黃曼磊，劉宏達(dá)，許夢(mèng)琪

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

船舶電力系統(tǒng)通常是多臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行，具有高度的非線性，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)改變時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性會(huì)顯著改變.在輕載工況運(yùn)行時(shí)，船舶電力系統(tǒng)會(huì)發(fā)生非周期、貌似隨機(jī)的、突發(fā)或陣發(fā)性的振蕩現(xiàn)象，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)解列，這種現(xiàn)象稱作混沌.混沌是非線性系統(tǒng)中各參數(shù)相互作用導(dǎo)致的一種非常復(fù)雜的現(xiàn)象，它在船舶電力系統(tǒng)中出現(xiàn)時(shí)，伴隨著系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)持續(xù)無規(guī)則的振蕩，嚴(yán)重危害系統(tǒng)的運(yùn)行安全，要在系統(tǒng)中有效地預(yù)防和消除它.為了對(duì)船舶電力系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象進(jìn)行分析，這里將建立2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型，以準(zhǔn)確地反映船舶電力系統(tǒng)的變化規(guī)律.在此基礎(chǔ)上，利用Lyapunov指數(shù)法對(duì)船舶電站2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組輕載并聯(lián)運(yùn)行工況進(jìn)行分析，尋找混沌產(chǎn)生的機(jī)理和原因，揭示其內(nèi)在的變化規(guī)律，為預(yù)防和消除混沌打下基礎(chǔ).

1 柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型

柴油發(fā)電機(jī)組的數(shù)學(xué)模型包括機(jī)電暫態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型和電磁暫態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型2部分，首先建立機(jī)電暫態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型，然后建立電磁暫態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型，這樣在兩者的基礎(chǔ)上建立單臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組的數(shù)學(xué)模型.

柴油發(fā)電機(jī)組機(jī)電暫態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型描述了柴油發(fā)電機(jī)組的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，反映了功角和角速度的動(dòng)態(tài)變化過程，其表達(dá)式為

式中:δ為柴油發(fā)電機(jī)組功角，ω為柴油發(fā)電機(jī)組電角速度，U為發(fā)電機(jī)定子繞組端電壓，Eq'為q軸暫態(tài)電勢(shì)，X為繞組電抗，L為柴油機(jī)調(diào)速器執(zhí)行器輸出軸位移，ω0=100π rad/s，Ta、Tb、c1、c2為常數(shù)，δ、L為實(shí)在值，其余變量為標(biāo)幺值.從式(1)可知，該方程具有非線性特征.

柴油發(fā)電機(jī)組電磁暫態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型包括同步發(fā)電機(jī)定子電壓平衡方程和勵(lì)磁繞組電磁暫態(tài)方程，這里忽略阻尼繞組的作用，其表達(dá)式為

式中:U為定子繞組端電壓，Ud和Uq為定子繞組端電壓的d軸和q軸分量，R為定子繞組電阻，X為繞組電抗，I為繞組電流，T為繞組時(shí)間常數(shù)，Eq'為q軸暫態(tài)電勢(shì)，Efd為勵(lì)磁繞組電壓.

由于Eq'不容易測(cè)量，這里選取定子繞組端電壓U作為狀態(tài)變量，只需將式(2)中的Eq'轉(zhuǎn)換成U即可.根據(jù)變量數(shù)據(jù)之間的關(guān)系有:

將式(3)代入式(2)中的第1項(xiàng)得

將式(3)代入式(1)并與式(4)聯(lián)立得

由電流Id的表達(dá)式可知

將式(3)代入式(6)中得

將式(7)代入式(5)中整理得

式(8)是單臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組的非線性數(shù)學(xué)模型，該模型將功角、轉(zhuǎn)速、電壓相互作用、相互影響的關(guān)系反映出來，準(zhǔn)確地描述了3個(gè)變量的變化規(guī)律［1-6］.

這里取第1臺(tái)同步發(fā)電機(jī)的d-q軸為參考系，建立2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型.假設(shè)2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組功率、型號(hào)和參數(shù)一致，負(fù)載電流的d、q分量為 Id、Id，2臺(tái)同步發(fā)電機(jī)的功角差為δ12，則2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型為

式中:i=1，2，下標(biāo)1指第1臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組，下標(biāo)2指第2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組.

2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組的電流耦合關(guān)系為

式(10)描述了2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)后的電流分配關(guān)系.

2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組的電壓耦合關(guān)系為

式(11)描述了2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)后的電壓制約關(guān)系［7］.

式(9)～(11)是2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行的非線性數(shù)學(xué)模型，該模型將2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組相互作用、相互影響的關(guān)系反映出來，準(zhǔn)確地描述了2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組功角、轉(zhuǎn)速、電壓的變化規(guī)律.

2 Lyapunov指數(shù)分析

這里以柴油發(fā)電機(jī)組的功角、轉(zhuǎn)速、電壓的變化規(guī)律來研究船舶電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由于并聯(lián)運(yùn)行的柴油發(fā)電機(jī)組之間存在一定的功率傳遞，很容易產(chǎn)生功率振蕩.所謂功率振蕩就是在某種周期性干擾的作用下，柴油發(fā)電機(jī)組進(jìn)行反復(fù)功率調(diào)節(jié)的動(dòng)態(tài)過程.

