周小燕，胡豐華

（浙江科技學院a.理學院；b.建筑工程學院，杭州310023）

國際上把對數(shù)學史與數(shù)學教育關系的研究稱為“History and pedagogy of mathematics”（以下簡稱HPM）。HPM研究組織正式成立30年以來，其理論及實踐研究得到了長足的發(fā)展。但是，綜觀國際HPM研究的現(xiàn)狀，相對于豐富的HPM理論研究，其課堂實踐方面的研究還比較薄弱。目前，高等數(shù)學的教學現(xiàn)狀也不容樂觀，學生缺乏創(chuàng)造能力。為此，筆者研究了HPM角度下的高等數(shù)學課堂教學，旨在通過整合數(shù)學史與高等數(shù)學教學來激發(fā)學生學習的興趣，以提高學生的學習質量，培養(yǎng)學生的人文素養(yǎng)。

1 HPM介紹

HPM源自于1972年在英國召開的第二屆國際數(shù)學教育大會上的一個工作組，通常也把這個研究領域本身稱為HPM。HPM研究的目標是通過對數(shù)學歷史的運用，提高數(shù)學教育的水平，關注的內容包括：數(shù)學與其他學科的關系、多元文化的教學、數(shù)學史與學生的認知發(fā)展、數(shù)學史與發(fā)生教學法、數(shù)學史與學生的困難、數(shù)學原始文獻在教學中的應用。

2 高等數(shù)學教學的現(xiàn)狀

高等數(shù)學是理工科大學中一門重要的基礎課程，它有著廣泛的應用性，并和學生后繼專業(yè)課程的學習關系密切。但是，高等數(shù)學教學內容多、學時少，學生學習高等數(shù)學面臨許多困難：概念抽象（如極限概念），嚴格的形式化表述（如極限的ε-δ定義），較高的計算技巧性（如不定積分的計算）等。大部分學生不能很好地掌握高等數(shù)學的基本概念、基本結論和基本方法，只會簡單地按具體公式計算或套用固定步驟解題。上述現(xiàn)象固然有學生主觀的因素，但關鍵還是在于數(shù)學教材的編寫與傳統(tǒng)的教學方式。高等數(shù)學的內容在17、18世紀已形成，這些數(shù)學教材是在科學性與教育要求相結合的原則指導下經過反復刪減編寫而成的。它舍棄了許多數(shù)學概念和方法形成的實際背景、知識背景、演化歷程及導致其演化的各種因素，因此僅憑數(shù)學教材的學習，難以獲得數(shù)學的原貌和全景，同時忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現(xiàn)實科學或許有用的數(shù)學材料與方法。另外，中國傳統(tǒng)的數(shù)學教學強調的是數(shù)學的技能和邏輯推理，學生要求掌握一大堆的概念、定理，以及反反復復的習題演算，而對于數(shù)學概念在歷史上的產生過程，數(shù)學定理或公式的發(fā)現(xiàn)過程則并不提及。小學中學如此，到了大學也仍然沒有改變，所以學生甚至大部分教師都認為數(shù)學是單調的，數(shù)學是枯燥的。事實上，數(shù)學的這些技巧只不過是它的一方面，它們遠不能代表數(shù)學，技巧是將數(shù)學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物。

3 數(shù)學史與高等數(shù)學教學整合的必要性

數(shù)學的歷史源遠流長，在早期的人類社會中，數(shù)學與語言、藝術及宗教一并構成了最早的人類文明。數(shù)學已經具有兩千多年的歷史，數(shù)學史是研究數(shù)學發(fā)展規(guī)律的科學，它研究數(shù)學概念、數(shù)學方法和數(shù)學思想的起源與發(fā)展。數(shù)學史研究具有三重目的：一是歷史目的，即恢復歷史的本來面目；二是數(shù)學的目的，即古為今用，為現(xiàn)實的數(shù)學研究與自主創(chuàng)新提供歷史借鑒；三是教育的目的，即在數(shù)學教學中利用數(shù)學史，這在當前已經成為一種國際現(xiàn)象［1］。而數(shù)學史教育是教師在講授數(shù)學知識的同時，以實證的方式，向學生詳細追溯這一知識或概念被人們所發(fā)現(xiàn)和完善的全部歷史過程，并向學生指明在發(fā)展道路上出現(xiàn)的各種各樣的困難，以及數(shù)學家們怎樣戰(zhàn)勝或避開它們，最后又怎樣走近那個從未達到過的目標。過去的那種英才教育、專才教育的教育思想，已經不能適應當今社會的需要，素質教育、通識教育才是首要，而數(shù)學史在推進素質教育方面，顯然有著它的特殊作用［2］。數(shù)學史的教育應該至少包含三方面的目的：一是使學生更好地理解數(shù)學，二是激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，三是培養(yǎng)學生的人文素養(yǎng)。

