高振林, 李海沙
(上海理工大學 理學院,上海 200093)
首先,給出渉及到的已有概念.
定義1[2]半群S上的Green關系L和R定義為
定義2[3]半群S上的Green**-關系L**和R**定義為
(a,b)∈L**當且僅當對?x,y∈S1(ax,ay)∈R?(bx,by)∈R
(a,b)∈R**當且僅當對?x,y∈S1(xa,ya)∈L?(xb,yb)∈L令
J**(a)=其中,J(x)是由x生成的主理想;
L**(a)=∪{L(x)|x∈L**(a)}其中,L(x)是由x生成的主理想.
稱J**(a)(L**(a))為由元a生成的**_主理想(**_主左理想),用它引進的J**-關系為
定義3[4]半群S的非零冪等元e稱為本原冪等元,若e是非零冪等元集中關于自然序的極小元.
定義4[4]如果半群S的所有冪等元都是本原的,則稱S是本原半群.
定義5[4]設I為S的非零左理想,則稱其為S的0-極小左理想,如果對S的任意非零左理想A?I,有A=I并且I含零元.
定義6[1]稱S為wrpp半群,如果S滿足下列條件:
a.S的每個L**-類至少含有S的一個冪等元;
b.對?a∈S,?e∈E()有a=ae,其中E()為的冪等元集.
稱wrpp半群S為Cwrpp半群,若E(S)?C(S),其中E(S)是S的冪等元集,C(S)是S的中心.稱wrpp半群S為充足的,若對?a∈S,?|a+∈E()使得a=a+a.稱充足wrpp半群S為左Cwrpp半群,若E(S)是左正則帶且L**是同余.本文引進以下概念:
定義7 半群S上的同余ρ稱為S上的Cwrpp同余.如果S/ρ是 Cwrpp半群;令ρ是S上(Cwrpp)同余,如果存在S的子集I滿足S=I∪C,且C同構于S/ρ則稱I是S的(Cwrpp)ρ-集,這時將ρ記作ρI.
定義8S為半群,如果S不包含任何Cwrpp同余,那么定義S的Cwrpp根同余是泛關系S×S,且稱S是Cwrpp根半群;如果S至少包含任何一個Cwrpp同余,那么定義S上的Cwrpp根同余是所有Cwrpp同余ρα(α∈ω)的交集,記作ρcr,即
如果ρcr也有ρcr-集,記為N(S),所以ρcr=ρN(S).稱N(S)為S的Cwrpp根;稱半群S的Cwrpp根同余ρcr是強Cwrpp根,若ρcr仍是S的Cwrpp同余,且N(S)存在.此時
定義9[5]假設N,T*是不相交半群,T有零元0,T=T*∪{}0稱半群S是由T關于N的一個(理想)擴張,如果N是S的一個理想,且S/N?T.
定義10 稱I為半群S的(0-)**-左(右)理想,若I為S的左(右)理想且對
這里()是包含α∈S的L**(R**)-類;稱S的子集I為S的(0-)**-理想,若I既為S的**-左理想又為S的**-右理想;稱S的子集I為理想(0-)**-左(右)理想,如果I既是理想又是(0-)**-左(右)理想.
定義11 有零元的半群S稱為左0-**-單的,如果S的理想**-左理想只有S或{}0且S2≠{}0;無零元的半群S*稱為左**-單的,如果它沒有真理想**-左理想.
定義12 設S是wrpp半群,如果ρN(S)是強的且N(S)是理想,那么稱S為有強Cwrpp Rees根的wrpp半群;若S還是本原半群,則稱其為有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群.
引理1[4]一個0-單半群是完全0-單半群,當且僅當它至少有一個本原冪等元.
引理2[4]設e為半群S的本原冪等元,則Se是S的一個0-極小左理想.
引理3[4]S是單0-半群,L是S的0-極小左理想,那么L\}是S中極小非零L-類.
定理1[4]若S是有零元的本原正則半群,那么S是完全0-單半群的0-直并.由定義11易得以下結論.
引理4 在有零元的半群S上,下列命題成立:
a.S*是左**-單的,當且僅當J**是S上的泛關系;
b.S是左0-**-單的,當且僅當S2≠且,L\}是S的僅有J**-類.
引理5[4]以下結論成立:
a.(R**-關系)L**-關系為任意半群S上的(左同余)右同余且在S上有下列式子成立:
b.設U是半群S的子半群,則LU?LS∩(U×U);RU?RS∩(U×U).
