呂堂紅，王 建

（1.長春理工大學(xué)理學(xué)院，吉林 長春130022；2.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

0 引言

Brouwer不動點定理在微分方程、數(shù)學(xué)規(guī)劃、工程、經(jīng)濟等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1－3］。1976年，Kellogg等給出了Brouwer不動點定理的構(gòu)造性證明，從而提出了連續(xù)化方法來計算兩次連續(xù)可微映射Φ（x）的不動點［4］。1978年，Chow等人［5］在有界閉凸集構(gòu)造了如下同倫

該同倫目前已經(jīng)成為計算不動點和非線性系統(tǒng)的重要工具［6－8］。

廣義Brouwer不動點問題對所在集合沒有凸性和有界性要求，所以如何給出該定理的構(gòu)造性證明并數(shù)值求解非凸無界集合上的不動點問題是十分重要的，然而，據(jù)所知，在這個領(lǐng)域很少有相應(yīng)的研究結(jié)果.直到最近，人們才把Kamarkar內(nèi)點法的思想引入到連續(xù)化方法中，進而提出了一種新的連續(xù)化方法，并處理了一類滿足法錐條件的非凸集合上的不動點問題［9－10］。

針對系統(tǒng)（2）和（3），文獻［9］構(gòu)造了適當(dāng)?shù)慕M合同倫方程，并得到了連續(xù)化方法的全局收斂性結(jié)果。文獻［10］引入二次連續(xù)可微映射η（x）∈Rn×m代替梯度g（x），進而把文獻［9］的結(jié)果推廣到了更一般的非凸集合上。

應(yīng)該指出的是，文獻［9－10］的結(jié)果都要求Ω是有界的，對于無界非凸區(qū)域，目前還沒有相應(yīng)的研究結(jié)果出現(xiàn)。本文利用自映射Φ（x）和二次連續(xù)可微映射η（x）構(gòu)造一組無界性條件，在適當(dāng)?shù)臈l件下，給出了連接無界非凸區(qū)域內(nèi)部任意給定的點和不動點的同倫路徑存在性的構(gòu)造性證明，從而得到了連續(xù)化方法的全局收斂性結(jié)果。最后，本文給出了2個數(shù)值算例來進一步驗證本文結(jié)果的有效性。

本文需要用到如下符號：Rm＋和Rm＋＋分別代表Rm的非負象限和正象限。另外記x點處的積極集為

1 理論分析

本文的主要工作就是把文獻［10］中的Ω有界性去掉，從而使得連續(xù)化方法能夠在無界非凸集上計算不動點問題，為此本文需做如下假設(shè)：（C1）Ω0非空；（C3）對任意給定的x∈ЭΩ，若

則有yi＝0，i∈B（x）；

（C4）對任意的x∈ЭΩ，則有

在假設(shè)（C1）～（C4）下，為了求解不動點問題，則需要用到同倫方程：H（w，w（0），μ）＝

其中：w＝ （x，y）∈Rn＋m，w（0）＝ （x（0），y（0））∈Ω0×

引理1 設(shè) H 如（4）所定義，假設(shè)（C1）～（C4）成立。那么對幾乎所有的 w（0）∈Ω0×Rm＋＋，0是映射 H（w，w（0），μ）的正則值；H－1（0）所含曲線是光滑的，其中有一條起始于（w（0），1），記作Γw（0）。

公司層面的控制是指存在于公司整體層面，對業(yè)務(wù)層面實施的控制措施產(chǎn)生普遍、深遠影響的控制，體現(xiàn)公司的風(fēng)險管理理念、風(fēng)險承受能力、公司治理監(jiān)控水平、對道德價值觀的遵守、人員素質(zhì)與發(fā)展水平以及職責(zé)權(quán)力分工。根據(jù)《企業(yè)本部控制基本規(guī)范》，公司層面控制的主要內(nèi)容包括內(nèi)部環(huán)境、風(fēng)險評估、信息與溝通及內(nèi)部監(jiān)督四個部分，其基本要求主要體現(xiàn)在企業(yè)體制、機制、規(guī)章、制度等方面。

根據(jù)引理1，則知同倫曲線是存在的，下面主要證明同倫曲線的有界性。令

Ω＋（ξ）＝｛x∈Ω∶（x－ξ）T（x－ξ）T（x－Φ（x））＞0｝，Ω－（ξ）＝Ω＼Ω＋（ξ）。

引理2 設(shè) H 如（4）所定義，假設(shè)（C1）～（C4）成立。那么對幾乎所有的 w（0）∈Ω0×Rm＋＋，如果0是映射H（w，w（0），μ）的正則值，那么w 的分量x 是有界的。證明 容易證明如下不等式成立：

