張彥杰

（濮陽市職業(yè)中專，河南 濮陽 457000）

“代數(shù)式求值問題”的解題方法

張彥杰

（濮陽市職業(yè)中專，河南 濮陽 457000）

本文就“代數(shù)式求值問題”，從變形這個角度進(jìn)行分類，并給出相應(yīng)的解法。通過掌握數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題是高效率數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑。

整體代值；因式分解；倒數(shù)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

代數(shù)式求值問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本內(nèi)容之一，熟練掌握代數(shù)式求值問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求，而代數(shù)式求值問題形式多樣，變化豐富多彩。代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切，許多代數(shù)式是先化簡再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用因式分解、分式的性質(zhì)、倒數(shù)、韋達(dá)定理、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等等，經(jīng)過恒等變形，把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來，化簡，進(jìn)而求值。

一、整體代值

此類型是代數(shù)式求值問題中的基本類型，其中又蘊含了一種重要的數(shù)學(xué)方法——換元法，因此顯得非常重要。

二、發(fā)掘隱含條件

適時發(fā)掘題目隱含條件，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用實數(shù)運算性質(zhì)，把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來，化簡，進(jìn)而求值。

解：因為abc＜0，所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù)，或三個都是負(fù)數(shù)；又因為a+b+c＞0，所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù).不妨設(shè)a＜0，b＞0，c＞0，則ab＜0，ac＜0，bc＞0故將代入要求的代數(shù)式得到結(jié)果為1.同理，當(dāng)b＜0 或a＜0時，要求的代數(shù)式得到結(jié)果仍為1.

三、利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值

若幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則每個非負(fù)數(shù)都為零，這個性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用.

例3 若x2－4x+|3x－y|=－4，求yx的值.

分析：x，y的值均未知，而題目卻只給了一個方程，似乎無法求值，但仔細(xì)挖掘題中的隱含條件可知，可以利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解.

解：因為x2－4x+|3x－y|=－4，所以x2－4x＋4＋|3xy|=0，即 (x-2)2+|3x－y|=0.

得x-2=0，3x－y=0，解得x=2，y=6，故yx=62=36.

四、設(shè)參數(shù)法求值

如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù))，以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法.

五、利用分式、根式的性質(zhì)求值

分式與根式的化簡求值問題，內(nèi)容相當(dāng)豐富，因此這里只舉一個例子略做說明。

分析：計算時應(yīng)注意觀察式子的特點，若先分母有理化，計算反而復(fù)雜.因為這樣一來，原式的對稱性就被破壞了.

解：由題設(shè)知

六、利用倒數(shù)

分析，兩個分式比較簡潔、對稱，又有某些內(nèi)在的聯(lián)系，但分母均為多項式，不易化簡求值，若利用倒數(shù)，可使問題簡單化。

七、利用韋達(dá)定理

例7 已知實數(shù)x、y、z滿足x+y=5，z2=xy+y－9,求x+2y+3z的值.

按給定條件，兩個方程三個未知數(shù)，無法求出未知數(shù)的具體值。本體技巧在于運用韋達(dá)定理，找到突破口，使問題簡化。

八、利用因式分解方法

因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡求值中，經(jīng)常被采用。

分析x的值雖已給出的，但直接代入求值，將會很麻煩.我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件。

在求代數(shù)式的值時，若已知的是一個或幾個代數(shù)式的值，這時要盡可能避免解方程(或方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會使問題得到簡捷的解答。

G424.1

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1008-7427（2012）08-0145-01

2012-06-14