朱春苗，趙維銳

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

近年來，各種時(shí)滯微分方程模型在生態(tài)系統(tǒng)的研究中被提出來，如人口動(dòng)力學(xué)模型和傳染病模型等。1980年GURNEY[1]等建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述Nicholson果蠅的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，即:

在過去的幾十年里，Nicholson果蠅微分方程已經(jīng)取得了長(zhǎng)足進(jìn)步，并已有不少研究結(jié)果，參見文獻(xiàn)[2-4]。2010 年BEREZANSKY 等[5]寫了一篇關(guān)于Nicholson果蠅微分方程的評(píng)論性文章，提出了以下模型:

式中:P＞0為按種群數(shù)量計(jì)算每天平均產(chǎn)卵率的最大值;1/α＞0為以最大產(chǎn)卵率繁殖的種群數(shù)量;δ＞0為成蟲每天的平均死亡率;τ為成長(zhǎng)期，或一次產(chǎn)卵所用的時(shí)間;H＞0為收獲率;σ為成熟期。

對(duì)于上述Nicholson果蠅模型，在文獻(xiàn)[6-8]中已經(jīng)得到了正平衡點(diǎn)的全局吸引性的相關(guān)結(jié)果。近年來，一些學(xué)者研究了具有時(shí)滯的Nicholson果蠅模型的正周期解的存在性[9-10]。然而，很少有文章討論具有時(shí)滯和收獲項(xiàng)的Nicholson果蠅模型的正周期解的存在性。因此，筆者研究了一類具有時(shí)滯和收獲項(xiàng)的Nicholson果蠅模型，即:

(A2) g∈C(R+× R+，R+)，且 g(t，u)對(duì)第一變量為 ω 周期函數(shù)，對(duì)?t，u＞0，有 0＜l≤g(t，u)≤L ＜ ∞ 且 l，L 為正常數(shù)。

1 基本定義和引理

設(shè)(X，‖·‖)為賦范線性空間，閉凸子集K?X非空，稱K是X中的一個(gè)錐。如果對(duì)?λ∈R+，有λK?K并且K∩(-K)={0}。為了方便起見，引入以下標(biāo)記:

為了獲得主要結(jié)果，先作一些準(zhǔn)備，并引用有名的Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理。

引理1Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理[11-12]設(shè)X為一個(gè)Banach空間，K?X且K是一個(gè)錐，假設(shè)Ω1，Ω2為 X 中的兩個(gè)有界開集，且全連續(xù)，如果下列條件之一滿足:

(1)‖Φx‖≤‖x‖，?x∈K∩?Ω1，并且‖Φx‖≥‖x‖，?x∈K∩?Ω2;

(2)‖Φx‖≥‖x‖，?x∈K∩?Ω1，并且‖Φx‖≤‖x‖，?x∈K∩?Ω2。

則Φ在K∩(Ω2Ω1)中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

令:

定義:

那么X是一個(gè)Banach空間，如果x(t)∈X為式(3)的正周期解，則有:

在[t，t+ω]上對(duì)式(6)的兩邊同時(shí)取積分，則可得到:

現(xiàn)在，選擇定義一個(gè)錐:K={x∈X:x(t)≥0，x(t)≥ρ‖x‖}，并且在錐K中定義一個(gè)算子Φ:X→X，則:

引理2假定(A1)和(A2)成立，則ΦK?K。

證明對(duì)于?x∈K，由式(8)和式(9)，易知:

因此，ΦK?K。

引理3Φ:K→K是全連續(xù)映射。

證明設(shè)首先證明Φ是連續(xù)的。對(duì)于?M＞0，ε＞0，存在一個(gè) γ ＞0，使得 φ，ψ∈K，‖φ‖≤M，‖ψ‖≤M，并且由‖φ-ψ‖＜γ，可以推出:

假設(shè) x，y∈K，‖x‖≤M，‖y‖≤M，并且當(dāng)‖x-y‖≤γ時(shí)，由式(8)～式(10)可知:

因此，Φ是連續(xù)的。

接著證明映射Φ是緊算子，即映射Φ可以將有界集映為相對(duì)緊集。不妨任取有界開集S={x∈X:‖x‖≤N}。對(duì)?x∈S，由式(8)和式(9)可知:

接著，對(duì)?t∈[0，ω]，x∈S，由式(9)易知:

因此，ΦS?X是一致有界且等度連續(xù)的。則由Ascoli-Arzela定理可知，算子Φ是緊的，并且是全連續(xù)的。引理3得證。

2 主要結(jié)果及證明

通過使用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理(見引理1)，研究式(3)的正周期解的存在性問題，并得到以下結(jié)果。

定理1假定(A1)-(A2)成立，且有:

則式(3)至少存在一個(gè)ω正周期解。

證明由式(11)，可以定義:

如果 x=x(t)∈K∩?Ω1，那么:

緊接著，定義:

如果 x=x(t)∈K∩?Ω2，那么:

顯然，Ω1和Ω2是有界開集X的一部分，且有0∈Ω1??Ω2。另外，Φ:K∩(Ω1)→K 是全連續(xù)算子，并且Φ滿足引理1中條件(2)。由引理1可知，存在一個(gè)x=x(t)∈K(Ω1)，使得x(t)=(Φx)(t)，即x(t)是式(3)的ω正周期解。則定理1得證。

不失一般性，在式(3)中假定 H[t，x(t)]=0和m=1，則有:

推論1假設(shè)(A1)和ω ＞σ(σ -1)，那么式(12)至少有一個(gè)ω正周期解。

3 兩個(gè)例子

以下給出兩個(gè)例子驗(yàn)證先前給出的結(jié)論。

例1考慮下面的微分方程:

例2考慮以下微分方程:

圖1 式(14)解的數(shù)值模擬

然而，在文獻(xiàn)[13]中，假設(shè)(A1)和 P(t)＞δ(t)，t∈[0，ω]，則式(12)至少存在一個(gè) ω 正周期解。令t=7/8，則P(t)＜δ(t)，因此文獻(xiàn)中的推論不能應(yīng)用到式(14)中。

另一方面，文獻(xiàn)[14]得到以下結(jié)論:若有(A1)和ωP*＞σ(σ-1)成立，則式(12)至少存在一個(gè)ω正周期解。但是，因此，文獻(xiàn)中的定理也不能應(yīng)用到式(14)中。

從以上兩個(gè)具體的例子，說明筆者得出的結(jié)果對(duì)具有時(shí)滯和收獲項(xiàng)的Nicholson果蠅模型周期正解的存在性提出了新的標(biāo)準(zhǔn)，并且改進(jìn)了文獻(xiàn)[13-14]的結(jié)論。

4 結(jié)論

具有時(shí)滯和收獲項(xiàng)的Nicholson果蠅微分方程的非自治模型經(jīng)常應(yīng)用在一段時(shí)間內(nèi)的人口最優(yōu)控制問題中，通過錐上不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了式(3)的正周期解存在的充分條件，幾個(gè)例子和數(shù)值模擬充分驗(yàn)證了分析結(jié)果。盡管沒有涉及到正周期解的穩(wěn)定性，但是數(shù)值模擬顯示了這個(gè)模型的正周期解是穩(wěn)定的。因此筆者的結(jié)論不僅證明了正周期解的存在性，而且說明它是穩(wěn)定的。

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