劉 振 魏璽章 黎 湘

(國防科學技術大學電子科學與工程學院空間電子信息技術研究所 長沙 410073)

1 引言

傳統(tǒng)的脈沖多普勒雷達發(fā)射周期性窄帶脈沖串信號，利用離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)實現多普勒濾波器組，對運動目標進行檢測和測速[1,2]。然而，脈沖串信號的周期性不可避免地帶來了測距和測速的盲區(qū)和模糊問題，常見的解決方案是通過發(fā)射多組參差脈沖重復頻率(Pulse Repetition Frequency,PRF)的脈沖串信號，然后利用余數定理來解算模糊度[3]，目前國內外的脈沖多普勒雷達系統(tǒng)中也幾乎都使用這種方案[4]。利用多組脈沖串進行聯(lián)合串行處理，盡管可以實現解模糊功能，但對距離和速度的分辨率都沒有提高，反而會加長相參處理周期(Coherent Processing Interval,CPI)，直接影響到雷達的工作效率。另一種可行的方案是在一組周期脈沖串信號的脈沖重復間隔(Pulse Repetition Interval,PRI)上疊加一個隨機擾動，形成隨機脈沖重復間隔(Random Pulse Repetition Interval,RPRI)雷達[5,6]。這種體制除了能夠解決測距測速模糊及盲區(qū)效應以外，由于對信號引入了隨機性，因而具有較強的低截獲性能。然而，正是由于隨機性的引入會導致回波相位的隨機變化，傳統(tǒng)的測速方法如離散傅里葉變換會產生隨機的干擾頻率成分，而隨機雷達信號處理中常用的時域相關算法又會產生較高的旁瓣噪聲基底。

壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論[7－9]突破了傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定律的限制，在稀疏成分分析的基礎上對稀疏采樣矩陣提出了更為寬松的充分條件，確保以比傳統(tǒng)意義上少得多的觀測數據對稀疏信號進行穩(wěn)健精確的恢復。這套理論完備的信號處理新方法，為雷達信號處理提供了全新的思路，在雷達檢測、估計及成像領域得到了廣泛的研究[10－12]。由于其實質是一種參數化方法，旁瓣噪聲基底主要取決于優(yōu)化準則帶來的微小估計誤差，因此本身具有高輸出信噪比的優(yōu)點?？紤]到RPRI雷達發(fā)射信號恰好滿足該理論對稀疏觀測矩陣受限等距性質(Restricted Isometry Property,RIP)條件的要求，且窄帶雷達在同一距離和速度門上的有限目標個數也蘊含了回波信號的稀疏性，本文提出了一種新的全相參動目標檢測(Moving Target Detection,MTD)技術。

文章主要結構安排如下：第 2節(jié)重點研究了RPRI雷達體制與壓縮感知模型內在的對應關系，并分析了其動目標檢測算法與性能；第3節(jié)詳細討論了RPRI雷達模糊消除技術，給出了不模糊測距測速的充分條件；第4節(jié)利用仿真實驗從檢測性能、測速精度和模糊特性等方面對算法的性能進行了全面驗證；最后一節(jié)給出了結論并指出下一步工作展望。

2 基于壓縮感知的RPRI雷達MTD技術

2.1 RPRI雷達波形設計與運動目標回波模型

對于RPRI雷達，設發(fā)射的相參脈沖串信號有M個寬度為T的脈沖，每個脈沖起始時刻偏離正常時刻mTr(其中Tr為正常PRI)的時間分別為Tm，則信號可以表示為

其中f0為載波頻率，φ0為初始相位，

為單個矩形脈沖，T0=0 ,Tm(m=1,…,M?1)是服從某種隨機分布的疊加擾動。本文主要研究一種特殊的離散型分布，即Tm為T的非負整數倍且不大于Tr?T，這種方式可以確?；夭ㄗ用}沖的采樣位置相同，更容易保證脈沖之間的相參性。其中最簡單的一類就是二元伯努利分布，其分布律為

這里，α=1,2,…為非負整數且滿足αT＜Tr?T，我們稱之為擾動系數，Pr表示Tm的分布概率。此時脈沖重復間隔(m=0,…,M?1,TM=0 )同樣為一隨機變量，其分布律為

