周臘吾，嚴(yán) 偉，匡江傳

(湖南大學(xué)，湖南長(zhǎng)沙 410082)

0 引 言

永磁同步電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱PMSM)因其高功率密度、高轉(zhuǎn)矩電流比、低損耗等優(yōu)點(diǎn)［1］而被廣泛應(yīng)用于高精度數(shù)控機(jī)床、印刷、機(jī)器人等位置控制系統(tǒng)中;然而作為一個(gè)典型的非線性復(fù)雜控制對(duì)象，其模型具有多變量耦合等特點(diǎn);系統(tǒng)自身控制參數(shù)變化及負(fù)載未知變化會(huì)影響系統(tǒng)控制精度，要實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)高精度的位置控制，必須消除此干擾。

常規(guī)控制方法一般采用PID控制［2］，其算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，能滿足一定范圍內(nèi)的控制要求，但其克服自身及系統(tǒng)外部擾動(dòng)性能方面較弱，控制精度不高。復(fù)雜控制方法有逆系統(tǒng)控制［3－4］、自適應(yīng)控制［5－6］和滑?？刂疲?－8］等方法，都需已知被控對(duì)象模型和擾動(dòng)模型，且對(duì)參數(shù)依賴性強(qiáng)、系統(tǒng)魯棒性差。智能控制［9－10］無需知道被控對(duì)象的精確模型，對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)魯棒性好，但算法復(fù)雜、控制系統(tǒng)成本較高。

本文提出了一種PMSM變結(jié)構(gòu)自抗擾位置伺服控制系統(tǒng)。將變結(jié)構(gòu)控制(VSC)引入到位置自抗擾控制器(ADRC)的設(shè)計(jì)中，通過對(duì)控制器中擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)和非線性狀態(tài)誤差反饋控制律(NLSEF)的變結(jié)構(gòu)改進(jìn)，既保持了原控制器特點(diǎn)，又減少了可調(diào)參數(shù)，并改善了系統(tǒng)控制性能;結(jié)合位置環(huán)、轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)，設(shè)計(jì)了一種新的變結(jié)構(gòu)自抗擾位置控制器，在保證系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的同時(shí)，提高了系統(tǒng)魯棒性。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的系統(tǒng)具有響應(yīng)速度迅速、無超調(diào)、穩(wěn)態(tài)精度高，對(duì)負(fù)載及系統(tǒng)擾動(dòng)魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)。

1 PMSM的數(shù)學(xué)模型

PMSM d－q坐標(biāo)結(jié)構(gòu)如圖1所示。在該坐標(biāo)中電機(jī)轉(zhuǎn)子以同步電角速度ω旋轉(zhuǎn)，假定其空間磁場(chǎng)呈正弦分布，且忽略磁路飽和，不計(jì)磁滯和渦流損耗影響，當(dāng)PMSM轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)為表貼式時(shí)有Ld=Lq=L，在此條件下，采用id=0矢量控制策略時(shí)，得到同步坐標(biāo)系下PMSM的狀態(tài)方程［11］:

圖1 PMSM d－q坐標(biāo)結(jié)構(gòu)

式中:id、iq為電機(jī)定子電流 d、q軸分量;ud、iq為定子電壓d、q軸分量;ω為轉(zhuǎn)子角頻率;R為定子繞組電阻;L為定子d、q軸自感;ψf為轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁鏈;TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;Te為電磁轉(zhuǎn)矩;J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;B為阻力系數(shù);p為極對(duì)數(shù);θ為轉(zhuǎn)子位置角。

2 變結(jié)構(gòu)自抗擾器的數(shù)學(xué)模型

2.1 自抗擾控制的數(shù)學(xué)模型

自抗擾控制技術(shù)是近幾年以來在非線性PID控制的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的一種改進(jìn)的新型非線性控制技術(shù)［12－13］，主要包括跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器、非線性狀態(tài)反饋(NLSEF)三部分。

設(shè)三階被控對(duì)象的狀態(tài)方程如下:

式中:b為系統(tǒng)控制量增益;u(t)為系統(tǒng)控制量;f0(x1，x2，x3)為系統(tǒng)已知部分;w(t)為系統(tǒng)未知部分，此兩部分的總和為系統(tǒng)的總擾動(dòng)。

三階被控對(duì)象的ADRC方程如下:

(1) 線性微分－ 跟蹤器

式中:v為輸入信號(hào);v1為v的跟蹤信號(hào);v2為v1的微分信號(hào);v3為v2的微分信號(hào);R為速度因子，R越大，跟蹤速度越快。

(2)非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

式中:y為系統(tǒng)輸出;z1為y的跟蹤信號(hào);z2為z1的微分信號(hào);z3為z2的微分信號(hào);z4為系統(tǒng)擾動(dòng)的跟蹤信號(hào);ε1為誤差信號(hào);β01、β02、β03和 β04為輸出誤差校正增益。

(3)非線性狀態(tài)反饋控制律

式中:e1、e2和e3分別為誤差、微分和二次微分信號(hào);β1、β2和β3分別為誤差、微分和二次微分增益;f0(z1，z2，z3)為系統(tǒng)已知部分。

fal(·)為最優(yōu)綜合控制函數(shù)，其表達(dá)式:

式中:a為非線性因子;δ為濾波因子;ε為輸入誤差變量;適當(dāng)選取參數(shù)可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性能優(yōu)良的非線性控制，從而提高了系統(tǒng)控制精度［14］，使控制器具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性。

2.2 變結(jié)構(gòu)擴(kuò)張觀測(cè)器的數(shù)學(xué)模型

變結(jié)構(gòu)控制(VSC)［15］的基本思想是通過控制作用將從系統(tǒng)任一點(diǎn)出發(fā)的狀態(tài)軌跡引導(dǎo)到滑模面，同時(shí)保證系統(tǒng)在滑模面上的運(yùn)動(dòng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即滑動(dòng)模態(tài)。滑?？蛇_(dá)性條件僅保證在有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)到達(dá)滑模面的要求，而對(duì)其具體運(yùn)動(dòng)軌跡未做任何限制，運(yùn)用適當(dāng)?shù)牟呗钥梢愿纳期吔\(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能。

針對(duì)單輸入單輸出控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)控制步驟如下:

(1)設(shè)計(jì)滑模切換函數(shù) s=cx=［c1，c2，…，cn］·［x1，x2，…，xn］T，選取適當(dāng)?shù)某?shù) c1、c2、…、cn，使得滑模運(yùn)動(dòng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

(2)求取最佳滑動(dòng)模態(tài)趨近控制率u，使得在超平面s=0上的每一點(diǎn)存在滑動(dòng)模態(tài)，且控制作用必須讓系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入滑模面。

對(duì)式(5)作適當(dāng)變形，則式(5)與式(8)是等價(jià)的［16］:

只要選取合適的函數(shù)f(ε)就能保證變結(jié)構(gòu)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器式(9)穩(wěn)定［17］，從而可使式(5)穩(wěn)定。對(duì)于式(9)，取滑模平面函數(shù):

適當(dāng)選取常 c1、c2、c3，滿足多項(xiàng)式 p4+c3p3+c2p2+c1p+1(p為拉普拉斯算子)為赫爾維茨穩(wěn)定，并使之具有較大的穩(wěn)定裕度。令函數(shù):

則變結(jié)構(gòu)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器式(9)穩(wěn)定。式中，sign(·)為符號(hào)函數(shù)，sign(t)=1 t≥0{0 t＜0，k為可調(diào)參數(shù)。其證明如下:

對(duì)函數(shù)s(t)微分，同時(shí)將式(9)代入式中，可得:

式(13)中，適當(dāng)選取 k，使 k＞A，則 s(t)(t)≤0，由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，在此條件下，系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模面，從而保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了減弱抖振，用繼電特性函數(shù)θ(s)代替式(11)中的符號(hào)函數(shù) sign(·)，此函數(shù):θ(s)=，δ 為較小的1正的常數(shù)，且可調(diào)。