引理6 下列命題成立:
a.[3]有零元的Cwrpp半群C有半格分解表示
其中,(α∈Y)是左R-可消幺半群.
b.[1]在有零元的左Cwrpp半群S上,L**=J**是S上半格同余.
引理7 設S為有強Cwrpp Rees根的wrpp半群,則
a.N(S)是wrpp半群;
b.N(S)=∩α∈ω{Iα|對于?α∈w,Iα是S的wrpp子半群,Cwrpp理想};
c.設a∈S,則有冪等元且J**(a)是S的wrpp理想**-左理想.
證明 因S為有強Cwrpp Rees根的wrpp半群,所以
a.設a∈N(S)?S,因S是wrpp半群,故有e∈E(),使得a=ae.因N(S)是S的理想,e∈E()??L**(a)?N(S),故?e∈E(N(S))使得aL**N(S),a=ae成立.故N(S)為wrpp半群.
b. 由 定 義 8 知N(S) = ∩α∈ω是S的因N(S)是S的理想,故N(S)是S的最小Cwrpp理想.而命題b右邊的集合顯然也是S的最小Cwrpp理想,故它必等于N(S).
c.由于S是wrpp半群,所以?e∈E(S)使得于是再證J**(a)是S的wrpp理想**-左理想:由于J**(a)是由元a生成的**-主理想,故J**(a)既是S的理想又是其**-左理想,故J**(a)是S的理想**-左理想.又由a的證明過程可知,J**(a)是wrpp半群.綜上,J**(a)是S的 wrpp理想**-左理想.
基于以上定義和結論,我們應用有零元的Cwrpp半群C有半格分解表示 (即式 (1)),強Cwrpp Rees根性質和本原性質,用理想擴張的手段來刻畫有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的結構特征.
以下若不特別聲明,S總表示有強Cwrpp Rees根的wrpp半群.
性質1 設S是本原的,則
a.S的仼一子半群是本原的;
b.對0≠e∈E(S),a∈S,aL**e當且僅當a≠0且a∈Se.
證明 結論b的證明類似于文獻[6]中推論3.2的證明,這里省略,只證結論a.
設T≤S,S是本原的,即?e∈E(S),e在S上是本原的,由于E(T)上自然序所以?e∈E(T),e在T上也是本原的,故T是本原的.
性質2 設a∈S,若J**(a)是非零主理想**-左理想集合中極小元,則J**(a)=∪{}0.
證明 顯然?J**(a).反之,設0≠x∈J**(a),顯然J**(x)?J**(a),由J**(a)是非零主理想**-左理想集合中的極小元和引理7推出J**(x)=J**(a),即x∈.因此J**(a)=∪{}0.
性質3 下列結論成立:
a.對?a∈S,J**(a)=∪{Je|e∈E)};
b.對?a∈S,L**(a)=∪{Le|e∈E)};
c.S的理想**-左(右)理想I可表為I=∪e∈E(I)J**(e).
證明S是有強Cwrpp Rees根的wrpp半群,所以
a.由J**(a)定義:?e∈E(),有Je?(a),故∪{Je|e∈E)}?J**(a),另一方面,設0≠x∈J**(a),由引理5、引理7,得
b.顯然∪{Le|e∈E()}?L**(a).另一方面,設0≠x∈L**(a),S是wrpp半群,故?e∈E)使得
c.設T=∪e∈E(I)J**(e),可證T是S的理想.為此先證T為S的子半群
?a,b∈T?e,f∈E(I)使得a∈J**(e),b∈J**(f)而J**(e)是S的理想,所以有ab∈J**(e)?T.故T為S的子半群.又?a∈T,?f∈E(I)使得a∈J**(f),由于J**(f)為S的理想,故有?s∈S,as∈J**(f)?T,sa∈J**(f)?T,故T為S的理想.
再證T是S的**-左理想:對a∈T,存在f∈E(I),使得a∈J**(f)由于J**(f)是S的理想**-左理想,則?J**(f),當然有?T,所以T是S的**-左理想.綜上,T是S的理想**-左理想.
最后證I=T成立:由于I是S的理想**-左理想,對?e∈E(I),J**(e)?I,所以有T?I;設a∈I則存在e∈E(I)使得a∈,即有=.又T是S的理想**-左理想,故有=?T,因此a∈T,所以I?T.綜上,I=T.
性質4 對0≠e∈E(S),以下各條件等價:
(a)S1e是非零冪等元生成主左理想集合中的極小元;
(b)e是本原冪等元;
(c)S1e是0-極?。罄硐耄?/p>
(d)S1eS1是非零冪等元生成主理想集合中的極小元;
(e)S1eS1是左0-**-單的.
