王 品，謝維信，劉宗香，高存臣

（1.深圳大學(xué)ATR國防科技重點實驗室，廣東 深圳518060；2.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

多目標(biāo)跟蹤技術(shù)一直是目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的一個熱點研究問題。目標(biāo)數(shù)目不定的多目標(biāo)跟蹤問題無論在理論上還是在應(yīng)用中都是具有挑戰(zhàn)性的問題。傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤方法是先關(guān)聯(lián)后估計，關(guān)聯(lián)精度直接影響跟蹤效果，目標(biāo)數(shù)未知并且存在雜波和虛警時，關(guān)聯(lián)很難實現(xiàn)［1－4］。Mahler等從統(tǒng)計的角度提出了多目標(biāo)情況下“一階矩濾波器”的概念（也稱概率假設(shè)密度濾波器，PHDF）［4］，PHDF避免了觀測值和狀態(tài)值之間直接關(guān)聯(lián)，但迭代過程中存在集合積分運算，計算上難以處理。所以 Vo等提出粒子 PHDF［5］（PF－PHDF），PFPHDF可以很好的估計出每個時刻多目標(biāo)的狀態(tài)值［6］，但PF－PHDF跟蹤結(jié)果不能確認(rèn)每個目標(biāo)的狀態(tài)，進(jìn)而不能給出有效的跟蹤航跡。Panta提出多假設(shè)關(guān)聯(lián)算法和PF－PHD濾波結(jié)合的跟蹤方法［6］，但用多假設(shè)關(guān)聯(lián)算法過多地依賴目標(biāo)和雜波的先驗知識并且計算復(fù)雜很難實時實現(xiàn)［6－7］。近年來Vo等又提出了適用于線性高斯系統(tǒng)的高斯混合PHD濾波方法（GMPHD）［8］，推導(dǎo)了PHD的解析表達(dá)式，繼而又有大量改進(jìn)的 GM－PHD濾波方法［9－11］，對于系統(tǒng)噪聲和量測噪聲為非高斯噪聲的多目標(biāo)跟蹤環(huán)境GM－PHD就無法使用，但PF－PHD仍然適用。

針對以上問題，提出1種新的基于PF－PHDF的多目標(biāo)模糊跟蹤方法，這種方法用粒子濾波預(yù)測和更新多目標(biāo)狀態(tài)集合的PHD，估計出目標(biāo)數(shù)并用模糊C－均值聚類算法給出多目標(biāo)的狀態(tài)估計，把得到的目標(biāo)狀態(tài)作為新的觀測集，然后用模糊關(guān)聯(lián)得到各個航跡的關(guān)聯(lián)結(jié)果，最后通過建立臨時航跡濾掉了雜波點并且有效的提高了目標(biāo)的跟蹤精度。

1 基于隨機(jī)有限集的多目標(biāo)跟蹤框架

1.1 多目標(biāo)跟蹤模型

在多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，目標(biāo)的出現(xiàn)和消失都是隨機(jī)的。本文假設(shè)每一時刻出現(xiàn)的新目標(biāo)數(shù)服從均值為λa的柏松分布。一個k時刻的目標(biāo)下一時刻可能存在也可能消失，假設(shè)目標(biāo)從k－1時刻存活到k時刻的概率是ek｜k－1，則目標(biāo)在k時刻的死亡概率為1－ek｜k－1。目標(biāo)的檢測概率為PD。

目標(biāo)的運動服從馬爾可夫動態(tài)模型：

觀測表示為：

假設(shè)在k時刻，目標(biāo)數(shù)和觀測數(shù)分別為Nk和Mk，多目標(biāo)的狀態(tài)集與觀測集分別表示隨機(jī)有限集合的形式，即Xk＝｛xk，1，…xk，Nk｝Es為多目標(biāo)狀態(tài)，Zk＝｛zk，1，…zk，Mk｝Eo為多目標(biāo)觀測，其中Es，Eo分別表示狀態(tài)空間和觀測空間。若k－1時刻狀態(tài)集為Xk－1，則k時刻的狀態(tài)集可以表示為：

其中：Sk｜k－1（Xk－1）表 示 k 時 刻 仍 存 活 的 目 標(biāo) 集；Bk｜k－1（Xk－1）表示由k－1時刻衍生的目標(biāo)集；Γk表示k時刻出現(xiàn)的新目標(biāo)集。一般用f（Xk｜Xk－1）表示多目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度。類似地，k時刻的觀測集可表示為：Zk＝Gk（Xk）∪Ck（Xk），其中Gk（Xk）表示由 Xk產(chǎn)生的觀測值隨機(jī)有限集；Ck（Xk）表示雜波或者虛警產(chǎn)生的隨機(jī)有限集。

1.2 隨機(jī)有限集的概率假設(shè)密度濾波

隨機(jī)有限集理論的引入為多目標(biāo)的Bayes濾波提供了與單目標(biāo)的Bayes濾波一致的完美形式，但需要建立相應(yīng)的概率分布和概率密度的概念。由于涉及到計算集導(dǎo)數(shù)和廣義積分問題，在隨機(jī)有限集理論中概率分布一般采用信任函數(shù)的形式，即：對于隨機(jī)有限集Ξ的概率分布表示為［5］：