設同一距離門內K個目標的散射截面積(RCS)分別為Ak，與雷達之間的初始距離分別為R0k，目標分別以徑向速度vk勻速直線運動(朝向雷達為正)，則將脈沖串信號的每個子脈沖回波與exp(j2πf0t)混頻后得到

圖1給出了最簡單的RPRI雷達發(fā)射信號及其回波位置示意圖，從圖中可以看出，目標在每個脈沖周期內的回波位置決定于發(fā)射脈沖的位置，因此回波信號位置之間也沒有了傳統(tǒng)的周期性，使得目標的相位比周期 PRI信號多了一項在 0和4πf0vkαT/c之間切換的隨機相位。

圖1 2α=時的RPRI雷達信號示意圖

2.2 傳統(tǒng)方法的局限性分析

RPRI雷達回波信號由于其相位的隨機變化使得DFT處理方法產生隨機的干擾頻率成分，而傳統(tǒng)的隨機信號處理方法——時域相關算法會在每個頻率門產生隨機的旁瓣，從而都會抬高多普勒頻譜整體的噪聲基底。

理論分析表明，由于隨機相位的影響，在RPRI信號體制下，如果Tm和目標速度vk之間的關系使得mod(4πf0vkαT/c,2π)接近于0或者2π時，那么其引起的脈沖間的相對相位偏差不是很大，滿足近似線性相位，用DFT算法和時域相關算法仍然能夠得到目標比較精確的多普勒頻譜。傳統(tǒng)用于抗干擾的RPRI信號一般要求隨機擾動幅度小于正常PRI的30%，也就是為了滿足近似的線性相位[5]。文中所設計的用于解模糊的RPRI信號子脈沖之間的隨機相位跳變通常更加劇烈，一旦其參數值使得mod(4πf0vkαT/c,2π)接近于π時，相位之間將完全沒有線性特性，近似為隨機相位編碼。此時DFT算法會完全失效，而時域相關算法仍然有效，但會產生更大的噪聲基底，降低目標的信噪比，影響目標的檢測和測速性能。圖2給出了兩種特殊情況下常規(guī)的周期性PRI信號利用DFT處理的結果、RPRI信號利用DFT處理的結果以及RPRI信號利用時域相關(Correlation Processing,CP)算法處理的結果，與理論分析基本一致。

圖2 兩種特殊情況下規(guī)則PRI和RPRI信號不同算法的處理結果

2.3 基于壓縮感知的RPRI雷達MTD算法

作為一種基于先驗信息的參數化方法，壓縮感知所帶來的噪聲基底主要取決于優(yōu)化準則帶來的微小估計誤差，具有高輸出信噪比的優(yōu)點。我們下面研究利用壓縮感知算法來估計目標的速度及回波強度，得到目標的多普勒頻譜后，在頻域進行動目標檢測。

2.3.1 壓縮感知理論

壓縮感知理論突破了傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定律的限制，在稀疏成分分析的基礎上對稀疏采樣矩陣提出了更為寬松的充分條件，確保以比傳統(tǒng)意義上少得多的觀測數據對稀疏信號進行穩(wěn)健精確的恢復。下面首先簡要介紹壓縮感知的核心思想：

考慮抽象的欠定方程組為y=Ax+e(其中是一個滿足(ε為一常數)的統(tǒng)計量或者未知確定量，壓縮感知的可行性問題就等效為該欠定線性方程組的求解問題。對此，Candes等提出了一個確定解存在的充分條件，即矩陣A需要滿足 RIP條件。對任何正整數S=1 ,2,… ,n，定義矩陣A的受限等距常數為滿足下面條件的最小δS：

然而實際情況中，如何判斷給定的矩陣是否具有RIP性質卻是一個組合復雜度問題。為了降低問題的復雜度，文獻研究指出如果選擇高斯或者亞高斯隨機矩陣(如伯努利分布)作為觀測矩陣，當滿足條件M≥O(Kl og(N/K))時，即可高概率保證RIP性質[13,14]。因此，壓縮感知理論與隨機性有著密不可分的關系，觀測矩陣的設計和RIP條件的滿足都有著隨機的因素，目前也只有在隨機性條件下才能嚴格滿足壓縮感知理論的前提需求。

