◆李莉

(浙江省安吉縣豐食溪中學(xué))

因小識(shí)大
——“用好，用足，用活”一道題

◆李莉

(浙江省安吉縣豐食溪中學(xué))

經(jīng)常聽到有老師抱怨:“與這道題一模一樣的類型我讓學(xué)生做過好幾遍了，可這次考試還是有那么多學(xué)生做不出?！痹蛟谀?有很多方面，但其中有一點(diǎn)可能容易忽視，那就是在學(xué)生解題和老師分析時(shí)，往往就題論題。不注意知識(shí)之間的融會(huì)貫通，學(xué)生不會(huì)觸類旁通。這就需要老師們平時(shí)多思考一下，善于“借題發(fā)揮”，把一道有較強(qiáng)代表性和典型性的問題用好、用足、用活。讓學(xué)生們通過一道題的掌握，能解一類題，使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化。整合思維模式，走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正做到輕負(fù)高質(zhì)。

一、原題展示

如圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且 AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC。請(qǐng)說明理由。

分析:此題是一道基礎(chǔ)題，很容易發(fā)現(xiàn)已具備證全等的兩個(gè)條件:①∠B=∠D，②AP=PC，還缺一個(gè)條件需進(jìn)一步挖掘，由AP⊥PC能想到最后一個(gè)條件，應(yīng)找∠APB=∠C或∠A=∠CPD。此題的圖形就是常說的“三垂直圖”的特殊情況，它作為一個(gè)基本圖形，絕大多數(shù)學(xué)生應(yīng)該對(duì)它十分熟悉，而且會(huì)應(yīng)用它的結(jié)論解決其他問題。

二、特殊圖形應(yīng)用

應(yīng)用1:變身展示。如圖，Rt△APC中，∠APC =90°，AP=PC，過點(diǎn)P任作一直線l，過點(diǎn)A作AB⊥直線l于B，過點(diǎn)C作CD⊥直線l于D。求證:△ABP≌△PDC(或求證:BD=AB+CD)。

分析:此題嚴(yán)格說來與原題并無二樣，但區(qū)別在于條件給出的方式不一樣，特別是過點(diǎn)P任作一直線l，讓很多學(xué)生頓感難度加大，感覺不易把握這個(gè)“任”字。其實(shí)這里的“任”字也是受限的，因?yàn)樵凇叭鐖D”兩字前提下，△APC應(yīng)是位于直線l同側(cè)。通過本題的“變身”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到很多題的本質(zhì)一樣，只不過有時(shí)它們會(huì)穿上不同的外衣。

應(yīng)用2:課后思考:若讓直線l繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)起來，其他條件不變，是否始終有△ABP≌△PDC?

分析:設(shè)計(jì)本題作為課后思考題，主要原因有二:其一，是上題的直線l并沒有達(dá)到任意性，讓人意猶未盡;其二，是若△APC不位于直線l的同側(cè)，則圖形就不是原題的“模型”，不利于加強(qiáng)“建?！?，分散了注意力，但課后若能再做一下拓展，就能達(dá)到把課堂效益放大的作用。

三、題目從特殊到一般

若把條件AP=PC拿掉，則結(jié)論△ABP≌△PDC可變?yōu)椤鰽BP∽△PDC，組成新題如下:

如圖:AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，AP⊥PC，則△ABP∽△PDC。請(qǐng)說明理由。

分析:原題的圖形嚴(yán)格來說是三垂直圖形的特殊情況，因?yàn)槌巳怪敝?，還多了一個(gè)條件AP=PC，若拿掉這個(gè)條件，才是一般的三垂直圖。那么原題的結(jié)論△ABP≌△PDC也相應(yīng)變成一般的結(jié)論△ABP∽△PDC，從特殊到一般是研究問題的常用方法，通過本題可讓學(xué)生了解到科學(xué)地研究

問題一個(gè)好方法，而不是單純地讓學(xué)生成為解題的機(jī)器。

四、一般基本圖形的應(yīng)用

應(yīng)用1:函數(shù)問題:如圖，AQ⊥MQ，NM⊥MQ，Q、M分別為垂足，點(diǎn)P是線段MQ上(不包括端點(diǎn))的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P做直線BP，使BP⊥PA，交射線MN于點(diǎn)B，連接AB，已知AQ=1，MQ=2并設(shè)PQ=x，用S表示四邊形MQAB的面積。

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式與自變量x的取值范圍;

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S的值最大?此時(shí)四邊形MQAB是哪一種特殊四邊形?S的最大值是多少?

分析:本例是為了加強(qiáng)基本圖形的應(yīng)用而設(shè)置的，應(yīng)通過本題讓學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜背景下識(shí)別出基本圖形，應(yīng)用一般結(jié)論發(fā)現(xiàn)解決實(shí)際問題的突破口。本題若馬上想到△BMP∽△PQA，就簡(jiǎn)單了。由BM∶PQ=MP∶再應(yīng)用二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)得解。

應(yīng)用2:折疊問題:如圖，折疊矩形ABCD的一邊CD，使點(diǎn)D落在AB邊的點(diǎn)E處，CF為折痕。

(1)△BCE與△AEF有什么關(guān)系?

(2)求矩形ABCD的周長(zhǎng)。

分析:本題可設(shè)EA=3x，F(xiàn)A=4x，則EF=5x，BC=9x，利用基本圖形的相似關(guān)系，很容易求得BE=12x，在Rt△BCE中，(9x)2+(12x)2=(52

應(yīng)用3:變式拓展改為選擇題:如圖:AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，AB=4，CD=6，BD=14。若連結(jié)AP，CP所得的兩個(gè)三角形相似，則BP的長(zhǎng)為( )

A.2 B.5.6

C.12 D.上述各值都可能

分析:通過本題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，同樣的題目可由不同的題型出現(xiàn)，作為選擇題，本題的得分率明顯高多了，可用的方法也不只是從正面求解，也可代入檢驗(yàn)得出。