劉曉霞，王衛(wèi)華

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430070）

自然界中大量的復(fù)雜系統(tǒng)可以用網(wǎng)絡(luò)來抽象和描述［1］。為了通過對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究抽象出大量復(fù)雜系統(tǒng)所具有的共同特性，科學(xué)家們引入了很多概念和理論，其中最基本的3個概念為網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度、聚類系數(shù)和網(wǎng)絡(luò)的度分布。并以此3個概念為度量標(biāo)準(zhǔn)研究發(fā)現(xiàn)，大量的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性［2－4］。此外，隨著人們對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行深入廣泛的研究，發(fā)現(xiàn) Internet網(wǎng)［5］、廣義合作網(wǎng)［6］等在具有小世界特性的同時還具有無標(biāo)度特性，即節(jié)點(diǎn)度分布可以用冪率形式大致描述。

證券市場作為一個復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來抽象和描述。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論是研究股票市場內(nèi)在結(jié)構(gòu)和功能的有力工具，股票關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)和聚類結(jié)構(gòu)對于理解網(wǎng)絡(luò)的形成機(jī)制、發(fā)生在網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)行為具有重要意義。黃瑋強(qiáng)等研究了中國股票網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)并對聚類結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析［7］。

由于現(xiàn)實(shí)世界的很多系統(tǒng)可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來描述，證券市場作為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)也不例外，可將網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)作為證券市場的股票，網(wǎng)絡(luò)的連邊為股票價(jià)格波動的相關(guān)性。此外運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的理論來研究該網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)，經(jīng)過實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)與現(xiàn)實(shí)世界的大量復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一樣具有小世界特性和無標(biāo)度特性。

1 上海證券市場股票網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建方法

網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)集合為在上海證券市場上市的股票，對于取定的閾值θ，如果兩個節(jié)點(diǎn)i和j的價(jià)格波動相關(guān)系數(shù)cij＞θ，則使兩個節(jié)點(diǎn)之間連邊，否則不連邊。并且構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)為無向網(wǎng)絡(luò)，即若節(jié)點(diǎn)i與j之間有邊相連則節(jié)點(diǎn)j與i之間也有邊相連，并且不考慮連邊的權(quán)重大小，將其均視為1。故最終將股票網(wǎng)絡(luò)初始化為無向無權(quán)的網(wǎng)絡(luò)。

假定xi（t）為公司t時刻的股票收盤價(jià)格，則股票的對數(shù)收益率定義為:

其中，Δt為1 天，i=1，2，…，N。為避免外部經(jīng)濟(jì)環(huán)境如利率、匯率和通貨膨脹等對股價(jià)收益率互相關(guān)系數(shù)的影響，做如下處理:

其中，Ci（t）為在t時刻股票i對所有N個公司股票收益率均值的相對收益，進(jìn)一步，可以計(jì)算出股票收益率的互相關(guān)系數(shù)為:

其中，＜·＞表示取時間平均，wij為股票i與股票j之間的連接權(quán)重。

筆者選用的數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)為2000—2011年在上海證券交易所持續(xù)上市的股票，共884個，用股票的周收盤價(jià)格來計(jì)算對數(shù)收益率。數(shù)據(jù)的處理方式為以每一只股票的周收盤價(jià)格在2000年初的價(jià)格為基點(diǎn)進(jìn)行后項(xiàng)除權(quán)，共收集了180個股票收盤價(jià)格（選用的數(shù)據(jù)來自雅虎財(cái)經(jīng)）。

經(jīng)Matlab仿真研究，根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到相關(guān)系數(shù)概率分布圖如圖1所示。

圖1 上海證券市場股票相關(guān)系數(shù)概率分布

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的基本概念

2.1 平均路徑長度（特征路徑長度）

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，連接兩個節(jié)點(diǎn)的最短路徑（即經(jīng)過的邊數(shù)最少）的邊的數(shù)目稱為兩個節(jié)點(diǎn)i與j之間的距離dij。最短路徑定義為所有連通（i，j）的通路中，所經(jīng)過其他頂點(diǎn)最少的一條（或幾條）路徑。網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度 L為網(wǎng)絡(luò)中任意一對頂點(diǎn)的最短路徑長度的平均值，即:

