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(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院 陜西西安 710062)

數(shù)學審題的案例分析

●羅增儒

(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院 陜西西安 710062)

審題就是從題目本身去尋找“怎樣解這道題”的鑰匙，也叫做弄清問題或理解題意．

成在審題、敗在審題，誰都知道審題具有“事關成敗”的重要性，沒有審題的開頭就沒有解題工作的后續(xù)，沒有審題的明晰就難有“思路探求”的成功．但是，筆者在與學生接觸的過程中越來越感到，學生在解題上的不成功常?？梢宰匪莸健邦}意未審清或?qū)彶磺濉钡慕忸}起點上，行動是盲目的．那么，怎樣才算審清題意？教師什么時候教過學生“審什么、怎么審”呢？這恐怕又是一筆糊涂賬！課堂上常見的情況是：出示題目之后立即就討論解法，獲得解法之后就迅速進入下一道題．其實，學生在“如何理解題意、怎樣尋找思路”上是“想知道很多而又有很多不知道”，至于“對初步思路的反思”，則十有八九都被“解題教學的現(xiàn)實”給砍掉了．

筆者認為，審題主要是弄清題目已經(jīng)告訴了你什么，又需要你去做什么，從題目本身獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點、推理目標以及溝通起點與目標之間聯(lián)系的更多信息．解題經(jīng)驗表明，審題的關鍵是要抓好“審題審什么”的3個要點和“審題怎么審”的4個步驟[1-2]．

(1)“審題審什么”的3個要點是：

①弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何；

②弄清題目的結論是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何；

③弄清題目的條件與結論有哪些數(shù)學聯(lián)系，是一種什么樣的結構.

(2)“審題怎么審”的4個步驟是：

①讀題——弄清字面含義；

②理解——弄清數(shù)學含義；

③表征——識別題目類型；

④深化——接近深層結構．

題目的條件和結論是“怎樣解這道題”的2個信息源，審題的實質(zhì)是從題目本身去獲取從何處下手、向何方前進的信息與啟示．下面通過2個典型案例來作說明．

1 案例1：相交弦中點的軌跡方程

這是一道軌跡方程與等差數(shù)列交叉的綜合題，常規(guī)思路是聯(lián)立方程組求交點，寫出中點，消參得軌跡．關鍵是“等差數(shù)列”的條件如何用？這是一個認識逐漸深化的過程，分2步講解．

1.1 題意的初步理解

(1)題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何．

初步理解條件有以下4個．

條件1 “a,b不同時為0”．這既可以保證等差數(shù)列a,b,c不全為0，又可以保證bx+ay+c=0為直線．

條件2“a,b,c成等差數(shù)列”．文字語言“等差數(shù)列”不能運算、難以推理，需要進行“數(shù)學含義”的解讀，可以有多種表征，如：

b-a=c-b,a+c=2b,a-b+c=0,

條件3“直線bx+ay+c=0”．因為a,b,c不是具體的數(shù)字，所以，這其實是一條動直線，受“a,b,c成等差數(shù)列”的制約，怎樣使用這個制約條件暫時還不清楚(或說直線是怎么動的還不清楚)，可以認為，此處還有一個隱含條件，需要在思路探求和結果反思中才容易發(fā)現(xiàn)．

有2個不相等的實數(shù)解．

(2)題目的結論是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何．

題目的結論是求直線與拋物線相交弦中點的軌跡方程F(x,y)=0．這包含著2個方面：

必要性相交弦中點的坐標(x,y)是軌跡方程F(x,y)=0上的一個解.