在負(fù)載功率不變的情況下，一臺(tái)發(fā)電機(jī)功角的變化，必然使其他發(fā)電機(jī)的功角朝相反的方向變化，因此，影響并聯(lián)機(jī)組穩(wěn)定性的主要因素是發(fā)電機(jī)間的功角差.例如，發(fā)電機(jī)組的有功負(fù)載嚴(yán)重不平衡的時(shí)候，特別是一臺(tái)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)入電動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)，發(fā)電機(jī)間大的功角差，就有可能使并聯(lián)運(yùn)行失去穩(wěn)定性.此外，在周期性干擾因素的作用下，如柴油機(jī)發(fā)火不均，周期性的沖擊負(fù)載等，由于柴油發(fā)電機(jī)組之間調(diào)速系統(tǒng)或調(diào)壓系統(tǒng)動(dòng)作的不一致性，也會(huì)形成周期性的功角擺動(dòng)，盡管這一擺動(dòng)范圍不一定會(huì)超越功角的極限值，但發(fā)電機(jī)組間的功率振蕩卻是相當(dāng)可觀的.

功率振蕩從混沌的角度來看，實(shí)質(zhì)上是一種混沌振蕩.混沌運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件極為敏感，2個(gè)極其靠近的初值所產(chǎn)生的軌道，隨時(shí)間推移按指數(shù)方式分離，Lyapunov指數(shù)就是描述這一現(xiàn)象的量.時(shí)間序列混沌特性的判別方法包括定量分析和直觀分析，即先通過對(duì)Lyapunov指數(shù)的數(shù)值分析判斷混沌出現(xiàn)的條件，再由直觀分析法直觀地確定在這種條件下混沌存在與否.直觀分析法包括時(shí)間歷程法、相軌跡圖法、頻閃采樣法、Poincare截面法以及功率譜法.計(jì)算Lyapunov指數(shù)的方法主要有定義法、Wolf方法和Jacobian方法，其中Jacobian方法是一種在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)展起來的計(jì)算Lyapunov指數(shù)的方法.這里采用Jacobian方法計(jì)算Lyapunov指數(shù)［8-11］.

下面的微分方程系統(tǒng):

這里T是F的Jacobian矩陣.方程的解能夠表示為

其中:U:e(0)→e(t)是線性算子映射.這個(gè)映射U的漸近行為用指數(shù)刻畫為

所以，系統(tǒng)(12)的Lyapunov指數(shù)可以表述為上述重復(fù)過程的平均數(shù):

對(duì)于一個(gè)n維相空間，就會(huì)有n個(gè)Lyapunov指數(shù)，將它們按從大到小順序排列，不妨設(shè)為(λ1≥λ2≥…≥λn)，其中λ1被稱作最大 Lyapunov指數(shù).一般來說，具有負(fù)的Lyapunov指數(shù)對(duì)應(yīng)收縮方向，相鄰軌道在局部是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)周期運(yùn)動(dòng).而正的Lyapunov指數(shù)表明相鄰軌道指數(shù)分離，并在相空間中形成奇怪吸引子，Lyapunov指數(shù)λ越大，系統(tǒng)的混沌性越強(qiáng)，反之亦然.故對(duì)于n維相空間，最大Lyapunov指數(shù)是否大于0是判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌振蕩的依據(jù).

微分動(dòng)力系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的性質(zhì)對(duì)于三維情形，存在有如下6種吸引子

(λ1，λ2，λ3)=(－，－，－):穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn);

(λ1，λ2，λ3)=(0，－，－):極限環(huán);

(λ1，λ2，λ3)=(0，0，－):二維環(huán)面;

(λ1，λ2，λ3)=(+，+，－):不穩(wěn)極限環(huán);

(λ1，λ2，λ3)=(+，0，0):不穩(wěn)二維環(huán);

(λ1，λ2，λ3)=(+，0，－):奇怪吸引子.

對(duì)于柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行的非線性數(shù)學(xué)模型按照上述分析方法計(jì)算出3個(gè)Lyapunov指數(shù)λ1、λ2、λ3，形成 Lyapunov 指數(shù)譜.

3 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

設(shè) x1=δ，x2=ω，x3=U，則式(8)變?yōu)?/p>

分別對(duì)輕載并聯(lián)運(yùn)行的2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組的Lyapunov指數(shù)進(jìn)行計(jì)算，2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組均采用常規(guī)的控制器.圖1和圖2分別給出了2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)帶載12.5%的功角、轉(zhuǎn)速、電壓的相圖.

