申 森

（太原大學(xué)外語(yǔ)師范學(xué)院，山西 太原 030012）

框架域子帶間局部隱馬爾可夫模型在圖像去噪中的應(yīng)用

申 森

（太原大學(xué)外語(yǔ)師范學(xué)院，山西 太原 030012）

噪聲是影響圖象質(zhì)量的主要因素，因此，有必要在分析和利用圖像之前消除噪聲。在本文中，研究了基于框架域子帶間局部隱馬爾可夫模型。這種模型能很好地捕捉小波框架系數(shù)的“聚集”特性，也能捕捉方向間小波框架系數(shù)的相關(guān)性。本文利用這種模型進(jìn)行圖像去噪。實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的去噪方法取得了較高的去噪結(jié)果。

局部隱馬爾可夫模型；圖像去噪；小波變換

1.引言

圖像在采集、獲取以及傳輸?shù)倪^(guò)程中，往往要受到噪聲的污染，成為影響視覺質(zhì)量的含噪圖像。圖像降噪的目的就是盡可能好地改善圖像的質(zhì)量。人們根據(jù)實(shí)際圖像的特點(diǎn)、噪聲的統(tǒng)計(jì)特征和頻譜分布規(guī)律發(fā)展了各式各樣的降噪方法，其中最為直觀的方法是根據(jù)噪聲能量一般集中于高頻，而圖像頻譜則分布于一個(gè)有限區(qū)間的特點(diǎn)，采用低通濾波的方式進(jìn)行降噪，例如滑動(dòng)平均窗濾波器、Wiener 線性濾波器等。文獻(xiàn)[1]通過(guò)建立描述邊緣的數(shù)學(xué)模型，提出了邊緣重構(gòu)技術(shù)。Yang[2]，Charbonnier[3]提出了半二次正則化方法，能很好地保持圖像的邊緣。

近年來(lái)，人們將小波變換與其它方法結(jié)合實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像降噪。Crouse 等人將小波理論與馬爾可夫模型(HMM) 聯(lián)系起來(lái)，提出小波域隱馬爾可夫模型[4]-[6]。一些學(xué)者利用小波域隱馬爾可夫模型，特別是小波域隱馬爾可夫樹模型，來(lái)進(jìn)行圖像處理，如圖像去噪[7][8]，圖像分隔[9]。

2.基于框架域子帶間局部隱馬爾可夫模型

圖像可以看作為二維矩陣，設(shè)圖像為{f[i,j],i,j=1, 2,...,N}，其中 N =2s,s ∈Z+。二維框架變換可以將圖像的基本特征在時(shí)域與頻域中同時(shí)展現(xiàn)出來(lái)。設(shè)小波框架濾波器的低通濾波器為L(zhǎng)，高通濾波器分別為H1,H2，則通過(guò)小波框架變換，圖像變?yōu)榫艂€(gè)子帶：子帶k=1,2,...,J 稱為分辨率細(xì)節(jié)信息，其中J為最大分解尺度。子帶LLJ稱為最低分辨率低頻信息。

圖像經(jīng)小波框架變換后小波框架系數(shù)呈現(xiàn)稀疏性分布，即大部分小波框架系數(shù)的幅值比較小，只有少部分小波框架系數(shù)幅值較大。實(shí)際上，小波框架系數(shù)的概率密度函數(shù)呈現(xiàn)尖峰值、重拖尾的非高斯分布特征。高斯混合模型可以很好地描述這種非高斯性。高斯混合模型描述如下：

其中：

pSk,i,j,b(m)為 概 率 質(zhì) 量 函 數(shù) 。 有 pSk,i,j,b(0)表示不同狀態(tài)：表示小波框架系數(shù)處于狀態(tài) 0 時(shí)的條件密度函數(shù)，表示小波框架系數(shù)處于狀態(tài)1時(shí)的條件密度函數(shù)。

小波框架系數(shù)的幅值和它相鄰的系數(shù)幅值有關(guān)，因此我們提出局部高斯混合模型，假設(shè)每個(gè)框架小波系數(shù) wk,i,j,b符合局部高斯混合模型，其參數(shù)通過(guò)下式給出：

圖1 ：(a) 局部高斯混合模型結(jié)構(gòu)示意圖。 (b) 局部高斯混合模型上的元素集合.黑點(diǎn)表示在同一尺度和位置的隨機(jī)變量W。

子帶之間的相關(guān)性對(duì)框架域是非常有用的。 為分析相關(guān)性，我們把在同一尺度和位置上的小波框架系數(shù)用wk,i,j=｛ wk,i,j,｜bb ∈B}表示，如圖1.b所示，其中B={H1L ，我們通過(guò)定義隨機(jī)變量如果則它的值為或者，如果則它的值為其中為集合的平均能量。利用高斯混合模型，把wk,i,j與式(1)結(jié)合,我們提出基于框架域的子帶間局部隱馬爾可夫模型。如下：

其中：

基于框架域的兩狀態(tài)，零均值子帶間局部隱馬爾可夫模型參數(shù)向量為：

3.去噪算法和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

數(shù)字圖像去噪的模型如下：

如F[i,j]服從零均值的混合高斯分布，則Y[i,j]也服從零均值的混合高斯分布，其方差為F[i,j]與噪聲V[i,j]的方差之和，而其它參數(shù)與F[i,j]的參數(shù)相同。 因此，如果帶噪圖像Y[i,j]的參數(shù)為則原始圖像 F[i,j]的參數(shù)為其中

給定子帶間局部隱馬爾可夫模型的參數(shù), 可得F[i,j]的條件均值估計(jì)

1）對(duì)觀察到的圖像 y[ i,j]進(jìn)行J層小波框架分解。

2）通過(guò) EM 算法估計(jì)基于框架域的子帶間局部隱馬爾可夫模型的參數(shù)向量。

3）對(duì)每一子帶（最低頻LL保持不變），通過(guò)（4）估計(jì)F [i,j ]。

4）對(duì) F [i,j]進(jìn)行逆小波框架變換，得到去噪圖像f?[i,j]。

本文選取了lena圖像進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)。給lena圖像加零均值的標(biāo)準(zhǔn)高斯噪聲，σ ∈｛10 ,15,20,25,30｝。去噪效果用峰值信噪比來(lái)衡量。

算法流程如下：

表1 不同算法的去噪比較(PSNR值)

4.結(jié)束語(yǔ)

在本文中，提出了基于框架域子帶間局部隱馬爾可夫模型。這種模型能很好地捕捉小波框架系數(shù)的“聚集”特性，也能捕捉方向間小波框架系數(shù)的相關(guān)性。本文利用這種模型進(jìn)行圖像的去噪處理。實(shí)驗(yàn)仿真表明，本文提出的去噪方法取得了較高的峰值信噪比。

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