2.3.2 基于壓縮感知的運動目標檢測及速度估計

考慮到式(5)也可以看作一個典型的欠定線性方程組，而且隨機性的引入恰好使得等效的觀測矩陣為一簡單的亞高斯矩陣——伯努利矩陣，從而符合壓縮感知理論中RIP條件的要求，因此基于隨機PRI信號的速度估計問題就可以抽象為一個典型的壓縮感知模型?？紤]到噪聲的影響，得到回波信號

這一小節(jié)我們主要考慮目標距離和速度在傳統(tǒng)意義上都不模糊的情況，把不模糊速度周期vu=λ/(2Tr)平均分成N(＞M)份得到速度分辨單元Vn=nΔv,n=0,1,…,N－1，Δv=λ/(2NTr)，式(7)可以寫成矢量形式

U是一個M×N的亞高斯隨機觀測矩陣，其元素為Umn=exp[j4πf0(mTr+Tm)Vn/c]，向量a=[a0,a1,…,aN－1]T，也就是我們所說的多普勒頻譜，其中當vk=Vn時,對應的an=Ak′ 而其余元素為0,e是功率小于ε的零均值測量噪聲。根據壓縮感知理論，當固定為某個速度分辨率(即固定N時)，只要滿足M≥O(Kl og(N/K))，我們可以通過解下面的凸優(yōu)化問題得到粗多普勒頻譜像

將模型實數化后求解得到目標的多普勒頻譜后，在頻域進行恒虛警處理[15]即可實現運動目標的檢測，從而估計出目標的粗速度和回波強度。

3 基于參數設計的RPRI雷達模糊消除

前面我們只考慮了在傳統(tǒng)意義上距離和速度都不模糊的情況。實際工作中，由于觀測場景的復雜性，往往會存在距離和速度的模糊，即兩目標的距離差為最大不模糊距離Ru=cTr/2的整數倍或者兩目標的速度差為最大不模糊速度vu=λ/(2Tr)的整數倍。

3.1 距離模糊性分析

當距離存在傳統(tǒng)意義上的模糊時，也即目標的回波跨越了脈沖重復間隔，由于發(fā)射脈沖之間沒有嚴格的周期性，傳統(tǒng)意義上的模糊目標與不模糊目標所在的距離門只有少部分重合，因此只要從采樣后的信號中選擇相應的距離門進行多接收通道處理，便不會出現模糊現象。如圖 3(a)所示，假設兩個目標(對應于回波1和回波 2)之間的模糊度相差1，則不妨設其所處的采樣時刻即距離門分別為和(t0′=2R0′/c)，這種情況下只有當Tm=Tm+1時才會出現目標回波信號的重合；同理，對兩個目標之間的模糊度相差p的情況，只有當Tm=Tm+p時會出現回波信號的重合。根據概率論，當只有兩個模糊目標時，出現重合回波的概率約為 1/2；而隨著模糊目標個數的增多，重合回波出現的次數也逐漸增多，對目標的測速和檢測造成一定的干擾，此時可以根據實際工作需求改變Tm，使其分布在{0,T,2T,…}中，從而減小這種干擾的影響，圖3(b)給出了PRI擾動滿足簡單的三元離散分布時雷達的模糊回波示意圖。

同時我們可以看到，在使用這種信號體制時，由于發(fā)射脈沖不存在嚴格的周期性，傳統(tǒng)意義上的盲距效應可以在一定程度上得到解決。

圖3 目標距離模糊分析示意圖

3.2 速度模糊性分析

當速度存在傳統(tǒng)意義上的模糊時，也即目標的速度之間相差vu=λ/(2Tr)的整數倍，同樣由于發(fā)射脈沖之間沒有嚴格的周期性，模糊目標與不模糊目標對應的回波相位只有少部分相同，因此只要在速度域也使用多接受通道處理，按照我們所關注的目標速度范圍vscope把接收機分為C=[vscope/vu]個并行通道，每個通道覆蓋一個不模糊速度區(qū)間，起始速度值v0分別為 0,vu,2vu,…,(C－1)vu，對每個通道求解類似于式(9)中的的凸優(yōu)化問題，得到相應的多普勒頻譜，然后在多普勒域進行恒虛警檢測，即可得到目標真實的速度。當兩個目標傳統(tǒng)意義上的速度模糊度相差q時，不妨設同一距離門內兩個目標的速度分別為v0和v0+qλ/2Tr(0＜v0＜λ/(2Tr))，此時回波為