充分性軌跡方程F(x,y)=0上的每一個解都是相交弦中點的坐標(x,y)．

(3)題目的條件與結論有哪些數(shù)學聯(lián)系，是一種什么樣的結構．

理解題目的條件和結論，可以看到一個已知軌跡方程(拋物線)經(jīng)過某種運動變化之后(與動直線相交產(chǎn)生相交弦的中點)形成一個新軌跡方程.于是，在眼前就出現(xiàn)這樣一個“軌跡轉(zhuǎn)移”的數(shù)學結構：通過解方程(組)溝通新舊軌跡(點)的聯(lián)系，消去參數(shù)a,b,c得出新軌跡．

至于如何建立和求解方程，怎樣消參等，則是“思路探求”和“書寫解答”的任務了．

思路1聯(lián)立方程

把x=-2y2代入直線方程，消去x，得

由二次方程根與系數(shù)的關系得

從而

由此，可得中點坐標

這時，“等差數(shù)列”的條件還沒有用，已有部分學生由于消參(消去a,b,c)困難而做不下去了．

思路2聯(lián)立方程

要消去x,y,a,b,c.把x=-2y2代入直線方程，消去x，得

2by2-ay-c=0,

由求根公式，得

把2b=a+c代入，消去b,得

得

代入拋物線方程x=-2y2，得

設相交弦中點的坐標為(x,y)，則(消去了當初的y)

1.2 題意的深入理解

對思路1、思路2陸續(xù)消去x,y,a,b,c的過程作反思，至少可以獲得3個新的認識．

(1)消去x后，方程2by2-ay-c=0是否為二次方程需對b進行討論．

當b=0時，由a,b不同時為0，知a≠0；又由a+c=2b=0，得此時直線bx+ay+c=0為y=1，與拋物線只有一個交點(-2,1)，即沒有相交弦的中點軌跡；當b≠0時，方程(1)為二次方程，才有相交弦的中點軌跡

可見，思路1出現(xiàn)了“會而不對”、思路2出現(xiàn)了“對而不全”的錯誤．

(2)由思路2知，動直線與拋物線相交于一個定點(-2,1)．

這時重新理解題意，即可發(fā)現(xiàn)a,b,c成等差數(shù)列應表示為-2b+a+c=0，這表明，直線bx+ay+c=0過定點(-2,1)．因此，本例還應有一個隱含條件：

條件5由a,b,c成等差數(shù)列,知直線bx+ay+c=0過定點(-2,1)．

(3)既然動直線與拋物線相交于一個定點(-2,1)，那么題目的結構就變成動直線繞定點(-2,1)旋轉(zhuǎn)，除了恰有一個公共點的2種情況(與拋物線相切時x+4y-2=0、與對稱軸平行時y=1)外，動直線均與拋物線相交于2個點.這時，借助另一交點的“軌跡轉(zhuǎn)移”，便可求出新軌跡．這就使得“聯(lián)立方程組”、“求交點坐標”均成為多余，也使得我們的認識更接近深層結構．

思路3(1)當b=0時，已知直線為ay+c=0，由a,b不同時為0，知a≠0.再由a+c=2b=0得c=-a≠0，故已知直線為y=1，與拋物線只有一個交點.此時，無相交弦，更無相交弦的中點軌跡．

(2)當b≠0時，由a,b,c成等差數(shù)列有-2b+a+c=0，這表明直線bx+ay+c=0過定點A(-2,1)．設直線與拋物線的另一個交點為B(x2,y2)，而相交弦AB的中點為(x,y)，由中點公式，得

即

由點B(x2,y2)在拋物線上，得

從而相交弦中點的軌跡方程為

思路4由a,b,c成等差數(shù)列得c=2b-a，代入直線方程得

這條直線對任意的a,b(不同時為0)過定點A(-2,1)．

(1)當b=0時，由a,b不同時為0，知a≠0，直線方程(2)為y=1，與拋物線只有一個交點A(-2,1)，即無相交弦，更無相交弦的中點軌跡．

(2)當b≠0時，直線方程(2)過定點A(-2,1)．設直線與拋物線的另一個交點為B(x2,y2)，而相交弦AB的中點為(x,y).

以下同思路3.