2.3 變結(jié)構(gòu)非線性組合控制器的數(shù)學(xué)模型

式(4)中，v1為給定信號(hào)v(t)安排的過渡信號(hào)，v2、v3為這個(gè)過渡過程信號(hào)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。式(5)中，z1、z2、z3是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量的重構(gòu)，因此兩組變量之間的誤差 e1=v1－z1，e2=v2－z2，e3=v3－z3為對(duì)象參考輸入v(t)的狀態(tài)誤差;由于，對(duì)非線性誤差反饋控制律變形，有:

同樣地，若取:

也可保證式(14)穩(wěn)定。式中，l為可調(diào)參數(shù)，θ(s)為繼電特性函數(shù)，以減小系統(tǒng)抖振，其表達(dá)式:θ(s)=，δ為較小的正可調(diào)參數(shù)，常數(shù)c、c和滑模212面的取法以及穩(wěn)定性分析與前所述類似，文中定義誤差為輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的差，故控制作用u0為“正”。

由分析可得，改進(jìn)后的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)與非線性狀態(tài)誤差反饋控制律(NLSEF)各含有兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，且個(gè)數(shù)不受被控系統(tǒng)階次的限制。與改進(jìn)前相比，控制器的可調(diào)參數(shù)有所減少，這使得參數(shù)整定變得容易。

3 PMSM變結(jié)構(gòu)自抗擾位置控制器

由式(1)可得PMSM位置環(huán)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的三階動(dòng)態(tài)方程［14］:

式中:f0(x1，x2，x3)為系統(tǒng)已知擾動(dòng)，w(t)為系統(tǒng)未知擾動(dòng)。通過這兩項(xiàng)可以有效地估計(jì)系統(tǒng)的負(fù)載擾動(dòng)，并對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，對(duì)負(fù)載擾動(dòng)有很好的魯棒性;在有位置傳感器的條件下，ω為已知量，其微分亦為已知量，可得位置環(huán)的狀態(tài)方程:

由此可知，其狀態(tài)方程與式(3)相同。故可依據(jù)式(4)、式(9)和式(14)來設(shè)計(jì)位置環(huán)變結(jié)構(gòu)ADRC控制器的各部分，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖中，θ*是給定轉(zhuǎn)子位置是給定q軸電壓，θ為轉(zhuǎn)子實(shí)際位置信號(hào)，v1是給定位置信號(hào)的跟蹤，v2、v3為位置給定的微分、二次微分信號(hào)，z1為轉(zhuǎn)子實(shí)際位置的跟蹤，z2為跟蹤的微分，z3為z2的微分信號(hào)，z4為系統(tǒng)不確定部分觀測(cè)量，即 w(t)、f0(z1，z2，z3)為已知部分觀測(cè)量，此處的微分不同于PD控制的微分，它對(duì)“噪聲”不是起放大作用，而是起抑制作用［18］。

圖2 變結(jié)構(gòu)自抗擾控制器的總體框圖

此控制器中，跟蹤微分器(TD)對(duì)θ*進(jìn)行濾波，通過TD作用，可得到平穩(wěn)的跟蹤信號(hào)v1，并獲得其一次、二次微分信號(hào)v2、v3，可使系統(tǒng)響應(yīng)迅速并無超調(diào)。通過變結(jié)構(gòu)擴(kuò)張觀測(cè)器作用，不但能得到各參變量的觀測(cè)值，且能獲得系統(tǒng)干擾的觀測(cè)值，比如:電機(jī)定子電阻、電感以及轉(zhuǎn)子慣量變化的干擾以及負(fù)載變化等其它未知擾動(dòng)。通過變結(jié)構(gòu)非線性組合控制器，不但可以補(bǔ)償系統(tǒng)的各種擾動(dòng)，而且能對(duì)位置信號(hào)實(shí)現(xiàn)性能優(yōu)良的非線性控制，改進(jìn)后的控制器即保持了原有特點(diǎn)又減少了可調(diào)參數(shù)，并改善了系統(tǒng)性能，提高了位置伺服系統(tǒng)的控制精度。