其中，N為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)個數(shù)。它描述了網(wǎng)絡(luò)中分離任意兩個頂點(diǎn)所需的平均步數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度也稱為網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度。

2.2 聚類系數(shù)

在人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，某一個人的兩個朋友很可能彼此也是朋友，將人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的這種特性描述為聚類性［8］。一般地，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的某一個節(jié)點(diǎn)i有ki條邊與它相連，則對應(yīng)相連的這ki個節(jié)點(diǎn)均稱為它的鄰居節(jié)點(diǎn)。顯然，在這ki個節(jié)點(diǎn)之間最多只可能有ki（ki－1）/2條邊，而這ki個節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)Ei與總的可能的邊數(shù)ki（ki－1）/2的比值定義為節(jié)點(diǎn)i的聚類系數(shù)Ci，即:

同理，整個網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)C定義為所有節(jié)點(diǎn)的聚集系數(shù)Ci的平均值。

2.3 度和度分布

節(jié)點(diǎn)i的度用ki表示，定義為與節(jié)點(diǎn)i相連的其他節(jié)點(diǎn)的個數(shù)。一個節(jié)點(diǎn)的度值越大意味著與它相連的邊的數(shù)目越多，它在網(wǎng)絡(luò)中越重要。如果該節(jié)點(diǎn)受到攻擊，網(wǎng)絡(luò)更容易陷入癱瘓狀態(tài)。

在一個無向的網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)的平均度被定義為所有節(jié)點(diǎn)的度取平均值，用＜k＞表示。網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度分布函數(shù)用p（k）來表示，它被定義為從網(wǎng)絡(luò)中任意取一個節(jié)點(diǎn)其度值恰好為k的概率。

3 證券市場構(gòu)造的股票網(wǎng)絡(luò)特性

3.1 小世界特性

平均路徑長度L的定義如上所述。在不同的網(wǎng)絡(luò)中，平均路徑長度有其不同的含義，例如在文獻(xiàn)［4］的小世界實(shí)驗(yàn)中，平均路徑長度表示可以最少通過幾個人將網(wǎng)絡(luò)中的所有人相連接，通過研究發(fā)現(xiàn)，地球上任意兩個人的平均距離為6，這就是著名的六度分離理論（six degrees of separation）。如果一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模很大，節(jié)點(diǎn)數(shù)目很多，但網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度卻很小，就稱該網(wǎng)絡(luò)具有小世界效應(yīng)，用定性的語言可以描述為:對一定的節(jié)點(diǎn)平均度＜k＞，網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度L的增長速度至多與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N的對數(shù)成正比。

刻畫小世界特性的另一個度量指標(biāo)是聚類系數(shù)，聚集系數(shù)C用來描述網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聚集情況，即網(wǎng)絡(luò)有多緊密。若研究網(wǎng)絡(luò)具有較小的特征路徑長度和較大的聚類系數(shù)，則認(rèn)為該網(wǎng)絡(luò)為小世界網(wǎng)絡(luò)。這里的較小、較大比較均以隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)為參照對象。

Lrandom為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度當(dāng)量；Crandom為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)。若隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與所研究的網(wǎng)絡(luò)具有相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)和邊。一般可以表示為:

式中:k為網(wǎng)絡(luò)的平均度，取2Q/n（Q為網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)）。

由于所關(guān)心的是股票之間的強(qiáng)影響，而對于那些聯(lián)系不是很緊密的股票可以忽略它們之間的關(guān)聯(lián)，故在根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到的鄰接矩陣中取閾值為較大的值，忽略網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)較小的一些節(jié)點(diǎn)，得到的對應(yīng)閾值、平均路徑長度和群聚類系數(shù)如表1所示，平均最短路徑的計(jì)算采用圖論中的dikstra 算法［9］。

表1 不同閾值下股票網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣?/p>

對應(yīng)具有相同數(shù)目節(jié)點(diǎn)和邊的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度Lrandom，群聚類系數(shù)Crandom的對應(yīng)數(shù)值如表2所示。

表2 與股票網(wǎng)絡(luò)具有相同數(shù)目節(jié)點(diǎn)和邊的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣?/p>