說明因為B(x2,y2)是與A(-2,1)不同的另一個交點，因此按照中學的習慣，點(-2,1)應從軌跡方程中去掉．但也有另一種觀點認為，添上極限點(-2,1)能使軌跡方程更加完整，不妨把2個重合交點的中點認定為(-2,1)本身．筆者的建議是此題不作糾纏，考試中去不去掉極限點都不扣分．

2 案例2:余弦定理的逆定理

例2敘述余弦定理的逆命題，并證明它的真假．

這道題目讀懂字面含義并不困難，思路也非常清晰：交換余弦定理的條件與結論，便可以得出它的逆命題．但這還不能算審清了題意，在與學生的交流中得知，很多學生就“審不清”題意，對余弦定理的“條件是什么、結論是什么”理不順，怎么證明真假更是有困難．下面筆者分3步來進行講解．

2.1 余弦定理的條件是什么、結論是什么

余弦定理的文字敘述為“三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的2倍”．這種敘述方式不便于分解出條件是什么、結論是什么，把它改寫為“如果，那么”的符號形式：

(1)第1步改寫：如果在△ABC中，a,b,c為角A,B,C的對邊，那么

這時，看到的是“三角形的一個性質(zhì)”:條件是三角形中的6個基本量(3條邊和對應的3個內(nèi)角)，結論是三角形中的這6個量分別滿足的等式(3)～(5)．這種敘述的主體是“三角形”，而逆命題中“三角形”只能出現(xiàn)在結論不能出現(xiàn)在條件，因此，將敘述主體改寫為“6個基本量”，而“組成三角形”是這“6個基本量”的性質(zhì)．

(2)第2步改寫：如果a,b,c組成三角形，它們的對角分別為A,B,C，那么

a2=b2+c2-2bccosA；

b2=a2+c2-2bccosB；

c2=a2+b2-2bccosC.

這時，余弦定理的條件有2個(共6個量)．

條件1a,b,c為三角形的3條邊長.

條件2a,b,c的對角分別為A,B,C．

余弦定理的結論有3個，即6個量分別滿足的等式(3)～(5)，每個等式都有a,b,c和一個內(nèi)角(輪轉(zhuǎn)對稱的結構)．

弄清了余弦定理的條件和結論，寫逆命題就水到渠成了．簡單地說，余弦定理告訴我們，如果6個量是三角形的3條邊和對應的3個內(nèi)角，那么這6個量滿足3個等式．反過來，如果6個量滿足3個等式，那么這6個量是三角形的3條邊和對應的3個內(nèi)角．

2.2 余弦定理的逆命題1

逆命題1若a,b,c為正實數(shù)，α,β,γ∈(0,π)，有

則a,b,c對應的線段構成一個三角形，且邊a的對角為α，邊b的對角為β，邊c的對角為γ．

講解這是一個真命題，可作如下的審題分析．

(1)題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何．

逆命題的條件有4個．

條件16個量a,b,c(正實數(shù))，α,β,γ(在(0,π)內(nèi))；

條件2a,b,c，α滿足的等式(6)；

條件3a,b,c，β滿足的等式(7)；

條件4a,b,c，γ滿足的等式(8)．

(2)題目的結論是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何．

逆命題的結論有2個．

結論1a,b,c可以成為三角形的3條邊長；但組成“三角形”是文字語言，不能運算、難以推理，需要進行“數(shù)學含義”的解讀，可以有多種表征，如：

表征13個不等式

a

或不等式

|b-c|

或不等式

表征2三角形作圖．利用“兩邊夾角”(比如b，c，α)作三角形，然后驗證所作的三角形3條邊長為a,b,c．

結論2a,b,c的對角分別為α,β,γ．但“對角”是文字語言，不能運算難以推理，需要進行“數(shù)學含義”的解讀．可以通過圖形，或余(正)弦定理來確定邊與角的對應．

(3)弄清題目的條件與結論有哪些數(shù)學聯(lián)系，是一種什么樣的結構．

①先說結論1的表征1．列表1作差異分析：

表1 表征1與逆命題1中條件的比較

于是，題意的理解就在我們眼前呈現(xiàn)這樣一個數(shù)學結構：從等式到不等式的條件不等式的證明.具體地說，就是將等式a2=b2+c2-2bccosα放縮，消去α，得不等式a

