廖春艷

(湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南永州 425100)

基于二階和高階統(tǒng)計(jì)量DOA估計(jì)算法的對(duì)比＊

廖春艷

(湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南永州 425100)

陣列信號(hào)處理是信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，而波達(dá)方向估計(jì)又是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要方面，一些常用的方法可以用來獲得DOA估計(jì)，例如基于二階統(tǒng)計(jì)量的MUSIC法，但是這些方法存在一些缺點(diǎn).對(duì)比了基于二階和高階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)算法性能，仿真結(jié)果表明，基于高階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)算法具有更好的性能，此外，還分析了基于二階或高階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)算法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).

陣列信號(hào)處理;DOA估計(jì);MUSIC算法;二階統(tǒng)計(jì)量;高階統(tǒng)計(jì)量

作為信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，陣列信號(hào)處理廣泛應(yīng)用在雷達(dá)、聲納、地震信息、無線通信、生物醫(yī)學(xué)工程等多個(gè)軍事和民用領(lǐng)域［1－4］.

陣列信號(hào)處理是利用陣列天線對(duì)信號(hào)進(jìn)行空間采樣并進(jìn)行處理，陣列信號(hào)處理的主要問題包括:波束形成技術(shù)——使陣列方向圖的主瓣指向所需的方向;零點(diǎn)形成技術(shù)——使天線的零點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)干擾方向;空間譜估計(jì)——對(duì)空間信號(hào)波達(dá)方向的分布進(jìn)行超分辨率估計(jì).利用陣列信號(hào)處理技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)遠(yuǎn)場信號(hào)的波達(dá)方向(DOA－direction of arrival)進(jìn)行估計(jì)是陣列信號(hào)空間譜估計(jì)研究的主要內(nèi)容.波達(dá)方向的估計(jì)方法大致可分為兩大類:一類是參數(shù)化的方法，另外一類是基于空間譜的方法.參數(shù)化的方法通常要求同時(shí)對(duì)所有感興趣的參數(shù)進(jìn)行搜索，如極大似然法，這就會(huì)使計(jì)算量大大增加.空間譜分析方法是指構(gòu)造一個(gè)以空間方位為參數(shù)的譜函數(shù)，其典型的算法是MUSIC算法，基于接收信號(hào)相關(guān)矩陣特征值分解的MUSIC算法具有良好的DOA估計(jì)性能，它是利用信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性，構(gòu)造空間譜函數(shù)，通過譜峰搜索來檢測信號(hào)的DOA［5］.

長期以來，在陣列信號(hào)處理中人們習(xí)慣于假設(shè)信號(hào)或噪聲服從高斯分布.這樣，僅用二階統(tǒng)計(jì)量或基于二階統(tǒng)計(jì)量的功率譜分析便可以提取信息，進(jìn)行各種處理.但在許多實(shí)際過程中產(chǎn)生的信號(hào)往往是非高斯分布的，非高斯信號(hào)是一種更為普遍的信號(hào)，過去由于缺乏必要的分析工具，人們也只能將這些信號(hào)近似假定為高斯信號(hào)進(jìn)行處理.隨著信息科學(xué)的迅猛發(fā)展，將高階統(tǒng)計(jì)量應(yīng)用于陣列信號(hào)處理已經(jīng)取得了很大的發(fā)展，在陣列信號(hào)處理中使用高階統(tǒng)計(jì)量有幾個(gè)好處:1)當(dāng)加性噪聲是高斯有色噪聲時(shí)，基于二階統(tǒng)計(jì)量的高分辨DOA算法(例如MUSIC法)工作得不好，而基于累積量的MUSIC算法卻能工作得很好;2)高階統(tǒng)計(jì)量不僅可以消除加性高斯噪聲的影響，而且還可以消除加性非高斯噪聲的影響.

1 高階統(tǒng)計(jì)量的基本概念［5］

1.1 隨機(jī)變量的特征函數(shù)

對(duì)于概率密度為f(x)的隨機(jī)變量x，其第一特征函數(shù)為:

其第二特征函數(shù)為:

1.2 隨機(jī)變量的k階矩和k階累量

k 階矩為:

k階累量為:

1.3 隨機(jī)向量的r階矩和r階累量

r階矩:

r階累量:

1.4 隨機(jī)過程的r階矩和r階累量

1.5 高階譜的定義

將隨機(jī)過程{x(n)}的k階累量的(k－1)維傅里葉變換定義為{x(n)}的k階譜.之所以用k階累量而不是k階矩來定義k階譜的原因在于:

(1)高階累量的使用可以避免高斯有色噪聲的影響，而高階矩卻不能;

(2)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)過程之和的累量等于各個(gè)隨機(jī)過程的累量之和，這樣在實(shí)際處理加性信號(hào)時(shí)將帶來運(yùn)算上的方便，而高階矩卻不滿足此性質(zhì);

(3)獨(dú)立同分布過程的高階累量為δ函數(shù)，因而其傅里葉變換是多維平坦的.

