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        穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器

        2012-10-17 02:42:34孫小君閆廣明
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

        孫小君,閆廣明

        (黑龍江大學(xué)a.電子工程學(xué)院;b.機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150080)

        0 引 言

        近年來,隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,在系統(tǒng)分析和集成中越來越要求系統(tǒng)的精確描述。因此分?jǐn)?shù)階微積分[1-2]也開始逐漸受到關(guān)注。文獻(xiàn) [3]給出了分?jǐn)?shù)階微積分在粘粘性方面的研究;文獻(xiàn) [4]則給出其在分形方面的研究;文獻(xiàn) [5]和文獻(xiàn)[6]分別使用分?jǐn)?shù)階微積分給出了頻域和時域的控制算法。然而關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Kalman濾波的研究卻尚屬少數(shù)[7-9]。在文獻(xiàn) [7-9]中分別通過兩種不同的推導(dǎo)方法得到了分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器。

        本文將對線性離散分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間系統(tǒng)提出一種新的穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器。其推導(dǎo)過程完全不同于文獻(xiàn) [7-9]。仿真例子說明了所提出的濾波器的有效性。

        1 問題的提出

        考慮如下線性分?jǐn)?shù)階離散狀態(tài)空間系統(tǒng):

        式中t為離散時間;γ為分?jǐn)?shù)階;x (t)∈Rn為狀態(tài);y (t)∈Rm為觀測;u (t)∈Rp為已知控制輸入;w (t)∈Rr和v (t)∈Rm為白噪聲;Φd、B和H 為適當(dāng)維數(shù)的常陣。

        式中n1,…,nN為系統(tǒng)方程的階數(shù);N 為方程數(shù)。

        當(dāng)γ=1,Φd=Φ-I時,可得到通常的整數(shù)階離散狀態(tài)空間系統(tǒng):

        【假設(shè)1】w (t)和v (t)為零均值方差分別為Qw和R的相互獨立的白噪聲。則:

        【假設(shè)2】x (0)不相關(guān)于w (t)和v (t),且有:

        【假設(shè)3】系統(tǒng)完全可觀且完全可控[2]。

        穩(wěn)態(tài)Kalman濾波問題為基于觀測 (y (1),…,y (t))求線性最小方差狀態(tài)濾波器^x (t|t)。

        2 穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器

        由式 (1)、式 (2)和式 (3)有:

        式中In為單位陣;q-1為單位滯后算子,q-1x (t)=x (t-1)。

        引入左素分解得:

        其中qμA (q-1)為Φd的最小多項式。

        將式 (12)代入式 (11)得:

        在 (A (q-1)Im,HF (q-1)Bq-1,HF(q-1)q-1)左素且A (q-1)Im和HF (q-1)q-1沒有行列式零點在單位圓上的左因式的假設(shè)下,應(yīng)用式 (15)得到CARMA新息模型:

        式中B (q-1)=HF (q-1)q-1;D (q-1)為穩(wěn)定的,D0=Im;新息ε(t)是帶零均值方差陣為Qε的白噪聲,可得到如下關(guān)系:

        其中D (q-1)和Qε可由 G-W 算法得到[10]。

        定理1 對系統(tǒng) (1)~ (3),在假設(shè)1~3下,穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器和預(yù)報器為:

        濾波增益為:

        其中矩陣X的偽逆X+定義為X+= (XTX)-1XT。

        證明 應(yīng)用假設(shè)2得到穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和預(yù)報器存在[10]。

        由式 (1)、式 (2)和射影性質(zhì)得:

        進(jìn)而有式 (19)。應(yīng)用射影公式得式 (18)和式 (20)。

        應(yīng)用Fadeeva公式 (12),并應(yīng)用式 (18)、式(19)和式 (20)有:

        比較式 (16)和式 (25)有:

        式中Dk=0,k>nd。

        由假設(shè)3得:

        應(yīng)用反證法得到nf≥β-1。

        應(yīng)用式 (26)得:

        應(yīng)用式 (14)和式 (28)得到式 (21)和式(22)。證畢。

        3 仿真例子

        考慮如下帶單位階躍輸入的線性離散分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間系統(tǒng):

        式中γ為分?jǐn)?shù)階;x (t)∈R2、u (t)∈R、y (t)∈R分別為時刻t的狀態(tài)、輸入和輸出;w (t)∈R2和v (t)∈R為帶零均值方差陣分別為Qw=和R=0.01的白噪聲,n1=0.9,n2=1.1。問題為求分?jǐn)?shù)階 Kalman濾波器(t|t)。

        仿真結(jié)果見圖1和圖2。在圖1和圖2中給出了狀態(tài)的第一個和第二個分量值與估計值曲線,其中實線表示真實值,虛線表示估計值。從中可以看出狀態(tài)變量的估計精度較高。

        4 結(jié) 論

        本文對線性離散分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間系統(tǒng)提出一種新的穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階Kalman濾波器。同時給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程。仿真例子表明所提算法的有效性。所提出的結(jié)果克服了現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)大多針對整數(shù)階系統(tǒng)研究的缺點和局限性。

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        [2]汪紀(jì)鋒.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制性能分析 [M].北京:電子工業(yè)出版社,2010. (J.F.Wang.Control performance analysis for fractional order systems[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2010. (in Chinese))

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        [4]M.Bologna,P.Grigolini.Physics of fractal operators[M].Springer-Verlag,2003.

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        [9]X.J.Sun,G.M.Yan.Fractional order Kalman filter[A].2nd International Conference on Intelligent Control and Information Processing [C].Harbin,China,25-28July 2011,836-838.

        [10]Z.L.Deng,Y.Gao,L.Mao,et al.New approach to information fusion steady-state Kalman filtering[J].Automatica,2005,41 (10):1 695-1 707.

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