證明 (a)?(c)由非零冪等元生成主**-左理想集合被非零冪等元生成主左理想集合包含,即得該結論成立.
(c)?(a)設S1e是0-極?。罄硐?若有f∈E(S)使得S1f?S1e,往證S1f也是0-**-左理想:首先S1f是S的左理想,其次由于S是wrpp半群,那么?a∈S1f?S有h∈E(),=,a=ah∈S1h從而S1f?S1h同理可證S1h?S1f故S1h=S1f于是有==?S1f,由定義10,S1f是0-**-左理想.由S1e是0-極?。罄硐氲肧1f=S1e.從而結論(a)成立.
(b)?(a)設e是S的本原冪等元,如果0≠f∈E(S),S1f?S1e那么f=fe,因此efef=eff=ef,efe=ef=eef,即ef∈E(S),ef≤e.從而ef=0或ef=e.若ef=0,則efe=ef=0從而推得.f=f2=fefe=f·0=0這與0≠f∈E(S)矛盾.因此ef=e,S1f=S1e.即(a)成立.
(a)?(b)如果(a)成立,設f∈E(S)使得f≤e,那么ef=fe=f,S1f?S1e.因為S1e是非零冪等元生成主左理想集合中的極小元,所以S1f=S1e.故e∈S1f,e=ef=f成立.即(b)成立.
(b)?(d)設e是本原冪等元,假定,對0≠f∈E(S)有S1fS1?S1eS1,則有u,v∈S使得f=uev.取元素g=evfue,則g有性質
因此g是非零冪等元且g≤e.由于e是本原的,有g=e.因為f=ugv,g=evfue,所以S1fS1=S1gS1=S1eS1.因此(d)成立.
(d)?(b)假定對某個0≠f∈E(S),f≤e成立.由ef=fe=f推 出S1f?S1e,從 而,S1fS1?S1eS1.由于S1eS1是非零冪等元生成主理想集合中的極小元,因此S1fS1=S1eS1,從而對e∈S1有S1fe=S1ee所以S1f=S1e從而f=e.(b)成立.
(d)?(e)顯然(S1eS1)2≠{}0,設{}0≠A是S1eS1的理想**-左理想,下證A=S1eS1.由性質3知,在S1eS1上,將A表示為A=∪f∈E(A)J**(f).因A≠{0},由 A的表示,故E(A)≠{0},取0≠f∈E(A),則J(f)=S1fS1?A?S1eS1,由S1eS1是非零冪等元生成主理想集合中的極小元得,A=S1fS1=S1eS1,由定義11知S1eS1是左0-**-單的.
(e)?(d)設S1eS1是左0-**-單的,則S1eS1的理想**-左理想只有{}0和S1eS1,因此,由非零冪等元生成的主理想**-左理想集合中只有S1eS1.假定對0≠f∈E(S)有S1fS1?S1eS1,則S1fS1是S1eS1的另-個非零理想**-左理想,這與S1eS1是左0-**-單的矛盾,即(d)成立.
性質5S是由它的某個Cwrpp子半群C關于Cwrpp根N(S)理想擴張,得到
且當S是本原半群時,有
a.C*有依賴于本原半格Y的分解式(1);
b.N(S)是S的理想**-左理想且有不交并表示
其中,J**(e)(?e∈∩α∈wE(Iα))是S的左0-**-單子半群.
證明 由定義11和定義12知,只要證當S是本原半群時結論a,b成立.
a.由引理6知,C*有半格分解式(1),由于S是本原的,由性質1知,C*也是本原的,即?e∈是本原的,故Y為本原半格,因此C*有依賴于本原半格的分解式(1).
b.先證N(S)是S的理想**-左理想,這只要證N(S)是S的**-左理想:設a∈N(S),由引理5知,N(S)是S的理想得?L**(a)?N(S),即N(S)是S的**-左理想.
再證式(2)成立:由于N(S)是S的理想**-左理想,由性質3知,N(S)可表示為N(S)=∪e∈E(N(S))J**(e),由引理7知,N(S)=∩α∈ωIα,所以故式(2)成立.
最后證J**(e)(?e∈∩α∈wE(Iα))是S的左0-**-單子半群:設{0}≠A是J**(e)的-個非零理想**-左理想,由引理7,J**(e)是wrpp半群,故
應用性質4(b)?(d)的證明得e=f∈A.因{0}≠A是J**(e)的-個非零理想**-左理想,由e=f∈A得A=J**(e),即J**(e)是左0-**-單的.