圖3 PMSM位置伺服系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖

PMSM位置伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示，該系統(tǒng)采用采用id=0的雙環(huán)矢量控制結(jié)構(gòu)，即位置環(huán)和電流環(huán)。位置環(huán)是將位置環(huán)、速度環(huán)和q軸電流環(huán)綜合在一起而形成的一種新的控制器;d軸電流環(huán)采用傳統(tǒng)的PI調(diào)節(jié)器。與傳統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)相比，不僅減少了控制環(huán)節(jié)，優(yōu)化了控制策略，而且增強(qiáng)了整個(gè)控制系統(tǒng)抗擾性，提高了系統(tǒng)穩(wěn)定性。

4 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證采用變結(jié)構(gòu)自抗擾伺服控制系統(tǒng)方案的性能，本文對(duì)其進(jìn)行了仿真。永磁同步電動(dòng)機(jī)參數(shù)如下:額定功率PN=1.82 kW，額定轉(zhuǎn)速n=6000 r/min，定子電阻 R=1.63 Ω，交軸、直軸分別為 Ld=Lq=5.3 mH，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J=0.00109 kg·m2，極對(duì)數(shù)為p=2，額定轉(zhuǎn)矩Te=7 N·m，轉(zhuǎn)子磁通ψ=0.304 Wb，fN=200 Hz。位置環(huán)周期為 0.1 ms。

仿真過程中選取參數(shù)為:R=106，δ1=0.05，δ=0.025，k=30，l=25。其結(jié)果如下:給定位置為0.0001 rad、空載起動(dòng)、電機(jī)在0.5 s施加額定負(fù)載，其結(jié)果如圖4所示。此系統(tǒng)位置控制準(zhǔn)確，且穩(wěn)態(tài)跟蹤精度高，無超調(diào)，對(duì)負(fù)載擾動(dòng)魯棒性強(qiáng)。

圖4 轉(zhuǎn)子位置曲線

給予轉(zhuǎn)子位置按照1*sin(2t)變化，同時(shí)負(fù)載按照7.5*sin(2t)擾動(dòng)，電機(jī)轉(zhuǎn)子位置、實(shí)際轉(zhuǎn)速和系統(tǒng)擾動(dòng)結(jié)果如圖5所示。圖中，PMSM位置跟蹤準(zhǔn)確且精度高;轉(zhuǎn)速為位置的微分，它除了在起動(dòng)的瞬間有極小的脈動(dòng)外，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，響應(yīng)平穩(wěn)，無脈動(dòng);VS－ADRC位置控制器觀測(cè)出的負(fù)載擾動(dòng)與真實(shí)值基本接近。

位置信號(hào)和負(fù)載擾動(dòng)曲線同上，電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量和定子電阻為原來的2倍，轉(zhuǎn)子位置、實(shí)際轉(zhuǎn)速和系統(tǒng)擾動(dòng)結(jié)果如圖6所示。由圖6可得，電機(jī)參數(shù)變化后，并沒有影響位置響應(yīng)，其仍舊能對(duì)給定位置精確跟隨，而轉(zhuǎn)速和系統(tǒng)擾動(dòng)只是在電機(jī)起動(dòng)時(shí)有微小的脈振，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與參數(shù)變化前相同。

5 結(jié) 語

本文將自抗擾與變結(jié)構(gòu)控制原理相結(jié)合，形成了一種新的變結(jié)構(gòu)自抗擾控制器并將其運(yùn)用于PMSM位置伺服系統(tǒng)中。改進(jìn)后的控制器可調(diào)參數(shù)減少并大大改善系統(tǒng)的控制性能。由仿真結(jié)果可知，系統(tǒng)改進(jìn)后其動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速且無超調(diào)，控制精度高，穩(wěn)態(tài)誤差小;并且對(duì)系統(tǒng)負(fù)載及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等內(nèi)外擾動(dòng)有很強(qiáng)的抗擾能力。

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