4 實例研究

4.1 悖 論

所謂數(shù)學悖論，是指數(shù)學領域中既有數(shù)學規(guī)范中發(fā)生的無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的數(shù)學規(guī)范中得到解決。人類歷史上有4次數(shù)學高峰：第一次是古希臘的演繹數(shù)學時期，第二次是牛頓、萊布尼茲的微積分時期，第三次是以希爾伯特為代表的形式主義公理化時期，第四次是以計算機技術為標志的新數(shù)學時期。數(shù)學歷史上的三大危機分別是由古希臘時期的希帕索斯悖論，17、18世紀關于微積分基礎爭論的貝克萊悖論和20世紀初的集合論悖論引起的，它同前3次高峰有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系是數(shù)學作為一門追求完美的科學的必然。

在高等數(shù)學教學剛開始時，通過給學生介紹由數(shù)學悖論引起的數(shù)學危機，使學生知道數(shù)學是一門充滿矛盾并不斷發(fā)展的學科，而不是一成不變的就像人們現(xiàn)在看到的完美的形式體系那樣。筆者給學生介紹的是貝克萊悖論。

17世紀末，為了滿足工業(yè)革命的需要，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分理論，并成功地應用到了實踐中，大部分數(shù)學家對于這一理論的可靠性深信不移。但是，兩人的理論都建立在無窮小分析之上，他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用是混亂的，無窮小分析后來證明是包含邏輯矛盾的。1734年，英國大主教貝克萊對當時的微積分學說進行了猛烈的抨擊，例如他指責牛頓，為計算x2的導數(shù)，先將x取一個不為0的增量Δx，由（x＋Δx）2-x2，得到2xΔx＋（Δx）2后再被Δx除，得到2x＋Δx，最后突然令Δx＝0，求得導數(shù)為2x，這是依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果。無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是0，一會兒又說不是0。數(shù)學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0，但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一悖論的發(fā)現(xiàn)，在當時引起了一定的思想混亂，導致了數(shù)學史上的第二次危機，引起了持續(xù)200多年的微積分基礎理論的爭論。隨后，許多數(shù)學家從各種不同的角度進行研究、探索，試圖把微積分重新建立在可靠的基礎之上。經過幾代數(shù)學家的努力，包括達朗貝爾、拉格朗日、伯努利家族、拉普拉斯及歐拉、柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾在內，最后終將分析基礎歸結為實數(shù)理論，并于20世紀70年代構建了完整的實數(shù)體系，建立起嚴謹?shù)臉O限理論與實數(shù)理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數(shù)學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數(shù)學危機的徹底解決。

給學生介紹這樣的數(shù)學悖論，可以讓學生明白悖論是數(shù)學發(fā)展的一種內在動力，也能激發(fā)學生更有興趣去了解第一次數(shù)學危機和第三次數(shù)學危機，從而能對整個數(shù)學的發(fā)展有個大致的了解。

4.2 數(shù)學理想方法的產生

在數(shù)學發(fā)展史上，數(shù)學家往往是在問題的解決過程中產生新的思想方法，甚至是一門學科。在課堂上和學生一起追尋數(shù)學方法的源頭，從數(shù)學發(fā)現(xiàn)的本原狀態(tài)中理解方法論的本質，有助于加深學生對教學內容的理解。