下面給出有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的一個結構特征,并用實例說明這類半群具有其獨特意義.
定理2 對于有強Cwrpp Rees根的wrpp半群S,以下條件等價:
(a)S是本原的;
(b)S是Cwrpp半群C關于N(S)的理想擴張,其中N(S)和C滿足條件:
(1)N(S)是本原wrpp左0-**-單子半群的0-直并;
(2)C是本原wrpp左0-**-單子半群的0-直并.
(c)S是本原wrpp左0-**-單子半群的0-直并.
證明 (a)?(b)由性質5,設本原半群S是它的某個Cwrpp子半群C關于N(S)的理想擴張.只需證(1)(2)成立,現證(1).由性質5知,J**(e)是左0-**-單的(?e∈∩α∈wE(Iα)).下證N(S)是J**(e)(?e∈∩α∈wE(Iα))的0-直并.由于對?e,f∈∩α∈wE(Iα)
設x∈且y∈,那么. 因為
得J**(xy){}=0或J**(xy)=J**(e),J**(xy){}=0或J**(xy)=J**(f).因此
綜上知,條件(1)成立.由性質5,用相同方法可證(2)成立.
(b)?(c)由(1)(2)和性質5式(2)知
由引理6,令E2={1α}α∈Y這里1α(α∈Y)為左R-可消幺半群=(α∈Y)的幺元.令ˉE=E1∪E2,由S=N(S)知.于是
由結論(b)和以下亊實:
即使(c)成立.
(c)?(a)由題設條件不妨設S=∪e∈ˉEJ**(e)是本原wrpp左0-**-單子半群J**(e)的0-直并(e∈是冪等元),由性質4,e∈是J**(e)的本原冪等元,且對 ?h∈J**(e),h是J**(e)的本原冪等元.往證結論(a)成立.
對?f∈E(S),設有α∈使得f∈J**(α),只要證明f是S的本原冪等元即可,假設有0≠h∈E(S)使得h≤f,?β∈使得h∈J**(β),分以下情形進行:
a.若J**(α)≠J**(β)則J**(α)∩J**(β)=Φ,由題設條件得h=fh=hf=0,不可.
b.若J**(α)=J**(β)則f,h∈J**(α),f,h是J**(e)的本原冪等元,從而在J**(α)上,由h≤f推得h=f.
綜上所述,知f是S的本原冪等元,從而結論(a)成立.
最后給出有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的例子以說明其獨特意義.
例1 設C*是無零元的本原Cwrpp半群,C=C*∪{}0,C的半格分解由(引理6中)式(1)給出,則易見Y是本原半格.由引理6,設左Cwrpp半群N(見文獻[4])有依賴于本原半格Y的半格分解N=∪α∈Y.則有以下結論:
a.易知,E(N)包含由Y決定的子帶E1為
b.N是本原半群:事實上?e∈E(N)?α∈Y使得e∈E(),若有f∈E(N),f≤e則f∈E)(β∈Y),由于Y是本原半格,故f=e,即e是本原的,所以N是本原半群.
c.N和C滿足條件(1)(2):首先是本原wrpp左0-**-單子半群,下證N和C是的0-直并:事實上,由于Y是本原半格,所以?α,β∈Y有α≤nβ?α=β,從而有
所以,N和C是本原wrpp左0-**-單子半群的0-直并.令
定義 從C*到N的映射
可證θ是一個局部同態(tài)映射[6]:?x,y∈C*,則存在α,β∈Y使得x∈Mα,y∈Mβ,不妨設x=xα,y=y(tǒng)β則存在zαβ∈Mαβ,使得
在S上定義如下運算"°":
則易驗證S成為C關于N的理想擴張半群.由定理2知,S是有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群.由于故S不是文獻[1]中的SBCRW-半群.說明這類半群有其獨特意義.
[1]Du L,Shum K P.On left Cwrpp semigroups[J].Semigroup Forum,2003,67:373-387.
[2]Fountain J B.Abundant semigroups[J].ProcLondon Math Soc,1982,44(3):103-129.
[3]Tang X D.On a theorem of Cwrpp semigroup[J].Communications in Algebra,1997,25:1499-1504.
[4]Howie J M.An introduction to semigroup theory[M].London:Academic Press,1976.
[5]Clifford A H,Preston G B.The algebraic theory of semigroups[M].Providence:American Mathematical Society,1961.
[6]Fountain J B.Adequate semigroups[J].Proceedings of the Edinburgh MathematicalSociety,1979,22(1):113-125.