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(錦屏高級中學(xué) 江蘇連云港 222021)

一道高考試題解法探究的教學(xué)片段及思考

●殷長征

(錦屏高級中學(xué) 江蘇連云港 222021)

教學(xué)有法，但無定法.教師的課堂教學(xué)通常按照教學(xué)設(shè)計進(jìn)行，但在實際的課堂教學(xué)中有時也會出現(xiàn)一些“節(jié)外生枝”的突發(fā)事件，特別是那些既“喧賓奪主”又沖淡主題，既無法躲避又合情合理的突發(fā)事件.如果處理這些事件，原來的教學(xué)計劃就會受到影響；不處理吧，于情于理都說不過去.筆者認(rèn)為，既然問題合情合理，教師就應(yīng)該適時地改變原來的教學(xué)計劃，運(yùn)用好這突如其來的問題，也許會產(chǎn)生意想不到的教學(xué)效果.下面結(jié)合筆者的一節(jié)期末綜合復(fù)習(xí)課中的教學(xué)片斷，談?wù)劰P者的一些看法與感受.

1 一道高考題——招來“節(jié)外生枝”

(2011年全國新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考理科試題)

投影儀上的題目一出現(xiàn)，學(xué)生在下面就做開了，大約過了5分鐘，生1舉起手，筆者示意其上黑板板演.

所以

BC=2sinA，AB=2sinC，

從而AB+2BC= 2sinC+4sinA=

2sin(120°-A)+4sinA=

師：生1的解法很完整，他熟練地運(yùn)用了正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，將三角形中關(guān)于邊的不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的不等式，充分利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行處理，學(xué)以致用，很好(至此設(shè)計這道題的目的已經(jīng)達(dá)到)！

就在筆者準(zhǔn)備進(jìn)行下一題時，意外發(fā)生了.

生2站了起來：老師，這道題可改用余弦定理求解，可是做到這一步，我不知道該如何進(jìn)行下去.

他的發(fā)言引起了大家的關(guān)注，此時筆者心中充滿了矛盾和緊張，一是這突如其來的“節(jié)外生枝”——利用余弦定理求解，沖淡了本節(jié)課的復(fù)習(xí)計劃；二是利用余弦定理求解事先也沒有準(zhǔn)備，怕解不出來出丑.若不解答，既不能滿足學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，也失去了一次滲透這方面知識的機(jī)會.無奈筆者終止了原來的教學(xué)計劃，和學(xué)生一起探討利用余弦定理求解.

2 積極回應(yīng)——解決“節(jié)外生枝”

師：很好！這是一個很好的想法，值得研究的問題，我們一起研究(這樣做不僅給學(xué)生充分的思考時間，相信學(xué)生會有好的想法，更給了筆者思考的時間，走出窘境).

筆者一邊思考一邊看生2的板演過程，突然頓悟，心中已有底，但不露聲色，要讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，這時，生3舉起了手，并急不可待地走到黑板前，板演如下：

令A(yù)B+2BC=c+2a=t(t>0)，則

將式(2)代入式(1)并化簡得

7a2-5ta+(t2-3)=0，

要使方程有解，則根的判別式

Δ=(-5t)2-4×7×(t2-3)≥0，

此時，全班同學(xué)都為生3的精彩演繹而鼓掌，并投去了贊許的目光.

師：太好了！生3的解法更簡捷，解題的關(guān)鍵是將a2+c2-ac=3看成一個一元二次方程，設(shè)AB+2BC=c+2a=t(t>0)后代入并運(yùn)用一元二次方程的知識處理，妙極了！

這一解法和筆者的想法吻合，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思這個思維過程……未等筆者說完，生4：老師，我還有一種解法，運(yùn)算沒有生3的簡單，但也不算麻煩.

筆者不禁一愣，居然還有解法，也有些激動：說說看！

a2+c2-ac=3.

由AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)，令2c=x，2a-c=y，則

代入a2+c2-ac=3并化簡得

AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)=x+y=

這時全班又響起了熱烈的掌聲.

師：生4利用了2次換元，將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為橢圓方程，再利用三角換元解決問題.還有沒有其他的解法呢？

話音剛落，生5站了起來.

生5：老師，生4用的是2次換元，其實一次換元即可：

a2+c2-ac=3.

由AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)，令2c=x，2a-c=y，則

代入a2+c2-ac=3并化簡得

就在大家為生5的解法所陶醉時，又有生6：老師，我也解出來了.

由式(3)，式(4)化簡得

于是AB+2BC=c+2a=

至此，教室里一片歡呼，這歡呼既是對上述幾位學(xué)生的鼓勵，也是對他們不畏艱難、勇于攀登精神的贊美.

看到這種情景，筆者更是被感動了，就此提出了新的問題：通過上面給出的幾種解法，能否得到更一般性的結(jié)論？

生7：利用余弦定理得到關(guān)于a，c的二次齊次式，在二元二次條件限制下求解最值常用的幾種方法.