在空間解析幾何這一章開始時，筆者在課堂上給學生講述了解析幾何這一學科其實也是一種思想方法的誕生。

笛卡爾是法國著名的哲學家、自然科學家和數(shù)學家。笛卡爾從小身體瘦弱，但他極其聰敏，他8歲進入耶穌會學校接受傳統(tǒng)的文化教育，但在他看來教科書中那些微妙的論證，其實不過是模棱兩可甚至前后矛盾的理論，只能使他頓生懷疑而無從得到確鑿的知識。他只喜歡數(shù)學教師克拉維斯的代數(shù)課，但很快又察覺到代數(shù)課中的一些內容缺乏直觀性，同時他也不喜歡歐幾里得幾何，覺得它缺乏動感和想象力，他立志要建立一種集代數(shù)和幾何兩門學科優(yōu)點于一身而又能去掉二者缺點的新學科。1619年，笛卡爾研究“帕波斯問題”時，引發(fā)了他建立坐標系，且把幾何問題轉化成代數(shù)方程的思想，這個問題是引發(fā)解析幾何誕生的重要契機之一。1637年，笛卡爾的名著《幾何學》問世，宣布解析幾何的誕生，解析幾何的產生標志著數(shù)學從初等數(shù)學時期進入高等數(shù)學時期?！稁缀螌W》是笛卡爾著名《方法論》的3個附錄之一，約100頁，分為3卷。在《幾何學》的一開始他就提出：“任何一個幾何問題都很容易化歸為用一些術語來表示，使得只要知道直線段的長度的有關知識，就足以完成它的作圖?！钡芽柕臄?shù)學格言是：“一切問題都可以化成數(shù)學問題，一切數(shù)學問題可以化成代數(shù)問題，一切代數(shù)問題可以化成代數(shù)方程求解的問題。”

另外值得一提的是，法國另一位數(shù)學家費馬從另一個出發(fā)點獨立地進行了解析幾何的初創(chuàng)工作，他主要是從不定方程解的作圖這一角度開展工作的，也是繼承阿波羅尼奧斯和帕波斯的工作之后，提出了解析幾何的理論和方法的［3］。

解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結合。解析幾何的建立為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎，從而開拓了變量數(shù)學的廣闊領域。正如恩格斯所說：“數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了?！?/p>

4.3 數(shù)學家的故事

伊夫斯曾說過：“在課堂上證明這些故事和秩事是非常有用的，就像少量激發(fā)興趣的因子、調味品一樣，通過介紹一個人的成長故事來激勵學生，慢慢灌輸對偉大創(chuàng)造者的尊敬和仰慕，找回對數(shù)學學科逐漸衰退的興趣，與歷史文化逐步建立聯(lián)系?！睌?shù)學家們所經受的痛苦和斗爭，所表現(xiàn)出的堅韌不拔，如果學生們知道這些事情更多一些，將會以更大的勇氣和熱忱去學習和工作。在高等數(shù)學微積分部分的教學過程中，筆者給學生介紹了18世紀著名的伯努利家族。

伯努利家族是瑞士巴塞爾的一個家族，這個家族出現(xiàn)了很多藝術家和科學家，特別是18世紀，家族3代出了8位著名的數(shù)學家，他們分別是雅各布和約翰兄弟、他們的侄子大尼古拉、約翰的3個兒子和2個孫子，當今有6個數(shù)學方程、定理和函數(shù)都以伯努利命名［4］。8位數(shù)學家中最出名的是雅各布、約翰及其子丹尼爾，其中雅各布和約翰是最早認識微積分的驚人力量并將其應用于各類問題的數(shù)學家。

雅各布于1671和1676年獲得藝術碩士和神學碩士學位，但他對數(shù)學有著濃厚的興趣，他與萊布尼茨（微積分的創(chuàng)始人之一）一直保持經常的通訊聯(lián)系，互相探討微積分的有關問題。1687年雅各布擔任巴塞爾大學數(shù)學教授，教授實驗物理和數(shù)學。雅各布在概率論、微分方程、無窮級數(shù)求和、變分方法、解析幾何等方面均有較大的成就。雅各布的數(shù)學貢獻包括：極坐標的應用、在直角坐標下和極坐標下導出平面曲線的曲率半徑公式、伯努利雙紐線、伯努利微分方程、等周曲線問題、伯努利數(shù)、伯努利大數(shù)定理等。雅各布發(fā)現(xiàn)對數(shù)螺線（r＝aθ）以奇異的方式在漸開線、漸屈線和反射與折射的焦散中重復其自身，他追隨阿基米德，表示希望將這種曲線刻在自己的墓碑上，并刻寫“Eadem mutate resurgo”（縱然變化，我重生如故），這是一個表達基督希望的典故［5］。

