孫小君，閆廣明

（黑龍江大學(xué)a．電子工程學(xué)院；b．機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080）

0 引 言

近年來，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在系統(tǒng)分析和集成中越來越要求系統(tǒng)的精確描述。因此分?jǐn)?shù)階微積分［1－2］也開始逐漸受到關(guān)注。文獻(xiàn) ［3］給出了分?jǐn)?shù)階微積分在粘粘性方面的研究；文獻(xiàn) ［4］則給出其在分形方面的研究；文獻(xiàn) ［5］和文獻(xiàn)［6］分別使用分?jǐn)?shù)階微積分給出了頻域和時域的控制算法。然而關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Kalman濾波的研究卻尚屬少數(shù)［7－9］。在文獻(xiàn) ［7－9］中分別通過兩種不同的推導(dǎo)方法得到了分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器。

本文將對線性離散分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間系統(tǒng)提出一種新的穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器。其推導(dǎo)過程完全不同于文獻(xiàn) ［7－9］。仿真例子說明了所提出的濾波器的有效性。

1 問題的提出

考慮如下線性分?jǐn)?shù)階離散狀態(tài)空間系統(tǒng)：

式中t為離散時間；γ為分?jǐn)?shù)階；x （t）∈Rn為狀態(tài)；y （t）∈Rm為觀測；u （t）∈Rp為已知控制輸入；w （t）∈Rr和v （t）∈Rm為白噪聲；Φd、B和H 為適當(dāng)維數(shù)的常陣。

式中n1，…，nN為系統(tǒng)方程的階數(shù)；N 為方程數(shù)。

當(dāng)γ＝1，Φd＝Φ－I時，可得到通常的整數(shù)階離散狀態(tài)空間系統(tǒng)：

【假設(shè)1】w （t）和v （t）為零均值方差分別為Qw和R的相互獨立的白噪聲。則：

【假設(shè)2】x （0）不相關(guān)于w （t）和v （t），且有：

【假設(shè)3】系統(tǒng)完全可觀且完全可控［2］。

穩(wěn)態(tài)Kalman濾波問題為基于觀測 （y （1），…，y （t））求線性最小方差狀態(tài)濾波器＾x （t｜t）。

2 穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器

由式 （1）、式 （2）和式 （3）有：

式中In為單位陣；q－1為單位滯后算子，q－1x （t）＝x （t－1）。

引入左素分解得：

其中qμA （q－1）為Φd的最小多項式。

將式 （12）代入式 （11）得：

在 （A （q－1）Im，HF （q－1）Bq－1，HF（q－1）q－1）左素且A （q－1）Im和HF （q－1）q－1沒有行列式零點在單位圓上的左因式的假設(shè)下，應(yīng)用式 （15）得到CARMA新息模型：

式中B （q－1）＝HF （q－1）q－1；D （q－1）為穩(wěn)定的，D0＝Im；新息ε（t）是帶零均值方差陣為Qε的白噪聲，可得到如下關(guān)系：

其中D （q－1）和Qε可由 G－W 算法得到［10］。

定理1 對系統(tǒng) （1）～ （3），在假設(shè)1～3下，穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器和預(yù)報器為：

濾波增益為：

其中矩陣X的偽逆X＋定義為X＋＝ （XTX）－1XT。

證明 應(yīng)用假設(shè)2得到穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和預(yù)報器存在［10］。

由式 （1）、式 （2）和射影性質(zhì)得：

進(jìn)而有式 （19）。應(yīng)用射影公式得式 （18）和式 （20）。

應(yīng)用Fadeeva公式 （12），并應(yīng)用式 （18）、式（19）和式 （20）有：

比較式 （16）和式 （25）有：

式中Dk＝0，k＞nd。

由假設(shè)3得：

應(yīng)用反證法得到nf≥β－1。

應(yīng)用式 （26）得：

應(yīng)用式 （14）和式 （28）得到式 （21）和式（22）。證畢。

3 仿真例子

考慮如下帶單位階躍輸入的線性離散分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間系統(tǒng)：

式中γ為分?jǐn)?shù)階；x （t）∈R2、u （t）∈R、y （t）∈R分別為時刻t的狀態(tài)、輸入和輸出；w （t）∈R2和v （t）∈R為帶零均值方差陣分別為Qw＝和R＝0．01的白噪聲，n1＝0．9，n2＝1．1。問題為求分?jǐn)?shù)階 Kalman濾波器（t｜t）。

仿真結(jié)果見圖1和圖2。在圖1和圖2中給出了狀態(tài)的第一個和第二個分量值與估計值曲線，其中實線表示真實值，虛線表示估計值。從中可以看出狀態(tài)變量的估計精度較高。

4 結(jié) 論

本文對線性離散分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間系統(tǒng)提出一種新的穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器。同時給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程。仿真例子表明所提算法的有效性。所提出的結(jié)果克服了現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)大多針對整數(shù)階系統(tǒng)研究的缺點和局限性。

［1］K．B．Oldham，J．Spanier．The fractional calculus［M］．Academic Press，1974．

［2］汪紀(jì)鋒．分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制性能分析 ［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2010． （J．F．Wang．Control performance analysis for fractional order systems［M］．Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2010． （in Chinese））

［3］R．L．Bagley．Fractional calculus－a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures［J］．AIAA Journal，1983，21：741－748．

［4］M．Bologna，P．Grigolini．Physics of fractal operators［M］．Springer－Verlag，2003．

［5］A．Oustaloup．The crone control of resonant plants：Application to a flexible transmission ［J］．European Journal of Control，1995，1：113－121．

［6］J．T．Machado．Anaylsis and design of fractional－order digital control systems［J］．SAMS－Journal Systems A－nalysis，Modelling，Simulation，1997，27：107－122．

［7］S．Dominik，D．Andrzej．Fractional Kalman filter algorithm for the states，parameters and order of fractional system estimation ［J］．International Journal of Applied Mathematics and Computer Science，2006，16 （1）：129－140．

［8］D．Andrzej，S．Dominik．Adaptive feedback control of fractional order discrete state－space systems［C］／／CIMCA－IAWTIC’05，Vienna，Austria，28－30November 2005，1：804－809．

［9］X．J．Sun，G．M．Yan．Fractional order Kalman filter［A］．2nd International Conference on Intelligent Control and Information Processing ［C］．Harbin，China，25－28July 2011，836－838．

［10］Z．L．Deng，Y．Gao，L．Mao，et al．New approach to information fusion steady－state Kalman filtering［J］．Automatica，2005，41 （10）：1 695－1 707．