通過公式可以看到，正是因為第2個目標多了一項j2πqTm/Tr且Tm是一隨機數，因此兩者的回波相位并不完全相同，只有當Tm=0 時兩個目標才會出現相同的回波信號相位，但這里必須指出當Tm相對于Tr較小且模糊度q較小時，兩者相差的相位2πqTm/Tr都比較小，此時仍然存在一定程度的模糊，因此為了消除速度模糊，必須設置參數使得要解的模糊度q、隨機擾動Tm和脈沖重復周期Tr滿足mod(2πq α T/Tr,2π)接近于π。與距離模糊性類似，根據概率論，當只有兩個模糊目標時，出現同相位回波的概率約為1/2；而隨著模糊目標個數的增多，相同相位出現的次數也逐漸增多，對目標的測速和檢測造成一定的干擾，此時同樣可以根據實際工作需求改變Tm，使其分布在{0,T,2T,…}中，從而減小干擾的影響。

同樣我們可以看到，在使用這種信號體制時，由于發(fā)射脈沖不存在嚴格的周期性，傳統(tǒng)意義上的盲速效應也可以通過設定合適的波形及參數來克服。

4 實驗結果與分析

本文采用 MATLAB軟件進行仿真實驗，驗證雷達體制及算法的有效性。設雷達工作在X波段，波長λ=0 .03 m，發(fā)射周期性或者隨機PRI相參矩形脈沖串，脈沖寬度為T=2 μs。本文中對式(9)的求解都使用CVX工具箱[16]實現。

4.1 檢測性能分析

通過蒙特卡洛仿真分析比較基于壓縮感知的檢測算法和傳統(tǒng)算法在不同信噪比下對運動目標的檢測性能。設發(fā)射脈沖個數M=64，正常脈沖重復周期Tr=100 μs，擾動系數α=10，劃分網格數N=150，虛警率為10－3。首先考慮只存在一個目標且目標隨機分布在離散網格上沒有粗糙損失的情況，對原始采樣信號加入不同信噪比的高斯白噪聲后進行處理。圖4給出了RPRI信號分別用CP以及CS相參積累后在頻域進行恒虛警檢測的性能隨信噪比的變化曲線，由于對于RPRI信號DFT算法在很多情況下會失效，這里為了對比給出了周期PRI信號用DFT處理的結果。由圖可以看出，由于擾動系數不大，RPRI信號用時域相關算法的檢測性能與周期PRI信號用DFT處理的結果相當，而利用壓縮感知算法的檢測性能有明顯的提高，這是因為傳統(tǒng)算法會產生較高的近旁瓣或者隨機旁瓣噪聲，從而影響多普勒頻譜的信噪比，降低恒虛警檢測性能；而在足夠的信噪比條件下壓縮感知算法對信號的恢復概率較高且產生的旁瓣基底較小，因此多普勒頻譜的信噪比相對較高，從而目標的檢測性能也較高。

圖4 不同算法下檢測性能隨信噪比的變化曲線

4.2 測速性能

上文中指出，隨機PRI雷達信號理論上的速度分辨率可以達到c/(2f0NTr)，但由于壓縮感知模型的求解受到N,M和K之間的相互制約關系，并不能通過增大N來無限制提高分辨率。要達到c/(2f0NTr)的速度分辨率，發(fā)射脈沖的個數M與目標個數K之間必須滿足關系M≥O(Kl og(N/K))時，此時即可對目標高概率精確測速。