1.2.1 多目標(biāo)Bayes濾波 假設(shè)k－1時刻多目標(biāo)的全局后驗密度為pk－1（Xk－1｜Z1∶k－1），則k時刻多目標(biāo)全局密度預(yù)測方程為［4］：

其中：μs表示一種合適的測度［5］。更新后得到k時刻多目標(biāo)的全局后驗密度：

在目標(biāo)數(shù)目不定或數(shù)目較大的情況下全局密度的計算非常困難，使得基于全局密度的多目標(biāo)Bayes濾波在工程上難以實現(xiàn)。所以Mahler等從統(tǒng)計的角度提出了多目標(biāo)情況下“一階矩密度”的概念，即概率假設(shè)密度。

其中：δx表示中心為x 的 Dirac delta函數(shù)；DΞ（x0）是在x0點期望的目標(biāo)密度；∫SDΞ（x）dx時出現(xiàn)在S內(nèi)的期望的目標(biāo)數(shù)，而利用DΞ（x）的極值可以給出目標(biāo)的狀態(tài)估計。

PHD濾波器（PHDF）就是對多目標(biāo)后驗密度的概率假設(shè)密度Dk｜k遞推過程，也是通過預(yù)測更新2個步驟來實現(xiàn)。假設(shè)k－1時刻后驗密度為υk－1。

PHD預(yù)測方程：

PHD更新方程：

1.2.2 概率假設(shè)密度 隨機(jī)有限集Ξ的概率假設(shè)密度表示為：

其中：ek｜k－1，fk｜k－1，pD，gk｜k－1同前定義；βk｜k－1，βk分 別表示Bk｜－1，Bk的PHD；kk表示雜波的PHD。PHD濾波一般通過粒子濾波（SMC）來實現(xiàn)，粒子的更新權(quán)值之和等于估計的目標(biāo)數(shù)。

2 基于隨機(jī)有限集和模糊關(guān)聯(lián)的多目標(biāo)跟蹤

2.1 模糊關(guān)聯(lián)

模糊關(guān)聯(lián)（FDA）算法是以模糊均值聚類（FCM）算法為基礎(chǔ)的，F(xiàn)DA的目的就是把每條航跡的預(yù)測值vi（i＝1，2…c）作為聚類中心，然后利用FCM方法把每個觀測和可能航跡之一關(guān)聯(lián)起來。FCM是一種能自動對數(shù)據(jù)樣本分類的方法。他通過優(yōu)化模糊目標(biāo)函數(shù)得到每個樣本點相對類中心的隸屬度，從而決定樣本點的歸屬。即：找出最佳隸屬度uik和最佳模糊聚類中

PF－PHDF雖然能給出在當(dāng)前時刻目標(biāo)的估計狀態(tài)，但是它沒有保留任何目標(biāo)航跡。然而有些數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法可以基于PF－PHDF給出目標(biāo)的跟蹤航跡，因此，需要結(jié)合數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法來獲得目標(biāo)的航跡，將模糊數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法引入到PHDF方法當(dāng)中對復(fù)雜情況下多目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。具體過程見圖1。

由圖1可已看出：由k時刻的觀測值通過PFPHD得到每個粒子的狀態(tài)、權(quán)值、和目標(biāo)數(shù)，并通過模糊聚類（FCM）得到每個目標(biāo)k時刻的估計狀態(tài)，然后根據(jù)模糊關(guān)聯(lián)（FAD）得到多目標(biāo)跟蹤航跡，最后通過建立臨時航跡的方法確定形成多目標(biāo)航跡。

圖1 PF－PHDF與模糊關(guān)聯(lián)跟蹤實現(xiàn)過程Fig.1 Tracking with the PF－PHDF and fuzzy associate

2.2 算法的具體實現(xiàn)步驟如下：

步驟一 初始化PHD，即：Dk｜k。在k＝0時刻，用帶權(quán)重的粒子初始化概率假設(shè)密度D0｜0，即：初始密度函數(shù)為初始的粒子個數(shù)。

PF－PHD的具體過程是：

步驟四 模糊關(guān)聯(lián)的具體實現(xiàn)步驟：

（2）利用FCM算法求分割矩陣U，分割矩陣中的元素uik代表航跡i和觀測k之間的關(guān)聯(lián)度量，分割矩陣包含了所有航跡和所有觀測的隸屬度。相似性度量由下式確定

（3）對最大隸屬度值uMik進(jìn)行搜索，將觀測kM賦給航跡iM，然后把uMik對應(yīng)的行和列上的值賦值為0。重復(fù)搜索一直到所有觀測或者所有航跡有關(guān)聯(lián)對象，或者當(dāng)時的最大隸屬度小于隸屬度初始閾值。