師：都說數(shù)學(xué)是“思維體操”，今天這節(jié)課大家讓自己的思維得到了一次充分的鍛煉，我也充當(dāng)了一回有成就感的“看客”.希望在以后的學(xué)習(xí)中大家能不斷地給我機(jī)會，讓我多做幾次“看客”.

3 借風(fēng)使舵——利用“節(jié)外生枝”

“節(jié)外生枝”的問題盡管解決了，但并不能到此為止，而應(yīng)該借風(fēng)使舵、乘勝追擊，讓學(xué)生理解和掌握解決“節(jié)外生枝”問題的方法和思想.于是給出了2011年浙江省數(shù)學(xué)高考的2道試題讓學(xué)生鞏固.

題1設(shè)x，y為實數(shù)，若x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是________.

題2設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是________.

下課鈴聲響了，雖然因這突如其來的“節(jié)外生枝”而沒有完成原來的教學(xué)計劃，但這節(jié)課從“節(jié)外生枝”到“枝上開花”，還是很滿意的.

4 幾點思考

(1)葉瀾曾經(jīng)說過：課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定的路線而沒有激情的行程.課堂教學(xué)是一個動態(tài)生成的過程.解題教學(xué)也不例外，隨時會出現(xiàn)“意外”的風(fēng)景.學(xué)生作為課堂教學(xué)的主體，他們的原始思路是多種多樣的，是富有生機(jī)和創(chuàng)造力的，要加以保護(hù)和鼓勵.教師不僅需要對常用解法進(jìn)行固化，更需要對學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新精神、探索精神進(jìn)行保護(hù)和促進(jìn).只有對學(xué)生的各種質(zhì)疑、困惑等時刻關(guān)注，才能更好地為學(xué)生的能力發(fā)展提供一個展示的平臺.因此學(xué)生在課堂教學(xué)中動態(tài)生成的資源更值得重視.

(2)美國心理學(xué)家布魯納說過：探索是數(shù)學(xué)的生命線.課堂上應(yīng)提倡師生平等，教學(xué)相長，創(chuàng)造民主氣氛，才能使學(xué)生釋放出巨大的創(chuàng)新潛能.教師應(yīng)轉(zhuǎn)變觀念，作為課堂的設(shè)計者、點撥者、嘗試者和點評者，應(yīng)積極鼓勵學(xué)生大膽猜想，發(fā)表自己的見解，構(gòu)建師生互動、勇于探究、敢于質(zhì)疑的合作交流的教學(xué)平臺，讓學(xué)生真正體驗數(shù)學(xué)研究的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，使問題的解決方法和結(jié)論更具一般性.事實告訴我們，給學(xué)生再思考的時間，就是讓學(xué)生由考試時的限時思考變?yōu)椴幌迺r思考，讓他們盡情地去自主探索、合作交流.

(3)這節(jié)課對教師在處理習(xí)題課問題上也是一次深刻的教育.對于一些簡單的習(xí)題(考題)，教師在思想上容易輕視，認(rèn)為按照自己的預(yù)設(shè)思路講課學(xué)生能弄懂，沒有認(rèn)真思考問題后面潛藏的其他問題和教育價值.沒有想到課堂上可能出現(xiàn)的“節(jié)外生枝”.因此，要改善這種情況，教師對于要講解的問題事先需進(jìn)行認(rèn)真的研究，研究問題的解法、變式、改編，研究學(xué)生解決問題時可能出現(xiàn)的難點和疑點等.只有經(jīng)過充分地研究，教師在課堂上才能做到游刃有余，才能機(jī)智地為學(xué)生打破預(yù)設(shè)，并用睿智的追問，拓展學(xué)生思維，延伸思維空間，定會讓解題教學(xué)中的“節(jié)外生枝”綻放出異彩.

(4)一節(jié)課的好還是不好，不是看題目講解的多還是少，關(guān)鍵是我們是否能讓學(xué)生把所提出問題弄懂，學(xué)生的能力是否得到提高，學(xué)習(xí)的興趣是否得到提升.快節(jié)奏、大容量的課堂往往使學(xué)生對一些知識似是而非，似懂非懂，知識體系雜亂無章.本節(jié)課的一道題目雖然花了近一節(jié)課的時間，但是學(xué)生通過不同的方法對在二元二次條件的限制下求最值有了新的認(rèn)識，學(xué)生的知識目標(biāo)得到了落實，思維也得到了訓(xùn)練.題目不在多，學(xué)生能積極主動、有效參與就行.

最后，讓我們記住:學(xué)好數(shù)學(xué)，需要一種精神，那就是團(tuán)結(jié)合作的精神；學(xué)好數(shù)學(xué)，需要一種意志，那就是挑戰(zhàn)自我的意志；學(xué)好數(shù)學(xué)，需要一種意識，那就是強(qiáng)烈的問題意識.

[1] 殷長征.巧而不錯是關(guān)鍵[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011(11)：23-24.

[2] 章薇薇，浦?jǐn)⒌?簡談數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的追問藝術(shù)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2011(12)：11-14.