2 基于高階統(tǒng)計(jì)量的波達(dá)方向估計(jì)算法推導(dǎo)［6］

用四階累積量做研究，設(shè)第m個(gè)陣元的輸出信號(hào)為:

矩陣形式如下:X=AS+N

輸出信號(hào)的四階累積量矩陣為:

將X=AS+N代入式2.2得:

根據(jù)Kronecker乘積的性質(zhì)，得:

令:R=A?A*

Cs和Cn分別為信源和噪聲的空間四階累積量矩陣，這樣式2.2 可以寫成

對(duì) Cx進(jìn)行特征分解，其特征值從大到小排列為 λ1，λ2，…，λM2，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為 μ1，μ2，…，μM2.由于 rank(RCsRH)=D2，所以Cx應(yīng)有D2個(gè)大的特征值和M2－D2個(gè)小特征值，小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量張成的空間定義為噪聲子空間，即:

同時(shí)定義信號(hào)子空間為:

得到正交條件:

定義噪聲矩陣En:

基于四階累積量矩陣的空間譜定義為:

由于在輻射源方向上具有正交方程，在該方向上的譜值取得極大值.

3 基于高階統(tǒng)計(jì)量的波達(dá)方向估計(jì)步驟

a)根據(jù)各陣元收到的信號(hào)構(gòu)造復(fù)解析形式，從而得到矩陣X;

b)求矩陣的四階累積量矩陣Cx;

c)對(duì)Cx進(jìn)行特征分解，計(jì)算四階累積量的空間譜;

d)搜索譜峰就可以得到信源方向.

4 基于高階統(tǒng)計(jì)量DOA估計(jì)仿真分析

仿真條件:陣元數(shù)為6，SNR=10，陣元間距為0.2波長，2 個(gè)信號(hào)源，入射角為10°，60°.結(jié)果見圖1、圖2.

圖1 d＜時(shí)，基于二階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)

圖2 d＜時(shí)，基于高階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)

仿真條件:陣元數(shù)為6，SNR=10，陣元間距為0.5波長，2 個(gè)信號(hào)源，入射角為 10°，60°.結(jié)果見圖 3、圖 4.

圖3 d=時(shí)，基于二階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)

仿真條件:陣元數(shù)為6，SNR=10，陣元間距為0.6波長，2 個(gè)信號(hào)源，入射角為 10°，60°.結(jié)果見圖 5、圖 6.

圖4 d=時(shí)，基于高階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)

圖5 d＞ 時(shí)，基于二階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)

圖6 d＞ 時(shí)，基于高階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)

5 結(jié)論

從仿真結(jié)果可以看出基于高階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)與基于二階統(tǒng)計(jì)量的DOA估計(jì)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn):

不同點(diǎn):同樣是利用特征分解法，基于高階累積量的MUSIC顯示了很好的抗干擾能力，在相同信噪比條件下，基于高階累積量的MUSIC方法明顯優(yōu)于基于二階統(tǒng)計(jì)量的MUSIC算法，在時(shí)，可以很清楚地看到基于高階累量得到的譜峰比基于二階統(tǒng)計(jì)量得到的譜峰更加明顯.在d＞時(shí)，雖然兩者都出現(xiàn)了柵瓣，但是從圖5、圖6可以看出，基于高階累量的柵瓣部分的譜峰明顯得到抑制，這是由于此仿真用的是高斯白噪聲，高斯信號(hào)3階以上的累量恒為0，所以即使陣元之間的間隔不滿足出現(xiàn)柵瓣部分的譜峰也得到了明顯抑制.

總之，用基于高階統(tǒng)計(jì)量的MUSIC算法估計(jì)波達(dá)方向能夠有效地抑制高斯白噪聲甚至高斯色噪聲的影響，估計(jì)性能在很大程度上優(yōu)于傳統(tǒng)的基于二階統(tǒng)計(jì)量所得到的DOA估計(jì).

［1］張賢達(dá)，保錚.通信信號(hào)處理［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2000.

［2］Manolakis D G，lngle V K，Kogon S M.統(tǒng)計(jì)與自適應(yīng)信號(hào)處理［M］.周正，顧仲梅，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2003.

［3］劉剛，呂新華，攸陽.陣列信號(hào)處理中基于MUSIC算法的空間譜估計(jì)［J］.微計(jì)算機(jī)信息，2006，(12):302 －303.

［4］馮亞俊.基于 MUSIC算法的 DOA估計(jì)［J］.信息科學(xué)，2007，(10):1606－1609.

［5］葛哲學(xué)，陳仲生.Matlab時(shí)頻分析技術(shù)及其應(yīng)用［M］.北京:人民郵電出版社，2006.

［6］梁清泉，程剛.基于高階統(tǒng)計(jì)量的波達(dá)方向估計(jì)技術(shù)的研究［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2002.

O213.2

A

1008－4681(2012)02－0018－03

2012－02－11

湖南科技學(xué)院2010年校級(jí)課題(批準(zhǔn)號(hào):10XKYTC029).

廖春艷(1984－)，女，江西吉安人，湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系助教，碩士.研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué).

(責(zé)任編校:晴川)