高智中

一維離散系統(tǒng)的混沌及其控制

高智中

（安徽科技學(xué)院理學(xué)院，安徽，鳳陽 233100）

詳細研究一類一維離散系統(tǒng)的動力學(xué)行為，重點分析了該系統(tǒng)由周期運動到混沌運動的轉(zhuǎn)遷過程，并根據(jù)其轉(zhuǎn)遷特點設(shè)計了一種混沌控制方案，數(shù)值仿真結(jié)果表明我們的控制方案能夠有效控制該系統(tǒng)的混沌狀態(tài)。

分岔圖；Lyapunov指數(shù)圖；混沌；混沌控制

由于混沌信號對初值極端敏感、互不相關(guān)、有界等特點，所以在混沌保密通訊中有廣泛的應(yīng)用。自1963年Lorenz[1]在分析氣候數(shù)據(jù)時發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，從此拉開了混沌研究的帷幕?；煦缈刂埔彩墙陙矸蔷€性動力學(xué)中引人注目的研究熱點之一。1990年，Ott等開創(chuàng)性地提出了一種比較系統(tǒng)和嚴(yán)密的參數(shù)微擾方法，即OGY方法[2]，但該方法有一定的局限性。近幾年來，國內(nèi)外學(xué)者又相繼提出了很多不同的控制方法[3-14]，這些方法各有優(yōu)缺點，具體可以看文獻。本文先對一個離散系統(tǒng)的動力學(xué)行為做了分析，然后提出一種控制方法對其有效的控制，數(shù)值仿真結(jié)果表明所提方法的正確性和有效性。

1 系統(tǒng)的動力學(xué)行為

非線性動力學(xué)系統(tǒng)往往含有一個或多個控制參數(shù)，如果當(dāng)參數(shù)達到某個臨界值時，系統(tǒng)運動軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將發(fā)生變化，這種現(xiàn)象稱為分岔。分岔是一類常見的非線性現(xiàn)象，并且與其他非線性現(xiàn)象如混沌、分形等密切相關(guān)。Lyapunov指數(shù)是定量描述軌線收縮或擴張的量，可以表征系統(tǒng)的運動特征。

由分岔圖可知系統(tǒng)是由倍周期分岔通向混沌的，混沌區(qū)域有幾處長度不等的周期窗口。周期窗口對系統(tǒng)的動力學(xué)行為演變過程中起著十分重要的作用，會引發(fā)系統(tǒng)運行軌道狀態(tài)突變或混沌危機等非線性物理現(xiàn)象。該系統(tǒng)具有和Logistic 映射相似的性質(zhì)，都具有很強的自相似性。由Lyapunov指數(shù)圖可知當(dāng)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)小于零時，對應(yīng)系統(tǒng)處于周期運動。當(dāng)Lyapunov指數(shù)大于零時，必將導(dǎo)致分岔圖中的混沌區(qū)域。當(dāng)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)從負(fù)值趨于零再到負(fù)值，系統(tǒng)在此點發(fā)生倍周期分叉；當(dāng)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)從正值過零再到負(fù)值，系統(tǒng)在此點發(fā)生切分叉；當(dāng)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)從負(fù)值過零再到正值，此點為系統(tǒng)從周期運動向混沌運動的過渡點[15]。圖3給出了當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)= 0.6，= 1.2，= 1.4，= 4時的時間序列圖，分別處于周期一不動點(a)，周期二不動點(b)，周期四不動點(c)和混沌態(tài)(d)。

圖1 系統(tǒng)的分岔圖

圖2 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖

圖3 系統(tǒng)的時間序列圖

2 混沌控制

由于混沌控制在工程技術(shù)上的重大研究價值和十分誘人的應(yīng)用前景，混沌控制引起了國際上非線性動力系統(tǒng)和工程控制專家的極大關(guān)注，成為非線性科學(xué)的研究熱點之一。一般而言，混沌控制有以下幾方面的含義，其一是引導(dǎo)問題，基于混沌吸引子內(nèi)嵌有無窮多不穩(wěn)定周期軌道，根據(jù)人們的意愿選擇其中的一些（不動點或周期軌道）作為控制目標(biāo)，選取適當(dāng)?shù)姆椒?，在相空間中將混沌軌道引入事先指定的不動點或周期軌道的確定的小鄰域內(nèi)，這種控制不改變系統(tǒng)原有的周期軌道；其二是抑制問題，即不要求必須穩(wěn)定控制原系統(tǒng)中的周期軌道，而是通過可能的策略，方法和途徑，達到有效控制，得到所需的周期軌道，這條軌道不一定是系統(tǒng)原有的軌道，這種控制將改變系統(tǒng)動力學(xué)行為。

圖4 受控系統(tǒng)的時間序列圖

圖5 受控系統(tǒng)的分岔圖

3 結(jié)論

本文用數(shù)值計算的方法研究了一個離散系統(tǒng)的動力學(xué)行為和混沌控制。利用系統(tǒng)的分岔圖和對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖分析了系統(tǒng)由周期運動到混沌運動的轉(zhuǎn)遷過程。然后提出了一種新的混沌控制方法，數(shù)值仿真結(jié)果說明了該方法的正確性和有效性。該方法可行，有效，代價小，而且控制速度快，編程方便，取得了令人滿意的結(jié)果，可以推廣到高維系統(tǒng)，因而在工程應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用前景。

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[15] 劉秉正,彭建華.非線性動力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2005.

Chaos and chaos control of one-dimensinal discrete system

GAO Zhi-zhong

( College of Science, Anhui Science and Technology University, Fengyang, Anhui 233100, China)

Dynamic behavior of a class of one-dimensional discrete system is studied. We mainly analyze the transition from periodic motion to chaotic motion. We also design the chaos control scheme based on its movement characteristic. Numerical simulation results show the chaos control scheme can effectively control the chaotic state of the system.

bifurcation diagram; Lyapunov exponents diagram; chaos; chaotic control

N941.7

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2012.02.008

1674-8085(2012)02-0031-04

2011-11-15；

2012-02-26

安徽省高校省級優(yōu)秀青年人才基金項目(2012SQRL146)

高智中(1979-)，男，山西神池人，講師，碩士，主要從事非線性動力系統(tǒng)分岔和混沌理論及其應(yīng)用研究(E-mail: gaozhizhong2005@126.com)