若結(jié)論不成立，則存在同倫路徑上的點列｛（x（k），y（k），μk）｝使得當(dāng)

根據(jù)假設(shè)（C4），則存在常數(shù)C使得

當(dāng)x（k）∈Ω－（ξ）時，由（6）式，則情形不會發(fā)生。又Ω＝Ω－（ξ）∪Ω＋（ξ），因此下面只須證明w的x分量在Ω＋（ξ）內(nèi)也是有界的。

再由（10）式得

當(dāng)x（k）∈Ω＋（ξ）時，若‖x（k）‖→∞，因為‖x（0）－ξ‖2是常量，且μk∈（0，1］，那么存在充分大的k使得‖x（k）－ξ‖＞M，從而（11）式的左邊嚴格大于0，而（11）式的右邊嚴格小于0，矛盾。因此w的x分量在Ω＋（ξ）內(nèi)也是有界的，證明完畢。

下面給出連續(xù)化方法的全局收斂性結(jié)果。

定理1 設(shè) H 如（4）所定義，假設(shè)（C1）～（C4）成立。那么對幾乎所有的，同倫方程（4）產(chǎn)生一條始于（w（0），1）的光滑曲線Γw（0），并且當(dāng)μ→0時，Γw（0）的極限集T×｛0｝Ω××｛0｝是非空的，且T中的每一點（x＊，y＊）的分量x＊都是Φ（x）的不動點。證明 容 易 證 明 DH （w，w（0），μ ） ＝行滿秩的，從而0是H（w，w（0），μ）的正則值。根據(jù)參數(shù)化Sard定理，對幾乎所有的w（0），0是映射 Hw（0）∶Ω×Rm＋×（0，1］→Rn＋m的正則值。再由逆象定理，H－1w（0）（0）由一些光滑曲線組成。因為 Hw（0）（w（0），1）＝0，那么存在1維的C1曲線（w（s），μ（s））（記作Γw（0））使得H（w，w（0），μ）＝0，（w（0），μ（0））＝（w（0），1）。

根據(jù)一維流形分類定理，Γw（0）或者微分同胚于單位圓或者微分同胚于單位區(qū)間。容易證明ЭHw（0）（w（0），1）／Эw 是非奇異的，因此Γw（0）微分同胚于單位區(qū)間。

設(shè)（w＊，μ＊）是Γw（0）上的極限點，那么下列情形可能發(fā)生：

（ii）若μ＊＜1，當(dāng)k→∞時，因為有界的，那么（12）式的右邊是有界的，而（12）式的左邊趨于無窮，矛盾。

根據(jù)上面的討論，則知只有情形（a）發(fā)生，因此根據(jù)不動點問題的等價系統(tǒng)（2）和（3），x＊是映射Φ（x）的不動點。證明完畢。

2 數(shù)值實驗

由定理1知，幾乎對所有的w（0）∈Ω0×Rm＋＋，同倫方程（4）產(chǎn)生一條光滑曲線Γw（0），此曲線稱為同倫路徑，從（w（0），1）出發(fā)數(shù)值跟蹤Γw（0），直到μ→0，就能得到系統(tǒng)（2）和（3）的一個解。

通過對 H（w（s），w（0），μ（s））＝0，（s是弧長參數(shù)）求微分，得到下面的定理2。

定理2 同倫路徑Γw（0）是由下面的常微分方程的初值問題確定

至于如何跟蹤同倫路徑，現(xiàn)在已經(jīng)有很多算法，可以參考文獻［11］。

容易驗證Ω無界且滿足假設(shè)（C1）～（C4）在本例中，選擇3個初始點x（0）1＝（3，－1，3），x（0）2＝（－3.5，2，3）以及x（0）3＝（2.5，4，5）。利用預(yù)估－校正算法，沿著3條不同的解曲線，可以跟蹤到Φ（x）的不動點

容易驗證Ω無界且滿足假設(shè)（C1）～（C4）。在本例中，選擇3個初始點x（0）4＝（12，－1，3）－1，13）以及x（0）6＝（12，－1，－3）。利用預(yù)估－校正算法，沿著3條不同的解曲線，可以跟蹤到Φ（x）的不動點

3 結(jié)語

已有的研究結(jié)果主要利用連續(xù)化方法求解無界凸集上的不動點問題。本文提出了一組無界性條件，從而使得連續(xù)化方法能夠處理一類無界非凸集合上的不動點問題，在較大程度上推廣了已有的研究結(jié)果。數(shù)值實驗表明本文的研究結(jié)果是有效的。由于不動點問題在微分方程領(lǐng)域起著重要作用，所以本文作者準備在未來的研究中把本文的研究結(jié)果推廣到微分方程領(lǐng)域，進而得到一些有意義的研究結(jié)果。

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