這里主要分析不同參數設置下精確測速的概率，仿真時沒有考慮噪聲的影響。定義恢復出的多普勒圖像與原始設定目標之間的相關系數大于 0.9時為成功恢復，圖5(a)給出了N=150(即固定速度分辨率)、蒙特卡洛次數為500、恢復概率 Pr為 95%時脈沖個數M和目標個數K所需要滿足的關系?？梢?，要使得恢復概率達到95%，M至少大于40，而隨著K的逐漸增大，M與K之間最多只要滿足M≥5K就能保證；而當K大于70，即目標個數太多時，相比分辨單元數N=150已經不滿足傳統(tǒng)意義上的稀疏性，此時 CS算法性能下降，需要發(fā)射的脈沖個數要大于150。為了對比，給出了用CP的結果，由于旁瓣基底的影響，對于相同的目標數目所需要的脈沖個數要明顯高于壓縮感知算法，且當目標個數到達55附近時，算法性能就已經到達極限，不能對目標進行精確測速。圖 5(b)進一步給出了N=150,M=64時，使用壓縮感知算法的恢復概率Pr隨目標個數K的變化關系。可見，當信號和所需分辨率固定時，隨著目標個數K的增大，精確恢復的概率逐漸減小，從而影響檢測和測速性能。由于實際情況中同一距離單元內目標個數不會很多(一般在 20個以內)，因此只要根據雷達應用背景選擇合適的脈沖個數，就能保證算法的穩(wěn)定有效。

圖5 不同參數設置下精確測速的概率

4.3 模糊性分析

這一小節(jié)主要分析信號參數設置對距離和速度模糊性的影響，同樣不考慮噪聲的影響。

4.3.1 距離模糊性能

假設存在兩個傳統(tǒng)意義上模糊度為1的目標，即有兩個 RCS相同的目標距離對應的時延分別是t1m=mTr+Tm+t0′和t2m=(m+1)?Tr+Tm+1+t0′(t0′=2R0′/c)，速度分別位于第 75和第25個速度單元上。當使用傳統(tǒng)的周期PRI信號時，在第1個目標真實距離門上得到的結果如圖 6(a)所示，可以看出，由于脈沖之間具有嚴格的周期性，距離模糊現象十分嚴重，其中右邊的目標為真實目標，左邊的目標為模糊目標；當采用擾動系數α=10的二元隨機分布RPRI信號時，由于回波重復的概率下降為原來的一半，模糊目標的強度也相應地下降為原來的一半，其結果如圖 6(b)所示；而當采用隨機分布在{0,T,2T,…,9T}的十元離散分布的 RPRI信號時，由于脈沖回波的重復概率進一步下降，幾乎沒有重復的脈沖，傳統(tǒng)意義上的目標距離模糊特性也基本消失，如圖 6(c)所示。因此當使用隨機性較強的RPRI信號時，只要設定足夠多的波門，則可以具有較大的不模糊測距范圍。

4.3.2 速度模糊性能

圖6 不同信號的距離模糊性能

假設目標位于第 1個通道的第 75個速度單元上，圖7分別給出了幾種典型信號下通道0到通道9的測速結果。由圖7(a)可以看出，當使用傳統(tǒng)的周期PRI信號時，由于脈沖之間具有嚴格的周期性，在每個通道上都能檢測到目標，目標速度完全模糊。當采用擾動系數α=25的二元隨機分布RPRI信號時，由于 m od(2πqαT/Tr,2π)對于奇數q結果為π，偶數q結果為 0，因此在奇數通道上不模糊，而在偶數通道上完全模糊，其結果如圖7(b)所示。而當采用隨機分布在{0,T,2T,…,39T}的四十元離散分布的RPRI信號時，由于 mod(2πqαmT/Tr,2π)隨機性較強，傳統(tǒng)意義上的目標速度模糊特性也基本消失，如圖7(c)所示。因此當使用隨機性較強的RPRI信號時，只要設定足夠多的通道，則可以具有較大的不模糊測速范圍。

5 結論

本文提出了一種隨機 PRI脈沖多普勒雷達MTD新技術，克服了傳統(tǒng)周期性雷達存在的測距測速模糊和盲區(qū)效應，并且相比傳統(tǒng)的多脈沖串參差重頻方法而言，只需一個脈沖串，大大縮短了相參處理周期。壓縮感知理論的應用能夠較好地抑制隨機性產生的旁瓣基底，提高目標的輸出信噪比。仿真實驗表明，該方案檢測性能高、無距離/速度模糊、無測距/測速盲區(qū)，可大幅度提高雷達工作性能和效率，有望應用于各種新體制雷達中。下一步工作是進一步研究如何提高RPRI雷達的精確測速和雜波抑制性能。

圖7 不同信號的速度模糊性能