圖1 雙機(jī)并聯(lián)帶載12.5%時(shí)1號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的相圖Fig.1 Phase diagram of No.1 diesel-generator set when two sets load 12.5%on parallel connection

圖2 雙機(jī)并聯(lián)帶載12.5%時(shí)2號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的相圖Fig.2 Phase diagram of No.2 diesel-generator set when two sets load 12.5%on parallel connection

2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)帶載12.5%時(shí)運(yùn)行100 s，1 號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的初值為:(δ，ω，U)=(0.101 7，1.066 2，0.976 2)，Lyapunov 指 數(shù) 為:λ1=0.076 789，λ2=0.035 235，λ3= －0.197 558;2號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的初值為:(δ，ω，U)=(0.102 2，1.066 2，0.976 2)，Lyapunov 指 數(shù) 為:λ1=0.076 806，λ2=0.035 230，λ3－0.197 571.

圖3和圖4分別給出了2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)帶載25%的功角、轉(zhuǎn)速、電壓的相圖.

圖3 雙機(jī)并聯(lián)帶載25%時(shí)1號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的相圖Fig.3 Phase diagram of No.1 diesel-generator set when two sets load 25%on parallel connection

圖4 雙機(jī)并聯(lián)帶載25%時(shí)2號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的相圖Fig.4 Phase diagram of No.2 diesel-generator set when two sets load 25%on parallel connection

2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)帶載25%時(shí)運(yùn)行100 s，1號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的初值為:(δ，ω，U)=(0.181 2)，1.060 7，0.968 6)，Lyapunov 指數(shù)為:λ1=0.079 251，λ2=0.034 251，λ3= － 0.199 955;2號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的初值為:(δ，ω，U)=(0.182 01，1.060 7，0.968 6)，Lyapunov 指 數(shù) 為:λ1=0.078 311，λ2=0.034 953，λ3= －0.199 742.

從圖1～4可以看到，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)均大于0，表明系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象.輕載并聯(lián)運(yùn)行的2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組，運(yùn)行一段時(shí)間后，進(jìn)入混沌狀態(tài)，具體表現(xiàn)為功角和轉(zhuǎn)速的振蕩，2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)并聯(lián)帶載越輕，功角和轉(zhuǎn)速的振蕩越劇烈.功角的振蕩意味著功率的振蕩，原因是船舶電力系統(tǒng)的非線性和2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組之間的功率傳遞.

圖5、6分別給出了2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)帶載25%加周期性負(fù)荷時(shí)的功角、轉(zhuǎn)速、電壓的相圖.周期性負(fù)荷是船舶電力系統(tǒng)中經(jīng)常會(huì)發(fā)發(fā)生的，也是很普遍的.

2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)帶載25%加周期性負(fù)荷0.01 sin t時(shí)運(yùn)行100 s，1號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的初值為:(δ，ω，U)=(0.181 2，1.060 7，0.968 6)，Lyapunov 指數(shù)為:λ1=0.073 257，λ2=0.031 824，λ3= －0.191 497;2號(hào) 柴 油 發(fā) 電 機(jī) 組 的 初 值 為:(δ，ω，U)=(0.182 01，0.060 7，0.968 6)，Lyapunov 指數(shù)為:λ1=0.073 393，λ2=0.030 161，λ3= －0.189 995.

從圖5和圖6可以看到，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)均大于0，表明系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象.同不加周期性負(fù)荷比較，2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組功角和轉(zhuǎn)速的振蕩更加劇烈.由于周期性負(fù)荷是非線性的，因此加入周期性負(fù)荷后加劇了系統(tǒng)的非線性，從而加劇了系統(tǒng)的功率振蕩.

圖5 雙機(jī)并聯(lián)帶載25%加周期性負(fù)荷時(shí)1號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的相圖Fig.5 Phase diagram of No.1 diesel-generator set when two sets increase period load meanwhile load 25%on parallel connection

圖6 雙機(jī)并聯(lián)帶載25%加周期性負(fù)荷時(shí)2號(hào)柴油發(fā)電機(jī)組的相圖Fig.6 Phase diagram of No.2 diesel-generator set when two sets increase period load meanwhile load 25%on parallel connection

計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組輕載并聯(lián)運(yùn)行時(shí)，存在混沌振蕩現(xiàn)象，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因是船舶電力系統(tǒng)的非線性，次要原因是2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組之間的功率傳遞.除此之外，采用常規(guī)的線性控制器也是導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的一個(gè)重要因素，只有采用非線性控制器，使船舶電力系統(tǒng)自身非線性特征得以抵消和補(bǔ)償，才能從根本上解決系統(tǒng)混沌振蕩的問題.混沌振蕩現(xiàn)象是穩(wěn)定狀態(tài)與不穩(wěn)定狀態(tài)之間的過渡狀態(tài)，必須加以預(yù)防，才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

4 結(jié)束語

船舶電力系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性特征，2臺(tái)柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行時(shí)容易產(chǎn)生功率傳遞，柴油發(fā)電機(jī)組采用常規(guī)的調(diào)壓器和調(diào)速器，這3個(gè)因素的綜合作用導(dǎo)致船舶電力系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的發(fā)生.論文的結(jié)果對(duì)于柴油發(fā)電機(jī)組并聯(lián)運(yùn)行穩(wěn)定性的研究具有一定的參考價(jià)值，為抑制或消除船舶電力系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象打下了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).

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