x軸作投影變換得到的結(jié)果(圖4)，與先作y軸的反射變換，再向x軸作投影變換得到的結(jié)果(圖5)是一樣的,即

4 感悟“RMI原理”與數(shù)學(xué)創(chuàng)新

數(shù)學(xué)中存在各種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，它們大多是獨(dú)立發(fā)展起來的，后來，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)其中某些結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之間有著密切的聯(lián)系，甚至還可以一一對(duì)應(yīng)，即將一個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)成立的問題結(jié)論對(duì)應(yīng)到另一個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)，它的相應(yīng)問題的結(jié)論也成立，于是便自覺地去尋找這類系統(tǒng)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．這樣，一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——“RMI原理”便逐漸形成了．感悟“RMI原理”與數(shù)學(xué)創(chuàng)新，筆者認(rèn)為：在定映映射φ下，2個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S與S*之間便構(gòu)建了某種聯(lián)系，通常將一個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)成立的結(jié)論對(duì)應(yīng)到另一個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)，它的相應(yīng)結(jié)論也成立．這樣，借助于對(duì)象集S*(或原集S)的探究，往往能反演出許多令人驚喜的創(chuàng)新碩果．

例5三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的探究.

圖6 圖7

因?yàn)榍叀鰽BP′的面積為

且

得

這便是通常所說的雙曲函數(shù)．

在單位圓和等軸雙曲線之間構(gòu)建定映映射φ：使得單位圓上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于等軸雙曲線上的點(diǎn)P′，兩者保持曲邊△OAP的面積和曲邊△OAP′的面積相等(圖6和圖7)．顯然，在定映映射φ下：cosα?coshα，sinα?sinhα．這樣，人們把coshα和sinhα分別稱作雙曲余弦、雙曲正弦就可以理解了．

觀察雙曲函數(shù)，coshα和sinhα均可用一個(gè)基本函數(shù)eα來表示．不妨稱eα為雙曲函數(shù)的中心函數(shù)，記為f(α)=eα．于是，

類似地，在三角函數(shù)中，cosα和sinα是否也存在一個(gè)中心函數(shù)g(α)？

分析雙曲函數(shù)的中心函數(shù)，由于

f(α)=x+y=coshα+sinhα，

其中x，y滿足x2-y2=1,因此在三角函數(shù)中，若令x′=cosα，y′=isinα，則x′,y′也滿足x′2-y′2=1．這樣，猜想中心函數(shù)

g(α)=x′+y′=cosα+isinα=eiα,

這便是數(shù)學(xué)家歐拉的偉大發(fā)現(xiàn)．由此可得

現(xiàn)在提出一個(gè)問題：不脫離實(shí)數(shù)域，能否將cosα和sinα類似地簡(jiǎn)化為用一個(gè)基本函數(shù)來表示？

圖8 圖9

從射影幾何的觀點(diǎn)來看圖形(圖8和圖9)，這是可能的．考慮單位圓和通過點(diǎn)G(-1,0)的直線束y=λ(x+1)，其中λ是參數(shù)(如圖8所示)．容易解得圓對(duì)應(yīng)于λ的射線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為

因?yàn)?/p>

∠POA=α,

所以

即

觀察雙曲函數(shù)的中心函數(shù)f(α)，有性質(zhì)f(α+β)=f(α)f(β)．對(duì)于三角函數(shù)的中心函數(shù)g(x)而言，是否也有性質(zhì)g(α+β)=g(α)g(β)?

(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ),

故對(duì)于中心函數(shù)g(x)而言，也有性質(zhì)

g(α+β)=g(α)+g(β).

由該性質(zhì)可得

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

這就是兩角和公式．

限于篇幅，我們不再探索，但事實(shí)足以說明，通過對(duì)象集S*的不斷探究，定能反演出原集S的更多性質(zhì)(反之亦可)，這些性質(zhì)如果不是“RMI原理”的實(shí)踐，恐怕很難觀察出來．可以這樣說，“RMI原理”為我們提供了一種探究的方法、一條創(chuàng)新之道.它的應(yīng)用，能鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力．

如果誰(shuí)能對(duì)一些十分重要的關(guān)系結(jié)構(gòu)S，巧妙地引進(jìn)非常有用且具有能行性反演φ-1的可定映映射φ，誰(shuí)就作出了較為重要的貢獻(xiàn)[2].

——徐利治

文章得到導(dǎo)師張奠宙先生的悉心指導(dǎo)，在此謹(jǐn)表謝意！

[1] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)(選修4-2)[M]．北京：人民教育出版社，2008．

[2] 徐利治．?dāng)?shù)學(xué)方法論選講[M]．武漢:華中工學(xué)院出版社，1983．

[3] 張奠宙．?dāng)?shù)學(xué)方法論稿[M]．上海：上海教育出版社，1996．

蔣亮，1956年生，浙江臨海人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師、寧波市正教授級(jí)教師、浙江省特級(jí)教師.先后在浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)系、浙江省象山中學(xué)、象山縣教育局等單位工作，并擔(dān)任過計(jì)算機(jī)專業(yè)講師、象山中學(xué)校長(zhǎng)、教育局副局長(zhǎng)、縣人大常委、市政協(xié)委員、寧波市數(shù)學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)、寧波市特級(jí)教師協(xié)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)等職。長(zhǎng)期從事高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)性研究，能用高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)審視高中數(shù)學(xué)教學(xué)，公開發(fā)表論文近百篇。