步驟五 判斷臨時航跡內(nèi)是否為空，如果臨時航跡內(nèi)有航跡，接下來就和臨時航跡內(nèi)的航跡關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)到步驟四。然后分析關(guān)聯(lián)不上的航跡和觀測，即找出所有沒有關(guān)聯(lián)上的航跡和沒有關(guān)聯(lián)上的觀測，沒有關(guān)聯(lián)上的觀測形成新的航跡，沒有關(guān)聯(lián)上的航跡暫時保留在臨時航跡內(nèi)。

步驟六 確認(rèn)目標(biāo)，分離并剔除雜波。被保留的航跡連續(xù)3個時刻都沒有相應(yīng)的觀測與之關(guān)聯(lián)，認(rèn)為該目標(biāo)在第一次沒有關(guān)聯(lián)對象的時候已經(jīng)消失或離開觀測區(qū)域。

3 仿真實驗

為了驗證算法的性能，便于比較，仿真實驗條件如同文獻(xiàn)［6］，實驗步長為50。傳感器的觀測空間為二維平面區(qū)域S＝［－400，400］×［－400，400］，時間間隔T＝1s，PD＝0.99，ek｜k－1＝0.95，λa＝3。

每個目標(biāo)的運動模型和觀測模型分別為：

w1k，w2k，vk都是均值為0的高斯白噪聲，標(biāo)準(zhǔn)差分別為1、0.1和0.5。初始粒子數(shù)為1 000，每個目標(biāo)分配的粒子數(shù)目為500。多目標(biāo)估計誤差用Wasserstein距離［5］。仿真結(jié)果見圖2～3。

圖2和3顯示了50s內(nèi)PF－PHD方法跟蹤真實軌跡的估計值，從圖中可以看出，PF－PHDF的跟蹤結(jié)果只是每個時刻目標(biāo)的狀態(tài)的估計值，沒有跟蹤軌跡，而且偶爾估計誤差比較大，有的雜波點沒有去掉，這是因為只利用聚類技術(shù)估計的狀態(tài)值具有不可靠性［8］。

圖4是經(jīng)過PF－PHDF濾波后，然后利用多假設(shè)關(guān)聯(lián)的方法給出多個目標(biāo)的運動軌跡，但是無法分辨出雜波點，而且通常目標(biāo)的軌跡也不連續(xù)，這是由于漏檢或者是PHDF濾波過程中濾掉了真實目標(biāo)點。圖5是本文提出方法的跟蹤航跡，可以看出本文方法明確了給出了每個目標(biāo)的運動軌跡，由于保留臨時航跡思想的引入，濾除了雜波點并修復(fù)了漏檢等情況造成的目標(biāo)軌跡的中斷。圖6是2種方法跟蹤目標(biāo)數(shù)的比較，文獻(xiàn)［6］的估計目標(biāo)數(shù)中作者首先去掉了每個時刻的雜波點數(shù)，也就是2種發(fā)放估計的真實目標(biāo)數(shù)的比較，明顯看出本文方法能比較準(zhǔn)確的估計出目標(biāo)數(shù)。圖7是文獻(xiàn)［6］方法和本文方法的跟蹤誤差比較，從圖中可以看出，本文方法的狀態(tài)估計誤差明顯小于文獻(xiàn)［6］的方法，進(jìn)一步表明了本文方法的優(yōu)越性。

圖7 本文方法和文獻(xiàn)［6］方法的狀態(tài)估計誤差比較Fig.7 Wasserstein distance between point estimate outputs of MHT－PHD filter［6］and the proposed filter

表1給出了3種PHD濾波器的時間復(fù)雜度的對比結(jié)果，從表中看出，PF－PHD的實時性能最好，實時性能最差，而 FDA－PF－PHD 實時性能比 MHT－PFPHD要好。這是因為每次關(guān)聯(lián)MHT的計算量比FDA的計算量大。總體看來本文提出的方法的跟蹤精度較高，跟蹤速度相對較快。

表1 CPU運行時間對比Table 1 Comparison of CPU running time

4 結(jié)語

目標(biāo)數(shù)目不定的多目標(biāo)跟蹤問題無論在理論上還是在應(yīng)用中都是具有挑戰(zhàn)性的問題。本文利用隨機(jī)集的概率假設(shè)密度濾波的方法確定目標(biāo)數(shù)目并估計出每個時刻的目標(biāo)狀態(tài)，然后利用模糊數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的方法給出各個目標(biāo)的運動軌跡，同時提出了建立臨時航跡的方法。通過大量的仿真實驗與文獻(xiàn)算法的跟蹤性能進(jìn)行比較，實驗結(jié)果表明，新算法有效地避免漏檢造成的目標(biāo)丟失，得到每個目標(biāo)的航跡。特別對于目標(biāo)發(fā)生交叉的情況，能很好地區(qū)分每個目標(biāo)的航跡，并能很好的去除雜波點。CPU耗時比文獻(xiàn)［6］的方法減少了20℅。下一步將繼續(xù)研究優(yōu)化算法，進(jìn)一步提高多目標(biāo)跟蹤的實時性，另外考慮研究PHDF的收斂性和穩(wěn)定性［13－15］，進(jìn)一步提高 PHD在多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的實用性。

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