由于股票網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度與同等規(guī)模的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)相當(dāng)，而聚類系數(shù)又比同等規(guī)模的大得多，從表1和表2中的數(shù)據(jù)可以很明顯地發(fā)現(xiàn)，股票網(wǎng)絡(luò)是一個小世界網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度比較小，其實(shí)際意義表明網(wǎng)絡(luò)中的任意兩只股票可以很方便地連接。由于網(wǎng)絡(luò)的連邊表示股票價(jià)格波動的相關(guān)性，因此在該股票網(wǎng)絡(luò)中，如果一只股票的價(jià)格發(fā)生變化，網(wǎng)絡(luò)中的其余股票很容易受到影響。表1和表2中的數(shù)據(jù)還表明網(wǎng)絡(luò)有比較大的聚類系數(shù)，說明股票價(jià)格的波動在某只股票的鄰居集團(tuán)內(nèi)更加容易傳播，并且影響的程度會更大。

3.2 無標(biāo)度特性

度分布是描述網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)的一個重要統(tǒng)計(jì)量，定義為隨機(jī)選擇一個節(jié)點(diǎn)，度恰好為 k的概率［10］。科學(xué)家們通過大量的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，很多現(xiàn)實(shí)世界中網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度可以近似用冪率分布來描述，即p（k）近似為冪函數(shù)。在直角坐標(biāo)系下，冪函數(shù)的圖像下降相對緩慢，這就意味著度值很大的節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中也是存在的，稱其為網(wǎng)絡(luò)的Hub節(jié)點(diǎn)，在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，Hub節(jié)點(diǎn)起著至關(guān)重要的作用，它們常常左右著網(wǎng)絡(luò)能否正常運(yùn)作。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布函數(shù)在雙對數(shù)坐標(biāo)系下可以近似用一條直線來擬合。

為驗(yàn)證股票網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度特性，這里設(shè)定網(wǎng)絡(luò)的閾值為0.58，研究上海證券市場股票網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度分布情況。從圖2可以看出，經(jīng)過Matlab仿真在雙對數(shù)直角坐標(biāo)系下，其度分布曲線大致在一條直線的附近，直線的斜率為－0.87445，表明該網(wǎng)絡(luò)在閾值θ=0.58時節(jié)點(diǎn)度服從冪率分布，且冪指數(shù)為0.87445。因此，上海證券市場網(wǎng)絡(luò)在閾值θ=0.58時為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。也就是說上海證券市場股票網(wǎng)絡(luò)連接遵循擇優(yōu)連接的“馬太效應(yīng)”。一只新上市股票的價(jià)格波動更容易受到在網(wǎng)絡(luò)中具有很多連接的Hub節(jié)點(diǎn)的影響。

圖2 閾值為0.58時網(wǎng)絡(luò)的度分布雙對數(shù)分布曲線

實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)一般在（2，3）之間，股票網(wǎng)絡(luò)具有比實(shí)際網(wǎng)絡(luò)較小的冪指數(shù)，但這也是有其實(shí)際意義的，這是因?yàn)樽C券市場股票網(wǎng)絡(luò)本身就是一個虛擬的網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的連接不會受到現(xiàn)實(shí)中技術(shù)資源的影響和限制，不需要高昂的構(gòu)造費(fèi)用。此外股票網(wǎng)絡(luò)是一個無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)且冪率指數(shù)相對較小，表明在給定的閾值下，證券市場股票網(wǎng)絡(luò)起關(guān)鍵作用的Hub節(jié)點(diǎn)較多，在股市上的交易過程中有很大一部分的股票都具有較強(qiáng)的影響力，它們價(jià)格的波動會對當(dāng)日股市整個行情的穩(wěn)定起著非常大的影響作用。

4 結(jié)論

筆者對上海證券市場股票網(wǎng)絡(luò)從網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣魃线M(jìn)行了分析，分別計(jì)算了其在不同閾值下對應(yīng)的平均路徑長度和聚類系數(shù)，并和與其具有相同數(shù)目節(jié)點(diǎn)和邊的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較，得出股票網(wǎng)絡(luò)具有明顯的小世界特性，繼而研究了其度分布，發(fā)現(xiàn)度分布服從冪率分布，在雙對數(shù)坐標(biāo)系下可以近似地用一條直線來擬合，且冪指數(shù)為0.87445，說明股票網(wǎng)絡(luò)同時為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。

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