約翰是雅各布的弟弟，1695年約翰擔任荷蘭格羅寧根大學數(shù)學教授。1705年雅各布去世，約翰去巴塞爾大學繼任數(shù)學教授的職務，致力于數(shù)學教學，直到1748年去世。約翰是一位多產的數(shù)學家，他的數(shù)學貢獻包括：曲線的求長、曲面的求積、等周問題、微分方程、指數(shù)運算、解決懸鏈線問題、提出洛必塔法則、給出求積分的變量替換法、出版《積分學數(shù)學講義》等。約翰的另一大功績是培養(yǎng)了一大批出色的數(shù)學家，其中包括18世紀最著名的數(shù)學家歐拉、瑞士數(shù)學家克萊姆、法國數(shù)學家洛必塔，以及他自己的兒子丹尼爾和侄子尼古拉等。

丹尼爾是約翰的次子，1724年，他發(fā)表《數(shù)學練習》，引起學術界關注，第二年，25歲的丹尼爾受聘為圣彼得堡科學院數(shù)學教授，并被選為該院名譽院士。丹尼爾的貢獻集中在微分方程、概率和數(shù)學物理，被譽之為數(shù)學物理方程的開拓者和奠基人。作為伯努利家族博學廣識的代表，他的成就涉及多個科學領域。他出版了經典著作《流體動力學》、給出伯努利定理等流體動力學的基礎理論、研究彈性弦的橫向振動問題、提出聲音在空氣中的傳播規(guī)律。他的論著還涉及天文學、地球引力、湖汐、磁學、振動理論、船體航行的穩(wěn)定、生理學等。有一個關于丹尼爾的傳說：有一次他在旅途中同一個陌生人閑談，他謙虛地自我介紹：“我是丹尼爾·伯努利?！蹦吧肆⒓磶еI諷的神情回答道：“那我就是伊薩克·牛頓。”在丹尼爾看來，這是他有生以來受到過的最誠懇的贊頌。

4.4 歷史上數(shù)學家的錯誤

在數(shù)學理想的形成和發(fā)展過程中，數(shù)學家們也會犯錯誤，通過揭示歷史上數(shù)學家的錯誤來加深學生對課堂知識的理解，也不失為一種非常好的教學手段。

在介紹無窮級數(shù)時，筆者給學生講了這樣一個故事。數(shù)學對無限的分類產生于17世紀和18世紀之間，當時由于對微積分的研究，數(shù)學中出現(xiàn)了大量的無窮級數(shù)，最初人們還沒有認識到無窮級數(shù)的特殊性質，只把它們看作無限多個項的和，于是就輕率地把有理運算的性質應用到無窮級數(shù)，結果產生了許多奇異的答案。例如，牧師格蘭迪考慮了交錯級數(shù)：

它的和應該是多少呢？

第一種方法，S＝（1-1）＋（1-1）＋（1-1）＋…＝0＋0＋0＋…＝0；

第二種方法，S＝1-（1-1）-（1-1）-（1-1）-…＝1。

面對這2種可能，因為0和1都是同樣可能的結果，所以正確的級數(shù)和為。當然這個值也可以這樣

計算：

S＝1-（1-1＋1-1＋1-1＋…）＝1-S，

5 結 語

把數(shù)學史融入到高等數(shù)學的課堂教學中，一方面加強了數(shù)學人文教育，另外一方面，使學生覺得高等數(shù)學教學課堂不再枯燥無味，激發(fā)了他們學習的興趣，能使學生更好地掌握教學內容，進而為他們后繼的專業(yè)課程打好基礎。

［1］ 江曉原，謝寶耿.從科學史到科學文化：江曉原教授訪談［J］.學術月刊，2004（12）：111-121.

［2］ 李文林.數(shù)學的進化：東西方數(shù)學史比較研究［M］.北京：科學出版社，2005.

［3］ 王樹禾.數(shù)學思想史［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2003.

［4］ 哈爾·赫爾曼.數(shù)學恩仇錄［M］.范偉，譯.上海：復旦大學出版社，2009.

［5］ EVES H W.數(shù)學圈［M］.李泳，劉晶晶，譯.長沙：湖南科學技術出版社，2007.