②再說結論1的表征2．由“兩邊夾角”(b，c，α)總可以作三角形，因此，驗證“所作的三角形的3條邊長為a,b,c”，只需驗證第3邊為a，這相當于用余弦定理解三角形．于是，題意的理解就在我們眼前呈現(xiàn)這樣一個數(shù)學結構：作三角形并求解(參見證明2，構造性的證明)．

③最后說結論2．這時結論1成為了一個已知條件，而結論1所得出的三角形本身有內(nèi)角，因此，證明“a,b,c的對角分別為α,β,γ”就是證明角相等．而要證明2個角相等，一條途徑是證明這2個角“在同一個單調(diào)區(qū)間且有相等的函數(shù)值”．于是，題意的理解就在我們眼前呈現(xiàn)這樣一個數(shù)學結構：證明2個角在同一個單調(diào)區(qū)間且有相等的函數(shù)值．

證法1由0<α<π，得

-1

消去α，得

a2=b2+c2-2bccosα

又a,b,c為正實數(shù)，開方得

a

同理

b

因此a,b,c對應的線段可以構成一個三角形.記這個三角形為△ABC，而邊a的對角為A，邊b的對角為B，邊c的對角為C，角A,B,C∈(0,π)，由余弦定理，得

又由已知，得

從而

cosA=cosα,其中A,α∈(0,π).

由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得A=α，即邊a的對角為α．同理，得邊b的對角為β，邊c的對角為γ．因此，a,b,c對應的線段構成一個三角形，且邊a的對角為α，邊b的對角為β，邊c的對角為γ．

證法2作∠BAC=α∈(0,π)，使AB=c，AC=b,聯(lián)結BC．在△ABC中運用余弦定理，得

得角θ的對邊為a，從而a,b,c對應的線段可以構成一個三角形．

在△ABC中,由余弦定理得

又由已知，得

從而

cosB=cosβ,其中B,β∈(0,π).

由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得B=β，即邊b的對角為β．同理，邊a的對角為α,邊c的對角為γ．因此，a,b,c對應的線段構成一個三角形，且邊a的對角為α，邊b的對角為β，邊c的對角為γ．

2.3 余弦定理的逆命題2

有時，余弦定理的結論只寫一個等式，這時也可以寫出它的逆命題，其分析和證明都與逆命題1類似，也是真命題．

逆命題2對于正實數(shù)a,b,c及θ∈(0,π)，若有a2=b2+c2-2bccosθ，則a,b,c對應的線段構成一個三角形，且邊a的對角為θ．

證法1由0<θ<π，得

-1

得b2+c2-2bc

消去α，得

(b-c)2

又a,b,c為正實數(shù)，開方得

|b-c|

因此，a,b,c對應的線段可以構成一個三角形.記這個三角形為△ABC，且邊a的對角為A，其中A∈(0,π).由余弦定理，得

又由已知，得

從而

cosA=cosθ,其中A,θ∈(0,π).

由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得A=θ，即邊a的對角為θ．

證法2作∠BAC=α∈(0,π)，使AB=c，AC=b,聯(lián)結BC．在△ABC中運用余弦定理，得

得角θ的對邊為a，從而a,b,c對應的線段可以構成一個三角形．因此，a,b,c對應的線段構成一個三角形，且邊a的對角為α．

最后指出，上面說的“審題要點”和“審題步驟”，介紹時是分解動作，但形成習慣之后，在操作中將是不間斷地自動化完成．

練習1已知P(x,y)是直角坐標系中的動點，滿足：復數(shù)(x-1)+yi(i2=-1)的模等于|x+1|．

(1)求點P的軌跡方程E；

(2)取點Q(-1,0)，求直線PQ斜率的取值范圍；

(3)設a,b,c成等差數(shù)列，且a,b不同時為0，求直線ax+by+c=0與E的相交弦中點的軌跡方程．

[1] 曹麗鵬,羅增儒．審題新概念[J]．中學數(shù)學教學參考，2008(4):39-45.

[2] 羅增儒．數(shù)學審題審什么？怎么審？[J].中學數(shù)學教學參考，2012(4):39-43.